复变函数（第四版）答案.pdf-资料库

1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 ) 5i − + − ；（3）( 3i 3 i1 − )( 24i 2i ；（2） 1 i23 + （1）；（4） i 8 − 4i 21 + i 习题一解答 1 i 2i 3 − )( 32i − = 1 13 2i ) ( 3 − )2i 解（1） 1 + 3 2i = ( 3 + 所以 Re ⎧ ⎨ ⎩ 1 + i23 ⎫ ⎬ ⎭ = 3 13 ， Im ⎧ ⎨ ⎩ 3 1 + 2i ⎫ ⎬ ⎭ −= 2 13 , 1 + 3 2i = 1 13 ( 3 + )2i ， ⎛= ⎜ ⎝ 3 13 2 ⎛−+⎟ ⎞ ⎜ ⎠ ⎝ 3 13 2 ⎞ =⎟ ⎠ 13 13 2i ， 1 3 + 1 + i23 ⎛ Arg ⎜ ⎝ ⎞ =⎟ ⎠ arg ⎛ ⎜ ⎝ 1 i23 + 2 3 arctan kπ2 ⎞ +⎟ ⎠ + 2 kπ , k ±±= ,2,1,0 ( +− 3 3i ) = 3 2 − 5 2 i, −= （2） 1 i − 3i i1 − = − ( − i i i ) − ) ( i13i + ( ) (1i1 − + i) −−= i 1 2 所以 1 ⎛ ⎜ i ⎝ 1Arg ⎛ ⎜ i ⎝ − − 3i i1 − i3 i1 − （3） ( 3 + − 5i ) )( 24i 2i = 所以 1Re ⎧ ⎨ i ⎩ 1 ⎧ ⎨ i ⎩ Im − − 3i ⎫ ⎬ i1 − ⎭ 3i ⎫ ⎬ i1 − ⎭ = 3 2 , −= 5 2 ⎞ =⎟ ⎠ 3 2 + 5i 2 ， 1 i − 3i i1 − ⎛= ⎜ ⎝ 3 2 2 ⎛−+⎟ ⎞ ⎜ ⎠ ⎝ 5 2 2 ⎞ =⎟ ⎠ 34 2 ， ⎞ =⎟ ⎠ ⎛ arg ⎜ ⎝ −= ( 3 = kπ2 ⎞ +⎟ ⎠ + − 1 i i3 i1 − 5 arctan 3 )( 24i − ( )( 2i − 26i + , 2 kπ )( 5i − ) 2i 7 2 −−= 7 −− 2 k ( 26 ,±,±,= ) 210 )( − 2i − 7i 4 . 2i ) = 13i − 5i ) − 5i ) ⎫ ⎬ ⎭ ⎫ ⎬ ⎭ −= 7 2 ， −= 13 ， + + ( 3Re ⎧ ⎨ ⎩ ( 3 ⎧ ⎨ ⎩ Im )( 24i 2i )( 24i 2i 1 课后答案网 www.khdaw.com

l3i ， 7 2 ⎤ +−=⎥ ⎦ ) 5 = 29 2 ) ( 3 + 5i ⎡ ⎢ ⎣ ( 3 ( i52i43 + 5i − + − − )( 24i 2i )( 24i 2i )( i2 ( 2 + ) ⎤ +⎥⎦ ) k π ,1 − ⎡ ⎢⎣ arg ⎤ =⎥⎦ arctan = ) ( i4 i − 4i 1i −=+ 10 2 26 7 ( i −=+ 3i 4 ) 1 ( 10 i14 −− ) + i 2 kπ = 2 arctan 26 7 +− π 2 kπ k ±±= ,2,1,0 . Arg ⎡ ⎢⎣ ( i52i43 − + ) )( i2 （4） 8 i 21 − 4i 所以 =+ i 42 ) ( i 1 −= 8 { iRe 4i − 8 − 21 4i + 8 i { Im1, i i| ， 21 } i =+ ⎞ 1 +=⎟ ⎠ ) i =+ = 3i ( arg i − arctan3 − 4i + 8 21 − 4i 8 21 − 21 4i ) ++ i 2kπ ⎛ i ⎜ ⎝ ( iArg } 3 i −=+ |i =+ 10 2kπ k ( arg 1 3i = − ±±= 0, 1, 2, ) 2kπ + . 8 21 − 4i 2．如果等式解：由于 ) 3yi1x − ++ 5 + ( 3i i1 += 成立，试求实数 x, y 为何值。 ) 3yi1x − ++ 5 + ( 3i = = [ ]( ) ( 53yi1x − − )( )3i 53i − ) ( 3y3 − ++ ( 5 + ( ) 1x5 ++ 3i ) ( [ ) 1x3i ++ −+ 34 ( −+ 5y 3x − + i ( 3y5 − ] ) 18 ) i1 += = 1 34 [ 5x + 3y − ] 4 比较等式两端的实、虚部，得 x 5 x 3 − + + y 3 y 5 4 =− 18 − 34 34 = ⎧ ⎨ ⎩ 或 y x 38 3 5 + = y x 3 5 52 = + − ⎧ ⎨ ⎩ x = y ,1 = 11 。解得 3．证明虚单位i 有这样的性质：-i=i-1= i 。 4．证明 z | 2 = zz 1) | z 6) Re( ) = 1 2 ( z + z z ),Im( ) = 1 2i ( z − z ) 2 课后答案网 www.khdaw.com

证明：可设 z = + ，然后代入逐项验证。 i y x 5．对任何， z 2 z z= | | 2 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对那些 z 值才成立？ x z = + 解：设 xy x y 2i 2 + − 6．当 | ≤z 1| 2 2 z y i = ，则要使 x 2 2 z= | | 2 x 2 − 成立有 y 2 2 + = x + y z n + ，即 z 的最大值，其中 n 为正整数，a 为复数。 y xy 2, = 0 a | 。由此可得为实数。时，求 | 解：由于 n z + a ≤ n |z| + |a| +≤ 1 ，且当 |a| a argi n z = e 时，有 | n z + a| = a argi n e ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ n ⎞ ⎟ +⎟ ⎠ argi a |a|e = ( 1 + ) ea argi a += 1 |a| | 为所求。 a+ |1 故 8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。（1）i；（2）-1；（3）1+ 3 i； ) 2 ϕ )3 ϕ ；（6）( cos5 ( cos3 ；（5） ( 0 ϕϕ ≤ 2i i1 +− isin5 isin3 ϕ + ϕ − （4） 1 isin ϕ + cos )π ≤ − 解：（1） i = cos （2） 1 =− πie 2 = ； + π 2 cosπ isin π 2 isinπ + ⎛ 12 ⎜ ⎜ 2 ⎝ iπe = ⎞ 3i ⎟ =⎟ 2 ⎠ （3） 3i1 + = + （4） 1 cos − ϕ ϕ = isin + cos ⎛ 2 ⎜ ⎝ π 3 + isin π 3 ⎞ =⎟ ⎠ πi 3 2e ； 2sin 2 ϕ + 2 i2sin = 2sin ϕ ⎛ ⎜ 2 ⎝ cos π ϕ + − 2 = cos ϕ ϕ 2 2 ϕ ⎞ =⎟ ⎠ π isin − 2 1i 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ （5） 2i i1 +− = 1 2 2i ( i1 =−=−− i1 ) 2 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 1 2 − 2sin 2sin sin ⎛ ⎜ ⎝ πi ϕ ϕ + 2 2 ϕ e 2 (0, − ϕ 2 ≤ icos ϕ ⎞ ⎟ 2 ⎠ ϕ ≤ π) ； π 4 − isin π 4 ⎞ ⎟ ⎠ 2 = cos ⎛ ⎜ ⎝ πie2 − = cos5 isin5 + ϕ cos3 isin3 − ϕ 4 （6） ( ( ) ϕ ) ϕ 2 3 = ( e i5 ϕ 2 ) ( / e − i3 ϕ 3 ) = e i10 /e ϕ − i9 ϕ i19 ϕ = e 3 课后答案网 www.khdaw.com

ϕ isin19 ϕ 9．将下列坐标变换公式写成复数的形式： cos19 + = 1）平移公式： 2）旋转公式： , ; x x = ⎧ 1 ⎨ = y y ⎩ 1 x x = ⎧ 1 ⎨ = y x ⎩ 1 b z 1i + ， 1 = ；2） a + 1 b + 1 y cos α − 1 y sin α + 1 x y1 i + ， = 1 z (cos α + 1 z sin , α cos . α x z = + ，则有 isin ) α i = 。解：设 A a = 1 z A + 1 y z α e i 1） 1 10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？ = z 解：设复数 z |= ez | i Arg ，则z z ( |=− ) i i Arg z ez | ⋅ e − i π 2 = |z|e Arg i ⎛ ⎜ ⎝ πz − 2 ⎞ ⎟ ⎠ ，可知复数的模不变，辐角减少 π 2 。 11．证明： | 证明： | z 1 + z 1 z 2 + | 2 z 2 + | 2 | + | z 1 − z 1 z 2 − | 2 z 2 | 2 = = = = z z 2(| | | 2 + 1 2 z z z ( )( + + 2 1 1 z z z z 2( + 1 1 2 z z 2(| | | 2 + 1 2 2 2 ( − + z 1 2| ) ，并说明其几何意义。 z ) ) | ) 2 ) z 1 )( − z z 2 2 其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。 12．证明下列各题： 1）任何有理分式函数 P z ( ) Q z ( ) 有实系数的 x 与的有理分式函数； R z ( ) = y 可以化为 iX Y+ 的形式，其中 X 与Y 为具 2）如果 ( )R z 为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么 ( ) R z 3）如果复数 ia b+ 是实系数方程 1 − a z a n n + = 0 1 − n = X − ； Y i 的根，那么 ia b− 证 1） R z ( ) n + + a z 1 a z 0 + 也是它的根。 P z Q z ( ) ( ) Re( Q z Q z ( ) ( ) P z ( ) Q z ( ) = = = P z Q z ( ) q x y ( , ( )) ) + Im( P z Q z ( ) q x y ( , ( )) ) ; P z ( ) Q z ( ) = P z ( ) Q z ( ) = P z ( ) Q z ( ) ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ = X + i Y X = − i Y ; 2） R z ( ) = 3）事实上 ( P z ) = n a z 0 + a z 1 n 1 − + + a z n 1 − + a n 4 课后答案网 www.khdaw.com

a 0 + zaza 2 1 + 2 + + n za n ( )zP = = ，试证明 ite = 2 cos nt ；（2） n z − 1 n z = sini2 nt 13．如果（1） n z + z = 1 n z 解（1） n z + （2） n z − 1 n z 1 n z = int e + e − int = int e int + e = sin2 nt int = e − e − int int = e int − e = sini2 nt 14．求下列各式的值（1）( 解（1）( 5i3 − ) ；（2）( 3 2 i3 − ) = 5 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎛ ⎜ 2 ⎜ ⎝ − )6i1+ ；（3） 6 1− ；（4）( i1− 1 ) 3 5 i 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ( e 2 − = i π 56/ ) = e 32 − 6/5i π = 32 cos ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 + − ⎛ ⎜ ⎝ i 2 5π 6 6 ⎞ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ + isin − ⎛ ⎜ ⎝ ( = i /4 π 2e 5π 6 ) 6 = − 16 3 16i − ⎞ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎦ = 3 i/2 π 8e = − 8i 。 ( iπ 2 k ) 1 /6 + = e k , = 0,1,2,3,4,5 。可知 6 1− 的 6 个值分别是（2）( 1 i + 6 ) = 2 ⎡ ⎢ ⎣ （3） 6 1 − = iπ+2 k π ( e ⎛ ⎜ ⎝ ) 1 6 e /6i =π 3 2 + i 2 , e /2i =π ， i ei /65i −=π 3 2 i7 e /6 −=π 3 2 ， −=/πe 23i ，i =/πe 11i 4 + i 2 3 2 − i 2 。 ( π i /− 4 2 e 1 3 ) i ⎛ ⎜ ⎝ π +− 4 2 kπ ⎞ 3⎟ ⎠ , 6 = 2 e k = 0,1,2 。 − i 2 1 ⎤ 3 =⎥ ⎦ （4）( −1 1 3 ) i = ⎡ ⎢ ⎣ 2 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 1 2 − i 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 可知 ( 1 i− )1/3 的 3 个值分别是 6 6 6 6 2 2 e 2 e − i π 2/ = = 12/7i π cos π 12 7 π 12 5 π 4 = − ，试求 n 的值。 ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ (1 i) πe 4/5i cos cos = 2 2 2 n 6 6 − sini + sini π ⎞ , ⎟ 12 ⎠ 7 π ⎞ , ⎟ 12 ⎠ 5 π ⎞ ⎟ 4 ⎠ + sini 。 15．若(1 i) + n 5 课后答案网 www.khdaw.com

解由题意即 ( 2e i π / 4 n ) = ( 2e − i π / 4 n i π / 4 ) ,e n = e − nπ i / 4 ，sin n 4 π= 0 ， n = k k 故 4 , 16．（1）求方程 = ± ± 。 0, 1, 2, =+z 83 y 0 + y 8''' （2）求微分方程的所有根 z 解（1） ( e 2 = − 即原方程有如下三个解： = 1 ) 38 0 = π ( 1 2 + 3 i 的一般解。 k ) ，k=0,1,2。（2）原方程的特征方程一般形式为 ,3i1+ 83 =+λ ,2− 有根0 3i1− 。 11 i3 +=λ ， 2 −=λ 2 ， 1 −=λ 3 i3 ，故其 ( x Ce 2 x + cos 3 Cx + 3 sin )x 3 2 − = eCy 1 z 17．在平面上任意选一点，然后在复平面上画出下列各点的位置： − z z , , − z , 1 1 , z z , − 。 1 z y o z− -z − 1 z 18．已知两点与（或已知三点 2z 1z z z z 1 , z 2 , z 3 1 z x 1 z ）问下列各点位于何处？（1） z = （2） z = （3） z = 解令 z k （1） z = 1 ( z 12 z λ 1 1 ( z 13 x = k x + 1 2 z + ( 1 −+ + z 2 i + x 2 )2 + ) 2 （其中λ为实数）； z λ )3 z 1,2,3 = y + 2 ，则。 1z i 2 ,ky k y 1 + ，知点 z 位于与连线的中点。 2z 6 课后答案网 www.khdaw.com

（2） z = x 2 − ( xλ 2 − ) x 1 + [ i y 2 − ( yλ 2 − ]1 ) y 处。，知点位于与连线上定比 1z 2z λ = |z |z 2 − − |z 1 |z 1 （3） z = ( x 1 + x 2 + ) + x 3 1 3 i 3 ( y 1 + y 2 + y 3 ) ，由几何知识知点 z 位于 zzz∆ 321 的重心处。 19．设 z z 1 = z z , 1 = 2 , 2 z 3 z 3 = 三点适合条件： 1 z 1 + z 2 + z 3 = 0 , 。证明z1，z2，z3是内接于单位圆 1=z 的一个正三角形的顶点。证由于因为 z 1 = z 2 = z 3 = 1 ，知 zzz∆ 321 的三个顶点均在单位圆上。 1 2 z 3z z = = 3 3 [ ] [ ) ( z z + − −= 2 1 zz zz 2 + += 21 21 1 −= ，又 2 ( = z 1 2 + zz 21 z z 1 − 所以， zz 21 ( z 1 + ] ) z 2 = zz 11 + zz 22 + zz 23 + zz 21 − )( 2 ( −= z 2 z − 1 zz 21 zz 22 − ( zz 21 + zz 12 ) z 2 + ) = zz 21 zz + 11 ) 3 = 故 z 1 − z 3 的一个正三角形。 = 2 ，同理 z 1 − z 3 = z 2 − z 3 = 3 ，知 zzz∆ 321 是内接于单位圆 1=z 20．如果复数z1，z2，z3满足等式 z − 1 z − 1 ，并说明这些等式的几何意义。 z z − z 1 z z 3 z − − 3 z = = − = z z z 2 3 2 z 1 3 2 3 证明 − 由等式得 2 z 1 ) ) z = z 1 arg( arg( z z arg( − − − 3 2 1 zzz ∠= 。又因为 231 ( ) z z z − − + − 1 ) ( z z z − + − − 3 1 2 zzz zzz∆ ∠= ，所以知 123 321 z z z = − 1 ( z 1 ( z z 1 z 1 。 zzz ∠ 312 z = − = 2 2 3 2 3 3 即 ∠ zzz 312 又可得 z z 1 − 2 z 1 − z 3 ) − arg( z − z 3 ) 2 ) ) = − − z 2 z z 3 z 1 z 3 z 3 是正三角形，从而 2 7 课后答案网 www.khdaw.com

| +z z − = 6 5 | z + 2) z |i | −=+ 21．指出下列各题中点 z 的存在范围，并作图。（1）| （3） Re( （5）；；（2） 1|i2 ≥ ) 3 = − ；（4） ( =z ； iRe z z |3 | 4|1 |i | + + =+ 3 − 2 − 1 ；（6） z z （7） Im( ) 2 z ≤ ；（8）； ≥ 1 z | （9）0 arg z π < ；（10） ( arg < ) =−z i π 4 5 z = 为心，半径为 6 的圆周（见下图（a））；为心，半径为 1 的圆周及外部（见下图（b））； i2 2) + x y )i − 1 = − ⇔ = − 知点 z 的范围是直线 y += 3 z )iRe( x ，故 =⇔= .3 3 x y i 3 x = − （见下图（c））；知点 z 的范围是直线 y=3（见下解：（1）以点 0 （2）以点 −=z 0 z （3）由于 Re( (i = （4） z i 图（d））； i （5） z 2 i = − ⇔ + z （ z i 2 i)( z − = i) ( z − i)( z + ⇔ i) z 2 i + = − ⇔ + 2 z i i i z z z 1 + = + − z − + 0. z 0 y⇒ = 知点 z 的范围是实轴（见下图（e））；（6） x +⇔=+++ 1 + ⇔ − = ⇔ 2 −=−⇔+− z i )1 4( z z = 3 4 1 3 2 i i z z z z 2 2 2Re(i ) 0 0 = ⇔ = 2 y z z −⇔+ 1 x ( 2 )2 = 4 z + 1 2 2 +⇔ 3 12 x + 4 y 2 （ ⇔= 0 2 )2 x + 4 + 2 y 3 = 1 ，即点 z 的范围是以（-3,0）和（-1,0）为焦点，长半轴为 2，短半轴为 3 的一椭圆（见下图（f））；（7）（8） y ≤ z 3 − z 2 − 2 ，（见下图（g））；。 −⇔≥ 1 z 2 3 −⇔−≥ 2 ( z z 2 )(3 z − )3 ≥ ( z − )(2 z −⇔− )2 z 2 3 z − 3 z ≥+ 9 2 z − 2 z − 2 z + ⇔ + ≤ ⇔ ≤ 4 5 x z z 5 2 .即点 z 的范围是直线 =x 以及 5 2 =x 为边 5 2 界的左半平面（见下图（h））；（9）不包含实轴上半平面（见下图（i））；（10）以 i 为起点的射线 ,1 > += 0 x x y （见下图（j））； 8 课后答案网 www.khdaw.com

资料库

复变函数（第四版）答案.pdf

相关推荐

课程资源

热门标签

最新资料