2018年广西桂林电子科技大学高等代数考研真题A卷.doc

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2018 年广西桂林电子科技大学高等代数考研真题 A 卷一、（本题 15 分）计算行列式 x m 1  x 1 ... x 1 x m 2 x 2  ... x 2 ... ... ... ... n x x n ...  x m n . 二、（本题 10 分）设 , ,A B C 均为 n 阶方阵，且 A 和 B 均可逆，证明矩阵 B B   C A C     可逆，并求其逆. x   三、（本题 15 分）求齐次线性方程组 1   x  1 2 5 x 2 x 2   3 x 3 3 x 3   4 x 4 3 x 4   0 0 的解空间V 的一组标准正交基，并写出V 在 4R 中的正交补. 四、（本题 20）设 1 ( x x x x  是 ) , , , 2 [ ]P t 中多项式 ( ) t 在基 f 4 1( ) f t 4 4 t    3 t 2 3  ， t 3 4 f 2( ) 7 7 t t   2  5 t 3  ， 2 t f 3( ) t 2 5 t    3 t 2 3 3 t  ， f 4( ) t 3 8 t     5 t 2 3  下的坐标， 5 t ( y y y y  为 ( ) 1 t 在基 1 ) f , , , 2 3 4 4 g t g t g t g t 下的坐标，且 ( ), ( ), ( ), ( ) 2 3 y 1  3 x 1  5 , x 2 y 2  x 1  22 , x y 3  2 x 3  3 , x 4 y 4   5 x 3  8 , x 4 （1）求由基 1 g t g t g t g t 到基 1 f ( ), ( ), ( ), ( ) 2 3 4 ( ), t f 2 ( ), t f 3 ( ), t f 4 ( ) t 的过渡矩阵；（2）求基 1 g t g t g t g t ； ( ), ( ), ( ), ( ) 2 3 4

（3）求多项式 ( ) g t      在基 1 1 t t t 2 3 g t g t g t g t 下的坐标. ( ), ( ), ( ), ( ) 2 3 4 五、（本题 20）求矩阵 A       1 0 2  2 2 2  0 0 1       的初等因子及若尔当标准形. 六、（本题 20 分）已知 2 2R  的线性变换为     x 1 x 3 x 2 x 4        x 2 x 1   x 3 x 2   x 4 x 4 x x  1 3 x x   1 2 x  4 x  3 ,    x 对任意的 1 x 3    x 2 x 4    2 2   R . （1）证明是对称变换；（2）求 2 2R  的一组标准正交基，使得在这组基下的矩阵为对角矩阵. 七、（本题 15 分）已知 2 2P  的线性变换为 (  X MX XM X P M     ,, 2 2  ) ,     1 2 0 3    求的值域与核. A 八、（本题 15 分）设 1     1 a 1 1    , A 2  1 a 1 1       , A 3     1 1 1 a    , A 4  1 1 1 a       为 2 2P  中的矩阵，讨论 1 A A A A 的线性相关性. , , , 2 3 4

九、（本题 10 分）设 A 为 s n 的实矩阵，证明： ( R E  T ) A A  ( R E s n  T AA )   . n s 十、（本题 10 分）证明：若 ( ) f x f x ，则 ( ) f x 的根只能是零或者单位根. ( )n

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