一、 填空题(每小题 3 分，共 15 分) 1. 已知 x=62.1341 是由准确数 a 经四舍五入得到的 a 的近似值，试给出 x 的绝对 数值分析考试题 误差界_______________. 2. 已知矩阵 A     1 2 2 1    ，则 A 的奇异值为 _________ . 3. 设 x 和 y 的相对误差均为 0.001，则 xy 的相对误差约为____________. 4. 若 ( f x ) 5  x 4  2 x  3, x i i  = 则 , 4 ( f x ) i  _____ . 5. 下面 Matlab 程序所描述的数学表达式为 ________________________ . a=[10,3,4,6];t=1/(x-1);n=length(a) ( ); y a n  1: 1:1 for k n    ( ); * t y a k   y end 二、(10 分)设 ( f x )  3 ( x 2  。 a ) （1）写出解 ( f x  的 Newton 迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。 0 ) 三、 (15 分)已知矛盾方程组 Ax=b，其中 A        2  1 2 1 0 10        , b 1     1       1 11 ， （1）用 Householder 方法求矩阵 A 的正交分解，即 A=QR。 （2）用此正交分解求矛盾方程组 Ax=b 的最小二乘解。 四、(15 分) 给出数据点：    x y i i   0 1 3 9 3 2 4 6 12 15 （1）用 1 x x x x 构造三次 Newton 插值多项式 , , , 2 3 4 N x ，并计算 ) 3( x  的近似值 3(1.5) 1.5 N 。 （2）用事后误差估计方法估计 3(1.5) N 的误差。 五、(15 分) （1）设 0 {    2 ), ), x x ( ( 1 ( )} x 是定义于[-1，1]上关于权函数   的首项系数为 1 的正交 ( )x 2 x  多项式组，若已知 0 ( x ) 1,  1 ( x )  ，试求出 x （2）利用正交多项式组 项式。 {    2 ), ), x x ( ( 0 1 ( 2( )x 。 x 在 1 1 , 2 2  [ x ，求 ( ) f x )} 上的二次最佳平方逼近多 ] 

六、(15 分) 设 1( P x 是 ( f x 的以 ) ) (1  3 3 ),(1  3 3 ) 为插值节点的一次插值多项式， 试由 1( P x 导出求积分 ) I   2 0 ( f x dx ) 的一个插值型求积公式，并推导此求积公式 的截断误差。 七、(15 分) 已知求解线性方程组 Ax=b 的分量迭代格式 ( k  1) x i ( k )  x i   b （ i a ii  n  j  1 k ) a x ij ( j ) , i  1,2,  , n （1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）证明当 A 是严格对角占优阵，  时此迭代格式收敛。 1 2 数值分析答案 一、 填空题(每小题 3 分，共 15 分)1. 1 10  2  4 . 2.   2 3, 1  1 3. 0.002 4. 120 5. y  10  3  x 1  4  ( x  ( x 2 1) 6  3 1) 二、（10 分) 解：（1）因 ( f x )  3 ( x 2  ，故 ' ( f x a ) )  6 2 ( x x 3  。 a ) 由 Newton 迭代公式： 1 k   x x k  ( f x k ' ( f x k ) , ) k  0,1,2,  得 x k  1  x k  3 ( x  k 3 2 ( x x k k ) a  6 2 a )  5 6 x k  a x 2 k 6 , k  0,1,2,  （2）上述迭代格式对应的迭代函数为   x ( ) 5 6 x  a x 2 6 ，于是 '  ( x )   5 6 a 3 3  x ， 又 * x 3 a ，则有 '  ( x * )   5 6 a 3 3 ( a ) 3     5 6 1 3 1 2  且 0 ，故此迭代格式是线性收敛的。 1 

    (3,0,0) , T u 1      1  1 15 x 25 5  10        y 5  1 2 Q H   1 15        ( 5,1, 2) T      10 2 4 10  5 10 5 14 2  5 14 2  10 2  11      1 15      10 2  11 10  5 10      R 1  33 1 11 0    14  5    , Q R x 1 1  b x  T    263 187 225 75 ,    ( 3,0,0) , T u 1 1   1   2       1 3 1 1   1 x 1 1 2  2 2 4 y       1  T (1,1, 2) 1    2   2   2 1  2  1 3    2 2 1      2   H I 15 （. x   三 分）法一： (1) ( 2,1, 2) , T y 1      14  5 0 T uu T u u 1 11 HA        33 0 0 10   5   10      R       5   14 ,   2     , (2 ) Q 1  1 15 T R x Q b 1 1  法 (1) 二： x 1   ( 2,1, 2) , T   1/ 3 17 / 15   1 y 1 1      14   3   4        10 5  10  5  14  2 5 17        2      H 1   I 2 T u u 1 1 T u u 1 1 H A 1  1 11 33   0    0 H 2   I 2 T u u 2 2 T u u 2 Q H H  1  2 1 15 (2) Q 1  1 15 T R x Q b 1 1  10   5    10  1 15   A 2 x 2  (14 / 11, 3 / 11, 4 / 11) , T  2 y      2        0 0 0 0 4  2 0 8 4  (14 / 11, 5 / 11,0           R Q A 1 11 1 5 ) , T u 5   0   0  33  0 0        , T  2 x 0 3  4 14 5  0  (0,8 / 11, 4 / 11)  T 2 y       0 4 3       1 5   10 2 11 1 1 5  14  2     , R 1  1 11    33 0 14 5     , Q R x 1 1  b , x  T    263 187 225 75 ,    3 ) . 15 四（ 分 ） ( 9 N x  (1.5) N  3 ( ) N x  (1.5) N  3 3 3 x 3(   5.6250,   7.5000, 6 x 1)  4.5( x  1)( x  2)  2( x  1)( x  2)( x  3) 4.5 ( x x  1)  3 ( x x  1)( x  2) R 1  f (1.5)  N (1.5)  3 五、(15 分)（1）设  2 1.5  4 ) x ( 4 ( N 3 (1.5)  N (1.5)) 3  1.1719  2 x  k  1 1 ( x )  k  0 0 ( x ) 则利用 k 0   2 , ( x x   0 ( ), ( x   0 0 )  ) x     1 1  1  1   4 x dx 2 x dx   3 5 k 1    ( ) x   ( ) x   1 2 , x  1 ( ), x 1  1 )x 和 2(   5 x dx 4 x dx 1  1 1     0   的正交性得 x ), x ) ( ( 0 1 故  2 ( x )  2 x  3 5  0 ( x )  2 x  （2）首先做变量代换 3 5 x t ，将区间从 1 2 [  1 1 , 2 2 ] 变换到[-1， 1]，则 ( ) f x  x  t 2  ( ) F t 

对 ( ) F t  ，取 t 2  0 ( ) 1, t   1 ( ) t  t ,  2 ( ) t  2 t  ，有 3 5 c 0    ( ), F t  0 ( ), t   0 0 ( ) t ( ) t    c 1    ( ), F t  1 ( ), t   1 1 ( ) t ( ) t    c 2    ( ), F t  2 ( ), t   2 2 ( ) t ( ) t    1   1 2 t  t 2 dt 1   1 2 t dt  1  1 0  2 0 3 t dt 2 t dt  1 4 2 3  3 8 1  1  1  1  2 t  t 2  tdt 1   1 4 t dt  0 2 t  t 2 2  ( t  3 5 ) dt 1   1 2 t 2  ( t  3 5 2 ) dt  1  2 ( 0 1  0 5 ( t  3 5 3 ) t d t 6 t  6 5 4 t  ( 3 5 ) 2 2 t dt ) 1 6  3 20   6 25 3 25 )  2( 1 7  35 96 所以 ( ) s t  c  0 0 ( ) t  c  1 1 ( ) t  c  2 2 ( ) t   3 35 8 96 2 ( t  3 5 ) 故 ( ) f x x 在 [  1 1 , 2 2 ] 上的二次最佳平方逼近多项式 ( ) s x  35 24 2 x  。 5 32 六、(15 分) I  2  0 ( f x dx )  f ((1  3 3 ))  f ((1  3 3 ))  I 1 I  f f f    I f 2 1 0 2    0 ( ) (4)  4! ( ) (4)   4! 0 ( ) 8 (4)  4! 45 2 ( ) (4)  4! ( x  (1  3 3 )) ( 2 x  (1  3 3 2 )) dx (    x  (1  3 3 )) ( 2 x  (1  3 3 2 )) dx ( x  2 1)  2 1 3    dx  1 135 f (4) ( )  .(15 ( k x  ) 七 分 (1) 1) Bx  迭代矩阵 ( 右端向量 ) k g  ( B D D  1 g D b    1   ) A  a 22 D= a 11        a nn , 2 A  （ ） 严 格 对 角 占 优 即      max 1 i n   所 以 此 迭 代 格 式 收 敛 (  1 2  B B   )   n  j 1 . a ii  a ij n  j j   1 i a a ij ii  1 2   max 1  1     i n  a a ij ii       1 2 (1 1)   1 n  j j   1 i