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2011年湖北省荆门市中考数学真题及答案.doc
2011 年湖北省荆门市中考数学真题及答案
注意事项：
1.本卷满分为 120 分，考试时间为 120 分钟．
2.本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上。解题中的辅助线和标注角的字母、符号等务必
添在答题卡的图形上.
3.在答题卡上答题，选择题必须用２Ｂ铅笔填涂，非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔或黑色墨水钢
笔作答．
★ 祝 考 试 顺 利 ★
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题只有唯一正确答案，每小题 3 分，共 30 分）
1.有理数
1 的倒数是（
2
）
A.-2
B.2
C.
1
2
D.
1
2
2.下列四个图案中，轴对称图形的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
2
x
3.将代数式
2
)2
x
A.
(
第 2 题图
第 2 题图
4
x
3
化成
(
B.
1
q
2)
(
x
p
2
)2
x
4
的形式为（
x
C.
(
第 4 题图
）
2
5
)2
D.
(
x
)4
2
4
4.如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为 2∶5，且三角尺的一边长为 8 cm ，
则投影三角形的对应边长为（
A.8cm
B.20cm
）
C.3.2cm
D.10cm
5.有 13 位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设 7 个获奖名额.某同学
知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在下列 13 名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是
（
）
A.众数
B.方差
6.对于非零的两个实数 a 、b ，规定
1
.若1
a
1
2
7. 如图，P为线段 AB上一点，AD与 BC交于 E，∠CPD
a
1
2
1
3
3
2
D.
A.
B.
C.
C.中位数
1
b
b
D.平均数
x
(
1) 1
，则 x 的值为（
）
＝∠A＝∠B，BC交 PD于 F，AD交 PC于 G，则图中
相似三角形有（
）
A.1 对 B.2 对
C.3 对
D.4 对
第 7 题图
8.在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则 sinB的值是（
）
A.
5
17
14
B.
3
5
C.
21
7
D.
21
14
9.关于 x 的方程
则 a 的值是（
ax
2
）
3(
a
)1
x
(2
a
)1
0
有两个不相等的实根 1x 、 2x ,且有
x
1
xx
21
x
2
1
a
，
A.1
B.-1
C.1 或-1
D.2
10.图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②
铺成了一个 2×2 的近似正方形，其中完整菱形共有 5 个；
若铺成 3×3 的近似正方形图案③，其中完整的菱形有
13 个；铺成 4×4 的近似正方形图案④，其中完整的菱形
有 25 个;如此下去，可铺成一个 n n 的近似正方形图案.
当得到完整的菱形共 181 个时，n 的值为（
）
A.7
B.8
C.9
D.10
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
第 10 题图
11.已知 A＝ 2x ，B是多项式，在计算 B+A时，小马虎同学把 B+A看成了 B÷A，结果得
x
▲.
12.如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是▲.
2 ，则 B+A＝
x
1
2
第 12 题图
x
3
(
13.若等式
第 14 题图
第 15 题图
成立，则 x 的取值范围是 ▲.
)2
0
1
第 16 题图
14.如图，长方体的底面边长分别为 2 cm 和 4cm ，高为 5 cm . 若一只蚂蚁从 P点开始经过 4 个侧面爬行
一圈到达 Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ▲ cm .
15.请将含 60°顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积相等的六部分，用实线画出分割后的图形.
16.如图，双曲线
y
( x ＞0）经过四边形 OABC的顶点 A、C，∠ABC＝90°，OC平分 OA与 x 轴正半轴的
2
x
夹角，AB∥ x 轴，将△ABC沿 AC翻折后得△ CBA ， B 点落在 OA上，则四边形 OABC的面积是 ▲.
三、解答题（共 66 分）
17.（本题满分 6 分）计算：
12
1(
2
1
)
322
18.（本题满分 6 分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
x
2
1 3(
x
3 3
x
1) 8
＜
1
； ①
.
x
②
19.（本题满分 7 分）如图，P是矩形 ABCD下方一点，将△PCD绕 P点顺时针旋转 60°后恰好 D点与 A点重
合，得到△PEA，连结 EB，问△ABE是什么特殊三角形？请说明理由.
第 19 题图
20.（本题满分 8 分）2011 年国家对“酒后驾车”加大了处罚力度，出台了不准酒后驾车的禁令.某记者在
一停车场对开车的司机进行了相关的调查，本次调查结果有四种情况：①偶尔喝点酒后开车；②已戒酒
或从来不喝酒；③喝酒后不开车或请专业司机代驾；④平时喝酒，但开车当天不喝酒.将这次调查情况
整理并绘制了如下尚不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题.
（1）该记者本次一共调查了 ▲名司机.
（2）求图甲中④所在扇形的圆心角，并补全图乙.
（3）在本次调查中，记者随机采访其中的一名司机，求他属第②种情况的概率.
（4）请估计开车的 10 万名司机中，不违反“酒驾”禁令的人数.
21.（本题满分 8 分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图所
第 20 题图
示.已知上、下桥的坡面线 ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度
i ＝1∶3.7，桥下水深 OP＝5 米，水面宽度 CD＝24 米.设半圆的圆心为 O，直径 AB在坡角顶点 M、N的连
线上，求从 M点上坡、过桥、下坡到 N点的最短路径长.（参考数据：π≈3， 3 ≈1.7，tan15°＝
）
3
1
2
第 21 题图
22.（本题满分 9 分）如图，等腰梯形 ABCD的底边 AD在 x 轴上，顶点 C在 y 轴正半轴上，B（4,2），一次
的图象与坐标轴只
1
的图象平分它的面积，关于 x 的函数
y mx
2
m k
3
m k x
2
y
kx
函数
有两个交点，求 m 的值.
第 22 题图
23.（本题满分 10 分）2011 年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资
购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示
的函数对应关系.
型号
金额
投资金额 x （万元）
Ⅰ型设备
Ⅱ型设备
补贴金额 y （万元）
x
y
1
(
k
（1）分别求 1y 和 2y 的函数解析式；
（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资 10 万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方
x
ax
)0
kx
)0
y
2
(
a
2
bx
2.4
3.2
2
4
5
2
案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
24.（本题满分 12 分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形 OABC与 CDEF的边 OC、OA所在直线为 x 轴、
y 轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在 x 轴正半轴上）.若⊙P过 A、B、E三点(圆心在 x 轴上)，抛
1
4
物线
y
1.
2
x
bx
c
经过 A、C两点，与 x 轴的另一交点为 G，M是 FG的中点，正方形 CDEF的面积为
（1）求 B点坐标；
（2）求证：ME是⊙P的切线；
（3）设直线 AC与抛物线对称轴交于 N，Q点是此对称轴上不与 N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最
小值；②若 FQ＝t ，S△ACQ＝ s ，直接写出．．．．s 与t 之间的函数关系式.
图甲
参考答案及评分标准
图乙（备用图）
一、选择题 （每选对一题得 3 分，共 30 分）
1.A
2.C
3.C
4.B
5.C
6.D
7.C
8. D
9. B
10.D.
二、填空题（每填对一题得 3 分，共 15 分）
3
2
x
2
x
11.
2
x
16.2.
；12.50°；13.x≥0 且 x≠12 ；14.13；15. 方法很多，参照给分；
三、解答题（按步骤给分，其它解法参照此评分标准给分）
…………………4 分
17.解：原式＝
＝
32
32
)2
32(2
322
2
…………………………………………………………5 分
＝0 ………………………………………………………………………………6 分
考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．
专题：计算题．
分析：将 12 化为最简二次根式，利用负整数指数的意义化简
11(
)
2
，判断 2 2 3
的符号，去绝对值．
点评：本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂的意义．关键是理解每一个部分运算法则，分别化
简．
18. 解：由①得：x≤1 ………………………………………………………………………1 分
由②得：x＞-2 ……………………………………………………………………………2 分
综合得：-2＜x≤1 …………………………………………………………………………4 分
在数轴上表示这个解集
…………………………6 分
考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
专题：计算题；数形结合．
分析：先解每一个不等式，再求解集的公共部分即可．
点评：本题考查了解一元一次不等式组，解集的数轴表示法．关键是先解每一个不等式，再求解集的公共
部分．
19. 解：△ABE是等边三角形.理由如下：………………………………………………… 1 分
由旋转得△PAE≌△PDC
∴CD=AE，PD=PA,∠1=∠2……………………3 分
∵∠DPA=60°∴△PDA是等边三角形…………4 分
∴∠3＝∠PAD＝60°.
由矩形 ABCD知，CD＝AB，∠CDA＝∠DAB＝90°.
∴∠1＝∠4＝∠2＝30°………………………6 分
∴AE＝CD＝AB，∠EAB＝∠2+∠4＝60°,
∴△ABE为等边三角形…………………………7 分
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；矩形的性质．
专题：几何图形问题．
分析：根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，
其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，根据图形求出旋转的角度，即
可得出三角形的形状．
点评：本题主要考查了图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其
中对应点到旋转中心的距离相等，旋 转前后图形的大小和形状没有改变，难度适中．
20. 解：（1）2÷1%=200 …………………………………………………………………… 1 分
（2）360°×
70
200
200×9%=18（人）
＝126°∴④所在扇形的圆心角为 126°…………………………… 2 分
200－18－ 2－70=110（人）
第②种情况 110 人，第③种情况 18 人．
注：补图②110 人，③18 人…………………………………………………………………4 分
（3）P（第②种情况）＝
∴他是第②种情况的概率为
110
200
11
20
11
20
…………………………………………………………6 分
（4）10×（1-1%）＝9.9（万人）
即：10 万名开车的司机中，不违反“酒驾”禁令的人数为 9.9 万人…………………8 分
考点：扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图；概率公式．
专题：图表型．
分析：（1）从扇形图可看出①种情况占 1%，从条形图知道有 2 人，所以可求出总人数．
（2）求出④所占的百分比然后乘以 360°就可得到圆心角度数，然后求出其他情况的人，补全条形图．
（3）②种情况的概率为②中调查的人数除以调查的总人数．
（4）2 万人数减去第①种情况的人数就是不违反“洒驾“禁令的人数．
点评：本题考查对扇形图和条形图的认知能力，知道扇形图表现的是部分占整体的百分比，条形图告诉我
们每组里面的具体数据，从而可求答案．
21. 解 ： 连 结 OD 、 OE 、 OF ， 由 垂 径 定 理 知 ： PD ＝
1
2
CD ＝ 12 （ m ） ………… 1 分
在 Rt△OPD中，OD＝
2
PD
OP
2
2
5
12
2
＝13（m）
∴OE＝OD＝13m ……………………………………………………………………………2 分
∵tan∠EMO=i = 1∶3.7 ，tan15°＝
1
2
3
=
2 ≈1：3.7
3
∴∠EMO＝15°……………………………………………………………………………3 分
由切线性质知∠OEM＝90°∴∠EOM=75°
同理得∠NOF＝75°∴∠EOF＝180°-75°×2＝30°………………………………4 分
在 Rt△OEM中，tan15°＝
1
2
3
=
2 ≈1∶3.7
3
∴EM＝3.7×13＝48.1（m）…………………………………………………………6 分
又 EF⌒ 的弧长＝
＝6.5（m）……………………………………………7 分
13
30
180
∴48.1×2+6.5＝102.7（m）,
即从 M点上坡、过桥、再下坡到 N点的最短路径长为 102.7 米……………… 8 分
（注：答案在 102.5m—103m 间只要过程正确，不扣分）
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题：几何图形问题．
分析：首先明确从 M点上坡、过桥、下坡到 N点的最短路径长应为如图 ME+EF⌒ +FN，连接如图，把实际
问题转化为直角三角形问题，由已知求出 OD即半径，再由坡度i =1∶3.7 和 tan15°＝
1
2
3
=
2 ≈1∶
3
3.7，得出∠M=∠N=15°，因此能求出 ME和 FN，所以求出∠EOM=∠FON=90°-15°=75°，则得出EF⌒ 所对的
圆心角∠EOF，相继求出EF⌒ 的长，从而求出从 M点上坡、过桥、下坡到 N点的最短路径长．
点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是由已知先求出半圆的半径和∠M和∠N，再
由直角三角形求出 MF和 FN，求出EF⌒ 的长．
22. 解：过 B作 BE⊥AD于 E，连结 OB、CE交于点 P，∵P为矩形 OCBE的对称中心，则过 P点的直线平分矩
形 OCBE的面积.
∵P为 OB的中点，而 B（4，2） ∴P点坐标为（2，1）………………………1 分
在 Rt△ODC与 Rt△EAB中，OC＝BE，AB＝CD
∴Rt△ODC≌Rt△EAB（HL）,∴S△ODC＝S△EBA
∴过点（0，-1）与 P（2，1）的直线平分等腰梯形面积，这条直线为
y
kx
1
∴2k-1=1 ∴k=1 …………………………………………………………………3 分
∵
y mx
2
3
m k x
2
m k
的图象与坐标轴只有两个交点,
①当 m＝0 时，y＝-x+1,其图象与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）………5 分
②当 m≠0 时，函数
y mx
2
3
m k x
2
m k
的图
象 为 抛 物
线，且与 y 轴总有一个交点（0，2m+1）
若抛物线过原点时，2m+1=0，即 m=
此时△＝
3(
m
)1
2
2(4
mm
)1
=
1 ，
2
( m
2)1
＞0
∴抛物线与 x 轴有两个交点且过原点，符合题意. ………………………………7 分
若抛物线不过原点，且与 x 轴只有一个交点，也合题意，
此时△′＝
3(
m
)1
2
2(4
mm
综上所述， m 的值为 m =0 或
1
)1
m m
2
=0 ∴ 1
1 或-1 …………………………………………9 分
2
专题：计算题．
分析：过 B作 BE⊥AD于 E，连接 OB、CE交于点 P，根据矩形 OCBE的性质求出 B、P坐标，然后再根据相似
三角形的性质求出 k 的值，将解析式
y mx
2
3
m k x
2
m k
中的 k 化为具体数字，再分 m =0 和
m ≠0 两种情况讨论，得出 m 的值．
点评：此题考查了抛物线与坐 标轴的交点，同时结合了梯形的性质和一次函数的性质，要注意数形结合，
同时要进行分类讨论，得到不同的 m 值．
23.解：（1）由题意得：①5k=2，k=
2 ∴
5
y
1 ……………………………………2 分
x
2
5
②
4
a
16
a
2
b
4
b
4.2
2.3
∴a=
1
5
b=
8
5
∴
y
2
1 2
x
5
8
5
x
………………………4 分
（2）设购Ⅱ型设备投资 t 万元，购Ⅰ型设备投资（10-t）万元，共获补贴 Q 万元.
∴
∴
∵
2
t
t
)
y
4
，
y
1
10(
2
5
t
2
8
5
5
6
yQ
t
1
5
29
1 ＜0，∴Q 有最大值，即当 t=3 时，Q 最大＝
5
5
1 2
t
5
8
5
1
5
2
5
1
5
4
y
2
t
2
t
t
t
2
4
1
5
(
t
2
)3
29
5
…………7 分
∴10-t=7(万元) …………………………………………………………………………9 分
即投资 7 万元购Ⅰ型设备，投资 3 万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴 5.8 万元………10 分
考点：二次函数的应用．
分析：（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据
y
y
1
得出关于 x 的二次函数，求出二次函数最值即可．
y
2
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数的最值问题，利用函数解决
实际问题是考试的中热点问题，同学们应重点掌握．
24.解：（1）如图甲，连接 PE、PB，设 PC＝ n
∵正方形 CDEF面积为 1∴CD＝CF＝1
根据圆和正方形的对称性知 OP＝PC＝ n
∴BC＝2PC＝2 n ………1 分
而 PB＝PE，
2
PE
PF
2
(
)1
n
∴
2
BC
(
n
PC
2
)1
2
1
4
n
2
2
2
2
PB
2
EF
51
n
1n
2
(
解得 n=1
舍去)
…………… 2 分
2
n
2
5
n
P
∴BC＝OC＝2 ∴B点坐标为（2，2）………3 分
图甲
（2）如图甲，由（1）知 A（0，2），C（2，0）
1 2
x
4
1 2
x
4
bx
3
2
∴
3b
2
2
x
2
∵A，C 在抛物线上∴
y
∴抛物线的解析式为
y
即
y
(
x
)3
2
1
4
1
4
…………………………………………………………… 4 分
∴抛物线的对称轴为 3
∵C与 G关于直线 3
x ,即 EF所在直线
x 对称， ∴CF＝FG＝1 ∴FM＝
1
2
FG＝
1
2
在 Rt△PEF与 Rt△EMF中
PF
EF
∴∠EPF＝∠FEM ∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°
1:1
2
EF
FM
EF
FM
＝ 2 ，
PF
EF
∴
2
=
∴△PEF∽△EMF …………5 分
∴ME与⊙P相切……………………………………………………………………6 分
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