2009年宁夏高考理科数学试题及答案.doc-资料库

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2009 年宁夏高考理科数学试题及答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）（1）已知集合 M={x|－3

（A）70 种（B） 80 种（C） 100 种（D）140 种【解析】直接法：一男两女,有 C5 1C4 2＝5×6＝30 种,两男一女,有 C5 2C4 1＝10×4＝40 种,共计 70 种间接法：任意选取 C9 3＝84 种,其中都是男医生有 C5 3＝10 种,都是女医生有 C4 1＝4 种,于是符合条件的有 84－10－4＝70 种. 【答案】A （6）设等比数列{ （A） 2 S na }的前 n 项和为 nS ，若 6 S 3 8 3 （B）（C） S =3 ，则 9 S 6 = （D）3 7 3 (1 【解析】设公比为 q ,则 S S 6 3   3 3 ) q S S 3 ＝1＋q3＝3  q3＝2 于是 S S 9 6  6 q 1 3 q  1   3 q  1 2 4   1 2   7 3 【答案】B （7）曲线 y= x x  （A）y=x－2 2 在点（1，－1）处的切线方程为 (B) y=－3x+2 (C)y=2x－3 (D)y=－2x+1 【解析】y’＝ x ( 2   2) x  x 2  2  2)  2 ( x ,当 x＝1 时切线斜率为 k＝－2 【答案】D (8)已知函数 ( ) f x =Acos( x  )的图象如图所示， f （A）  2 3 (B) 2 3 (C)－ (D) 1 2 【解析】由图象可得最小正周期为  ( ) 2   ，则 (0) f 2 3 = 1 2 2π 3 2π 3 于是 f(0)＝f( 2π 3 ),注意到与 π 2 关于 7π 12 对称所以 f( )＝－f( 2π 3 π 2 )＝ 2 3 【答案】B （9）已知偶函数 ( ) f x 在区间0, ) 单调增加，则满足 (2 f x  ＜ 1) 1( ) f 的 x 取值范围是 3

（A）（ 1 3 ， 2 3 ） (B) ［ 1 3 ， 2 3 ） (C)（ 1 2 ， 2 3 ） (D) ［ 1 2 ， 2 3 ）【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)＝f(|x|) ∴得 f(|2x－1|)＜f( ),再根据 f(x)的单调性 1 3 得|2x－1|＜ 1 3 【答案】A 解得 1 3 ＜x＜ 2 3 （10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 1a ， 2a ，。。。 Na ，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（A）A>0,V=S－T (B) A<0,V=S－T (C) A>0, V=S+T （D）A<0, V=S+T 【解析】月总收入为 S,因此 A＞0 时归入 S,判断框内填 A＞0 支出 T 为负数,因此月盈利 V＝S＋T 【答案】C （11）正六棱锥 P－ABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 D－GAC 与三棱锥 P－GAC 体积之比为（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2 【解析】由于 G 是 PB 的中点,故 P－GAC 的体积等于 B－GAC 的体积在底面正六边形 ABCDER 中 BH＝ABtan30°＝ 3 3 AB F 而 BD＝ 3 AB 故 DH＝2BH 于是 VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC E A D B H C 【答案】C （12）若 1x 满足 2x+ 2x =5, 2x 满足 2x+2 log (x－1)=5, 2 1x + 2x ＝

（A） 5 2 (B)3 (C) 7 2 【解析】由题意 12 x  x 1 2  5 2 x 2  2log ( 2 x 2 1)   5 (D)4 ① ② 2 x 所以 1   5 2 x 1 x , 1  log (5 2 ) x 1  2 x 即 2 1  2log (5 2 ) x 1  2 令 2x1＝7－2t,代入上式得 7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1) ∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得 t＝x2 于是 2x1＝7－2x2 【答案】C （13）某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为 1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980h，1020h，1032h，则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为 h. 【解析】 980 1+1020 2+1032 1   ＝1013 x   4 【答案】1013 （14）等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 5 S 【解析】∵Sn＝na1＋ 1 2 n(n－1)d 6 5 S 3  则 4a  5, ∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d ∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4 1 【答案】 3 （15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 m）。

则该几何体的体积为 3m 【解析】这是一个三棱锥,高为 2,底面三角形一边为 4,这边上的高为 3, 体积等于 1 6 ×2×4×3＝4 【答案】4 （16）以知 F 是双曲线 2 x 4 2 y 12 PF PA 的最小值为  的左焦点， (1,4), A 1 P 是双曲线右支上的动点，则。【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9 （17）（本小题满分 12 分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 075 ， 030 ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 060 ，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km， 2  1.414， 6  2.449）

(17)解: 在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA， ……5 分在△ABC 中， AB BCA   sin 即 AB=  ACsin60 15 sin   23  20 C A ABC  , sin 6 , 因此，BD= 6 23  20  。km33.0 故 B，D 的距离约为 0.33km。 ……12 分（18）（本小题满分 12 分）如图，已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为 AB，DF 的中点。（I）若平面 ABCD ⊥平面 DCEF，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。（18）（I）解法一：取 CD 的中点 G，连接 MG，NG。设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，则 MG⊥CD，MG=2，NG= 2 . 因为平面 ABCD⊥平面 DCED，所以 MG⊥平面 DCEF，可得∠MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。因为 MN= 6 ，所以 sin∠MNG= 6 为 MN 与平面 DCEF 3 所成角的正弦值 ……6 分

解法二：设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，以 D 为坐标原点，分别以射线 DC，DF，DA 为 x,y,z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图.  则 M（1,0,2）,N(0,1,0),可得 MN =(－1,1,2).  又 DA =（0，0，2）为平面 DCEF 的法向量， cos( 可得   ) MN DA ,    MN DA   MN DA  || | |   6 3 所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为 cos MN , DA 6 3 · ……6 分 (Ⅱ)假设直线 ME 与 BN 共面， ……8 分则 AB  平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知，两正方形不共面，故 AB  平面 DCEF。又 AB//CD，所以 AB//平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，所以 AB//EN。又 AB//CD//EF，所以 EN//EF，这与 EN∩EF=E 矛盾，故假设不成立。所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线. ……12 分（19）（本小题满分 12 分） 1 3 某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为。该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为 1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（Ⅰ）设 X 表示目标被击中的次数，求 X 的分布列；（Ⅱ）若目标被击中 2 次，A表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次”，求 P（A）（19）解：（Ⅰ）依题意 X 的分列为 0 1 2 3 4

P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 ………………6 分（Ⅱ）设 A1 表示事件“第一次击中目标时，击中第 i 部分”，i=1，2. B1 表示事件“第二次击中目标时，击中第 i 部分”，i=1，2. 依题意知 P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3， A A B 1  1  A B 1 1  A B 1 1  A B 2 2 , 所求的概率为 ( ) P A  ( P A B 1 1 )  ( P A B 1 1 )  P A B  （） 1 1 ( P A B 2 2 ) ( P A B 1 1 )  ( ( P A P B 1 ) 1 )  ( P A P B （ 1 ) 1 )  ( ( P A P B 2 ) 2 0.1 0.9 0.9 0.1 0.1 0.1 0.3 0.3 0.28         ) ………12 分（20）（本小题满分 12 分）已知，椭圆 C 过点 A 3(1, 2 （1）求椭圆 C 的方程； ) ，两个焦点为（－1，0），（1，0）。（2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。（20）解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 1 b  2 1  9 4 b 2  1 所以椭圆方程为 2 x 4 2 y 3  。 1 ，解得 2 b  ， 2 b   （舍去） 3 3 4 ……………4 分（Ⅱ）设直线 AE 方程为： y  ( k x 1)   ，代入 3 2 2 x 4 2 y 3  得 1 (3 4  k 2 2 ) x  4 (3 2 ) k k x   设 (x , y ) E E E , F (x , y ) F F ,因为点 3 4(  2 3(1, A 2 ) 2 k )  12  0 在椭圆上，所以

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