2020-2021年江苏省无锡市锡山区高一数学下学期期中试卷及答案.doc-资料库

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2020-2021 年江苏省无锡市锡山区高一数学下学期期中试卷及答案一、选择题（共 8 小题）. 1．i 是虚数，复数＝（） A．﹣1+3i B． C．1+3i D． 2．在△ABC 中，若| |＝| |＝| ﹣ |，则△ABC 的形状为（） A．等边三角形 C．直角三角形 B．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．已知、是不共线的向量，，（λ、μ∈R），当且仅当（）时，A、B、C 三点共线． A．λ+μ＝1 B．λ﹣μ＝1 C．λμ＝﹣1 D．λμ＝1 4．若非零向量，满足| |＝3| |，（2 +3 ）⊥ ，则与的夹角为（） A． B． C． D． 5．已知 2+i 是关于 x 的方程 x2+ax+5＝0 的根，则实数 a＝（） A．2﹣i B．﹣4 C．2 6．当复数 z 满足|z+3﹣4i|＝1 时，则|z+2|的最小值是（） A． B． C． D．4 D． 7．在△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 csinC＝asinA+（b﹣a）sinB，角 C 的角平分线交 AB 于点 D，且 CD＝，a＝3b，则 c 的值为（） A． B． C．3 D． 8．以 C 为钝角的△ABC 中，BC＝3，，当角 A 最大时，△ABC 面积为（） A．3 B．6 C．5 D．8 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。 9．已知复数 z＝2+i，则下列结论正确的是（） A． B．复数 z 的共轭复数为 2﹣i

C．zi2021＝1+2i D．z2＝3+4i 10．下列说法中正确的为（） A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量，，满足且与同向，则 D．非零向量和，满足，则与的夹角为 30° 11．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，则下列说法正确的是（） A．若 A＞B，则 sinA＞sinB B．若 A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC 有两解 C．若△ABC 为钝角三角形，则 a2+b2＞c2 D．若 A＝60°，a＝2，则△ABC 面积的最大值为 12．如图，△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 a＝b，且（acosC+ccosA）＝2bsinB，D 是△ABC 外一点，DC＝1，DA＝3，则下列说法正确的是（） A．△ABC 是等边三角形 B．若 AC＝2 ，则 A，B，C，D 四点共圆 C．四边形 ABCD 面积最大值为 +3 D．四边形 ABCD 面积最小值为 ﹣3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知 i 为虚数单位，则的虚部是． 14．在△ABC 中，若 a＝4，b＝3，c＝2，则△ABC 的外接圆半径长为． 15．如图，正方形 ABCD 边长为 1，点 P 在线段 AC 上运动，则的取值范围为．

16．如图，在△ABC 中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，直线 l 过△ABC 的重心 G，且与边 AB，AC 分别交于 D，E 两点，则的最小值为．四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．平面内给定三个向量，，．（1）若（2）若，求实数 k；，求实数 k． 18．设实部为正数的复数 z，满足|z|＝，且复数（2+i）z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．（Ⅰ）求复数 z；（Ⅱ）若 +4mi（m∈R）为纯虚数，求实数 m 的值． 19．如图，在菱形 ABCD 中，，．（1）若，求 3x+2y 的值；（2）若，∠BAD＝60°，求．（3）若菱形 ABCD 的边长为 6，求的取值范围． 20．在① csinB＝a﹣bcosC，②bsinC＝ccos（B﹣ ）这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．

问题：△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知_____．（1）求 B；（2）若 D 为 AC 的中点，BD＝2，求△ABC 的面积的最大值． 21．如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中 OA＝3km，∠OAM＝60°，∠AOB＝90°．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中 M，N 都在边 AB 上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM 地带上形成假山，剩下的△OBN 地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN 的周围安装防护网．设∠AOM＝θ．（1）当时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；（2）若θ＝15°，问此时人工湖用地△OMN 的面积是堆假山用地△OAM 的面积的多少倍？（3）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△ OMN 的面积最小？最小面积是多少？ 22．如图，海上有 A，B 两个小岛，B 在 A 的正东方向，小船甲从 A 岛出发以 v 海里/小时的速度沿北偏东 60°方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过 t 小时与小船甲相遇．（1）若 AB 相距 2 海里，v 为 8 海里/小时，小船乙从 B 岛出发匀速直线追赶，追赶 10 分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；（2）若小船乙先从 A 岛以 16 海里/小时匀速沿射线 AB 方向行驶 k（0＜k＜t）小时，再以 8 海里/小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下 v 的最大值．

一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只参考答案有一项是符合题目要求的。 1．i 是虚数，复数＝（） A．﹣1+3i B． C．1+3i D．解：＝故选：C．＝1+3i． 2．在△ABC 中，若| |＝| |＝| ﹣ |，则△ABC 的形状为（） A．等边三角形 C．直角三角形 B．等腰三角形 D．等腰直角三角形解：若| |＝| |＝| ﹣ |，则若| |＝| |＝| ﹣ |＝| |，则△ABC 为等边三角形．故选：A． 3．已知、是不共线的向量，，（λ、μ∈R），当且仅当（）时，A、B、C 三点共线． A．λ+μ＝1 B．λ﹣μ＝1 C．λμ＝﹣1 D．λμ＝1 解：设 A、B、C 三点共线，则向量、共线，即存在实数 k，使得＝k ∵ ∴ 且＝k（），可得，解之得λμ＝1 因此，当且仅当λμ＝1 时，A、B、C 三点共线．故选：D． 4．若非零向量，满足| |＝3| |，（2 +3 ）⊥ ，则与的夹角为（） A． B． C． D．解：根据题意，设与的夹角为θ，| |＝t，则| |＝3| |＝3t，若（2 +3 ）⊥ ，则（2 +3 ）• ＝2 • +3 2＝6t2cosθ+3t2＝0，

即 cosθ＝﹣ ，又由 0≤θ≤π，则θ＝，故选：C． 5．已知 2+i 是关于 x 的方程 x2+ax+5＝0 的根，则实数 a＝（） A．2﹣i B．﹣4 C．2 D．4 解：∵已知 z＝2+i 是关于 x 的方程 x2+ax+5＝0 的根， ∴2﹣i 是关于 x 的方程 x2+ax+5＝0 的根， ∴2+i+（2﹣i）＝﹣a，解得 a＝﹣4，故选：B． 6．当复数 z 满足|z+3﹣4i|＝1 时，则|z+2|的最小值是（） A． B． C． D．解：∵|z+2|＝|（z+3﹣4i）+（﹣1+4i）|≥|﹣1+4i|﹣|z+3﹣4i|＝ ﹣1＝ ﹣1 ∴|z+2|的最小值是 ﹣1．故选：B． 7．在△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 csinC＝asinA+（b﹣a）sinB，角 C 的角平分线交 AB 于点 D，且 CD＝，a＝3b，则 c 的值为（） A． B． C．3 D．解：因为 csinC＝asinA+（b﹣a）sinB，所以由正弦定理可得 c2＝a2+b2﹣ab，可得 cosC＝＝＝，因为 C∈（0，π），所以 C＝，所以∠ACD＝∠BCD＝，由 CD＝，a＝3b，所以＝＝，在△ACD，△BCD 中，由余弦定理得：AD2＝b2+3﹣2b× cos30°＝b2﹣3b+3，

DB2＝（3b）2+3﹣2×3b× cos30°＝9b2﹣9b+3，故 9b2﹣9b+3＝9（b2﹣3b+3），解得：b＝，故 a＝4，在△ABC 中，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC，即 c2＝16+ ﹣2×4× × ＝，故 c＝．故选：B． 8．以 C 为钝角的△ABC 中，BC＝3，，当角 A 最大时，△ABC 面积为（） A．3 B．6 C．5 D．8 解：∵△ABC 中，BC＝3，， ∴3| |cosB＝12，即 ccosB＝4，其几何意义：AB 在 BC 方向上的正投影长度始终为 4，过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，设∠ACD＝θ，∠ABC＝β，∠A＝α，A（x，y），y＞0， tanθ＝y，tanβ＝， ∵θ＝α+β， ∴α＝θ﹣β， tanα＝tan（θ﹣β）＝＝＝ ≤ ＝，（当且仅当 y＝，即 y＝2 时去等号），当 tanα＝时，角 A 最大，此时△ABCBC 边上的高 y＝2，△ABC 的面积 S＝＝ 3．故选：A．

二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。 9．已知复数 z＝2+i，则下列结论正确的是（） A． C．zi2021＝1+2i B．复数 z 的共轭复数为 2﹣i D．z2＝3+4i 解：∵z＝2+i，∴|z|＝＝，＝2﹣i，故选项 A、B 正确；又 z•i2021＝（2+i）i＝﹣1+2i，故选项 C 错误； ∵z2＝（2+i）2＝3+4i，∴选项 D 正确，故选：ABD． 10．下列说法中正确的为（） A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量，，满足且与同向，则 D．非零向量和，满足，则与的夹角为 30° 解：对于 A：已知，，由于与的夹角为锐角，故，且λ≠0，故实数λ的取值范围是，故 A 错误；对于 B：向量，，满足，所以和共线，所以不能作为平面内的一组基底，故 B 正确；

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