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北邮电子院专业实验一实验报告.docx
专业实验实验报告
实验 1
1. 需求分析
编程实现傅里叶变换，且不用 FFT。由于不能直接用 FFT 函数，故
考虑用傅里叶变换的定义来实现快速傅里叶变换，对傅里叶变换之后
产生的时域数据进行排序，最后用图像的形式展现。
2. 系统环境 Pycharm2019.3.4
3. 数据库设计
引用 matplotlib、sys、numpy 库，使用 Qt5
from PyQt5.QtWidgets import *
import sys
import numpy as np
import matplotlib
matplotlib.use("Qt5Agg") # 声明使用 QT5
from matplotlib.backends.backend_qt5agg import FigureCanvasQTAgg
from matplotlib.figure import Figure
from learn import Ui_Form
4.系统实现
1）程序功能模块划分
learn 文件创建图形窗口，math 文件对信号进行处理并显示
函数：
def __init__(self, width=5, height=4, dpi=100)：创建绘图窗口
def __init__(self)：信号产生
def plot_DFT(self, fs, time)：对信号上的点采样并进行离散型傅里叶变换
def plot_FFT(self, fs, time)：递归的 FFT 运算
def Ploral_Add(self, a, b): 复数加法
def Ploral_Sub(self, a, b): 复数减法
def Ploral_Mul(self, a, b): 复数乘法
def FFT(self, a, lim):
FFT 变换算法
def FFt_change(self, s, lim): 给传过来的时域数据排序
def FFT_high(self, fs, time): 迭代的 FFT
2）总体流程和各部分流程
3）核心代码
生成图形窗口
class Ui_Form(object):
def setupUi(self, Form):
Form.setObjectName("Form")
Form.resize(1000, 800)
self.gridLayout = QtWidgets.QGridLayout(Form)
self.gridLayout.setContentsMargins(20, 20, 20, 20)
self.gridLayout.setObjectName("gridLayout")
self.groupBox = QtWidgets.QGroupBox(Form)
self.groupBox.setAlignment(QtCore.Qt.AlignHCenter|QtCore.Qt.AlignTop)
self.groupBox.setObjectName("groupBox")
self.gridLayout.addWidget(self.groupBox, 0, 0, 1, 1)
self.retranslateUi(Form)
QtCore.QMetaObject.connectSlotsByName(Form)
def retranslateUi(self, Form):
_translate = QtCore.QCoreApplication.translate
Form.setWindowTitle(_translate("Form", "傅里叶变换"))
# self.groupBox.setTitle(_translate("Form", "绘制图表"))
复数加法
def Ploral_Add(self, a, b): # 复数加法
c = [a[0] + b[0], a[1] + b[1]]
return c
复数减法
def Ploral_Sub(self, a, b): # 复数减法
c = [a[0] - b[0], a[1] - b[1]]
return c
复数乘法
def Ploral_Mul(self, a, b): # 复数乘法
c = [a[0]*b[0] - a[1]*b[1], a[0]*b[1] + a[1]*b[0]]
return c
变换公式：
def plot_DFT(self, fs, time): # 傅里叶变换按照公式 fs 是采样频率 ， time 是整个采样的时间 单位
resolution = fs * time # 计算出总共的点数
fre = 1
t = np.arange(0.0, time, (time / resolution)) # 时域的 t 轴
s = 2 * np.cos(2 * np.pi * t * fre)
# 自己定义的一个时域的函数 一个幅值为 2 频率为 fre 的 cos
是 S
函数
f_x = range(0, resolution)
f_cos = []
f_sin = []
for k in f_x:
# 傅 里 叶 变 换 公 式 ， 每 个 频 率 点 的 值 等 于 时 域 中 每 个 点 X[k] = x[n] *
exp(-2*j*pi*k*n/N)的和
# exp 可以用欧拉公式转换成 cos 跟 sin
f_cos_cache = 0
f_sin_cache = 0
for n in f_x:
f_cos_cache += s[n] * np.cos((2 * np.pi * k * n) / resolution)
f_sin_cache += s[n] * np.sin((2 * np.pi * k * n) / resolution)
f_cos.append(f_cos_cache)
f_sin.append(f_sin_cache)
f_cos_child = f_cos[0:int(resolution/2)] # 截取一半的点, 另一半的点是无效的
f_cos_max = max(f_cos_child)
f_cos_index = f_cos_child.index(max(f_cos_child))
f_sin_child = f_sin[0:int(resolution / 2)]
f_sin_max = max(f_sin_child)
f_sin_index = f_sin_child.index(max(f_sin_child))
v_cos = np.sqrt(f_cos_max * f_cos_max + f_sin_child[f_cos_index] * f_sin_child[f_cos_index]) * 2 /
resolution
p_cos = np.arctan(f_sin_child[f_cos_index] / f_cos_max) / np.pi
v_sin = np.sqrt(f_sin_max * f_sin_max + f_cos_child[f_sin_index] * f_cos_child[f_sin_index]) * 2 /
resolution
p_sin = np.arctan(f_sin_max / f_cos_child[f_sin_index]) / np.pi
print('f_cos 频率是', f_cos_index * fs / resolution)
print('f_cos 幅值是', v_cos)
print('f_cos 相位是', p_cos)
print('f_sin 频率是', f_sin_index * fs / resolution)
print('f_sin 幅值是', v_sin)
print('f_sin 相位是', p_sin)
self.F.axes1 = self.F.fig.add_subplot(121) # 添加图像 121 是 1 行 2 列第 1 幅图
self.F.axes1.plot(t, s)
self.F.axes1.set_title('Time')
self.F.axes2 = self.F.fig.add_subplot(222) # 添加图像 222 是 2 行 2 列第 2 幅图
self.F.axes2.scatter(f_x, f_cos)
self.F.axes2.set_title('Frequency_cos')
self.F.axes3 = self.F.fig.add_subplot(224) # 添加图像 222 是 2 行 2 列第 4 幅图
self.F.axes3.scatter(f_x, f_sin)
self.F.axes3.set_title('Frequency_sin')
print(f_cos)
def plot_FFT(self, fs, time): # 递归的 FFT
resolution = fs * time # 计算出总共的点数
fre = 1
t = np.arange(0.0, time, (time / resolution))
s = 2 * np.cos(2 * np.pi * t * fre)
# 时域的 t 轴
# 自己定义的一个时域的函数 一个幅值为 2 频率为 fre 的 cos
函数
f = [] # 将时域的数据当做复数的实数部分， 复数部分补零
for i in range(0, resolution):
f_cache = [s[i], 0]
f.append(f_cache)
self.FFT(f, len(f)) # 递归的 FFT
f_show = [] # 将算出来的数据 a+bi 进行 c = a*a + b*b ,再对 c 开方， 并存入一个列表 用于显
示频域的图像
for i in range(0, resolution):
f_show.append(np.sqrt(f[i][0]*f[i][0] + f[i][1]*f[i][1]))
self.F.axes1 = self.F.fig.add_subplot(121)
self.F.axes1.plot(t, s)
self.F.axes1.set_title('Time')
self.F.axes2 = self.F.fig.add_subplot(222)
self.F.axes2.scatter(t, f_show)
self.F.axes2.set_title('Frequency_cos')
实现 fft 算法
def FFT(self, a, lim): # 递归的 FFT 变换算法
if lim == 1:
return a
a0 = []
a1 = []
for i in range(0, lim >> 1):
a0.append(a[i*2])
a1.append(a[i * 2 + 1])
self.FFT(a0, lim >> 1)
self.FFT(a1, lim >> 1)
wn = [np.cos(2 * np.pi / lim), np.sin(2 * np.pi / lim)]
w = [1, 0]
for k in range(0, lim >> 1):
a[k] = self.Ploral_Add(a0[k], self.Ploral_Mul(w, a1[k]))
a[k + (lim >> 1)] = self.Ploral_Sub(a0[k], self.Ploral_Mul(w, a1[k]))
w = self.Ploral_Mul(w, wn)
def FFt_change(self, s, lim): # 给传过来的时域数据排序
if lim == 2:
return s
a0 = []
a1 = []
for i in range(0, lim):
if i % 2:
a1.append(s[i])
else:
a0.append(s[i])
a0 = self.FFt_change(a0, lim >> 1)
a1 = self.FFt_change(a1, lim >> 1)
return a0 + a1
迭代 fft
def FFT_high(self, fs, time): # 迭代的 FFT
resolution = fs * time # 计算出总共的点数
fre = 1
t = np.arange(0.0, time, (time / resolution)) # 时域的 t 轴
s = 2 * np.cos(2 * np.pi * t * fre) # 自己定义的一个时域的函数 一个幅值为 2 频率为 fre 的 cos
函数
a = s[:]
lim = resolution
a = self.FFt_change(a, lim) # 对时域的数据排序
f = [] # 将排序好的数据进行复数部分补零
for i in range(0, resolution):
f_cache = [a[i], 0]
f.append(f_cache)
print(f)
for dep in range(0, int(np.log2(lim))): # 迭代的 FFT 算法
m = 1 << (dep+1)
wn = [np.cos(2 * np.pi / m), np.sin(2 * np.pi / m)]
for k in range(0, lim, m):
w = [1, 0]
for j in range(0, int(m/2)):
x = self.Ploral_Mul(w, f[int(k + j + m / 2)])
u = f[k + j]
f[k + j] = self.Ploral_Add(u, x)
f[int(k + j + m / 2)] = self.Ploral_Sub(u, x)
w = self.Ploral_Mul(w, wn)
f_show = [] # 将算出来的数据 a+bi 进行 c = a*a + b*b ,再对 c 开方， 并存入一个列表 用于显
示频域的图像
for i in range(0, resolution):
f_show.append(np.sqrt(f[i][0] * f[i][0] + f[i][1] * f[i][1]))
self.F.axes1 = self.F.fig.add_subplot(121) # 创建图像显示
self.F.axes1.plot(t, s)
self.F.axes1.set_title('Time')
self.F.axes2 = self.F.fig.add_subplot(222)
self.F.axes2.scatter(t, f_show)
self.F.axes2.set_title('Frequency_cos')
f_cos_child = f_show[0:int(resolution/2)] # 计算频率
f_cos_index = f_cos_child.index(max(f_cos_child))
print('f_cos 频率是', f_cos_index * fs / resolution)
5.系统运行
离散型快速傅里叶变换：
较低采样频率时：
较高采样频率时：
6.总结
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