2003山西考研数学三真题及答案.doc-资料库

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2003 山西考研数学三真题及答案一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. ( ) f x 1 x ,  x    cos 0, 若若 x x   0, 0, (1) 设其导函数在 0 x  处连续，则的取值范围是 (2) 已知曲线 y  3 x  2 3 bxa  与 x 轴相切，则 2b 可以通过 a 表示为 2b )( xf  )( xg  , a ,0    0 ,1 x  若，其他 (3) 设 0 a  ，而 D 表示全平面，则 . . I   D ()( ygxf  x ) dxdy = .   ,0,( a  T ,),0, a a  0 ； E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 EA  T  ， (4) 设 n 维向量 1 a EB  T ，其中 A 的逆矩阵为 B ，则 a  . (5) 设随机变量 X 和Y 的相关系数为 0.9, 若 Z  X 4.0 ，则Y 与 Z 的相关系数为 . (6) 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， XX , 1 , 2 ,  为来自总体 X 的简单随机样本， nX 则当 n 时， Y n  1 n n  i 1  X 2 i 依概率收敛于 . 二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设 ( ) f x 为不恒等于零的奇函数，且 )0(f  存在，则函数 )( xg  )( xf x ( ) (A) 在 0 x  处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点 0 x  . (C) 在 0 x  处右极限不存在. (D) 有可去间断点 0 x  . (2) 设可微函数 ( , f x y 在点 ) ( x , 0 y 0 ) 取得极小值，则下列结论正确的是 ( ) (A) ( 0 y , xf ) y  处的导数等于零. 0y 在 ( 0 y , xf ) y  处的导数大于零. 0y 在 (B)

(C) ( 0 y , xf ) y  处的导数小于零. 0y 在 (D) ( 0 y , xf ) y  处的导数不存在. 0y 在 p n  a n a n  2 q n  ， a n a n  2 (3) 设 ,2,1n ，，则下列命题正确的是 ( )  1n na  1n na (A) 若 (B) 若  1n  1n np np 条件收敛，则绝对收敛，则  1n na 条件收敛，则  1n nq 与  1n nq np 与与  1n 都收敛. 都收敛.  nq 1n 敛散性都不定. a b (C) 若  na (D) 若 1n  1n np  1n nq 与绝对收敛，则敛散性都不定. A  bba bab abb           (4) 设三阶矩阵 a a b 或 2 b (A) 0  . (C) a b 且 2 b a 0  . ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有 ( ) (B) (D) a b 或 2 b a 0  . a b 且 2 b a 0  . 2 , , (5) 设 , s 1  均为 n 维向量，下列结论不正确的是 ( k , kk 1  ，都有 (A) 若对于任意一组不全为零的数 sk , , 2 )  1 2  k 2 1    sk  s  0 ，则 , s 1  线性无关. , , 2 (B) 若 , s 1  线性相关，则对于任意一组不全为零的数 , , 2 , kk 1  ，都有 sk , , 2 k  1 2  k 2 1    sk  s  .0 2 , , , s 1  线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s. , s 1  线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. , , 2 (C) (D) (6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： 1A ={掷第一次出现正面}， 2A ={掷第二次出现正

面}， 3A ={正、反面各出现一次}， 4A ={正面出现两次}，则事件( ) AAA 1 3 , , 2 AAA 1 3 , , 2 (A) (C) 相互独立. 两两独立. (B) (D) AAA 2 4 , , 3 AAA 2 4 , , 3 相互独立. 两两独立. 三、(本题满分 8 分) 1 1 (1 sin    1 x  ( ) f x    x 设 , x  [ x ) 1 2 ,1) ，试补充定义 (1) f 使得 ( ) f x 在 1[ 2 ]1, 上连续. 四、(本题满分 8 分) 设 ( , ) f u v 具有二阶连续偏导数，且满足 f 2 2  u   f 2 2  v   1 ，又 ),( yxg  f [ 1, xy 2 2 ( x  2 y )] , 求 g 2 2  x   g .2 2  y  五、(本题满分 8 分) 计算二重积分 2 I sin( )   e   y 2 ( x   D 2 x  2 y ) dxdy . 其中积分区域 D  {( , x y x ) 2  2 }. y   六、(本题满分 9 分) 1  求幂级数  n 1  n )1(  n 2 x 2 n ( x  )1 的和函数 ( ) f x 及其极值. 七、(本题满分 9 分) ( ) ( ) 设 ( ) f x g x F x  , 其中函数 ( ), f x g x 在 ( ) (  ,  ) 内满足以下条件： f  )( x  )( xg ，  )( xg  )( xf ，且 (0) 0  , f )( xf  )( xg  xe .2 求 ( )F x 所满足的一阶微分方程；求出 ( )F x 的表达式. 八、(本题满分 8 分) 设函数 ( ) f x 在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且 (0) f  f (1)  f (2) 3,  f (3) 1  .

试证：必存在 )3,0( ，使  f )(  .0 九、(本题满分 13 分) 已知齐次线性方程组 ) xb xa  1 n ( a xa  2 n xa xa  2 n  ) xa xb 2 ( a  1  xa  11 xa  11     xa 2 ) xb 2 ( a  xa 33 xa 33 ) xb       xa 33       xa 11        2 3  ( a n 3 2 2    ,0 ,0 ,0  ,0 n n n n n  ia 其中 i 1  .0 试讨论 , aa 1  和b 满足何种关系时， na , , 2 (1) 方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、(本题满分 13 分) x ( , xxf 设二次型 , 2 1 3 )  X T AX  2 ax 1  2 x 2 2  2 x 2 3  2 ( bxbx 31  )0 ，中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12. 求 ,a b 的值；利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、(本题满分 13 分) 设随机变量 X 的概率密度为 )( xf      3 3 1 x ,0 2 , 若  ],8,1[ x ; 其他 ( F X 是 X 的分布函数. 求随机变量 ) Y F X  ( ) 的分布函数. 十二、(本题满分 13 分) 设随机变量 X 与Y 独立，其中 X 的概率分布为 ~X    2 1 7.03.0    ，而Y 的概率密度为 ( ) f y ，求随机变量U X Y   的概率密度 ( )g u .

参考答案一、填空题 (1)【答案】 2 【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量. 【详解】是参变量， x 是函数 ( ) 1 x f x 的自变量 (0) 1  x  f  (0)  lim 0 x  ( ) f x x   f 0  lim 0 x  x cos 1 x  0 ，  lim 0 x  cos x 要使该式成立，必须 lim 0 x  1 x  0 ，即 1 . 当 ( x   ,0)  (0,  ) 时，  ( ) f x  1    x cos 要使 ( ) 0 f x  在 0 2   x  1 x sin 1 x x  处连续，由函数连续的定义应有  lim ( ) f x x  0  lim 0 x  1    x cos    1 x   2  x sin 1 x      ( ) 0 f x  由该式得出 2 . 所以 ( ) f x 在 0 x  处右连续的充要条件是 2 ． (2)【答案】 64a 【详解】设曲线与 x 轴相切的切点为 0( ,0) x ，则  y  x x 0  0 . 而 y   2 3 x 2 3 a  ，有 2 03 x 2 3 a 又在此点 y 坐标为 0(切点在 x 轴上)，于是有 3 x 0  2 3 a x 0 b   ，故 0 b  3 x 0  2 3 a x 0  2 ( x x 0 0  2 3 ) a ，所以 2 b  x 2 0 2 3( a  x 22 ) 0  2 a 4  4 a  4 a 6 . (3)【答案】 2a 【详解】本题积分区域为全平面，但只有当 0  x 0,1  x y 1 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．

()( ygxf  x ) dxdy I   D 2 a dxdy  1 x   1 y x    0 0 = 2 a = (4)【答案】-1 1  0 dx 1 dy x x   2 a 1  0 [( x 1)   ] x dx  2 a 【详解】这里 T 为 n 阶矩阵，而 T  22a 为数，直接通过 AB  进行计算并注意利 E 用乘法的结合律即可．由题设，有 AB  ( E  T   )( E 1 a T  ) = E  T   T   1 a 1 a T   T   E T T      T T ) 1 a 1 ( a E  T   = 1 a T   2 T a      ( 1 2 E a  1 a T )   E ， 21  a  1 a  0 于是有 2 2 a  a 01 ，即，解得 a  1 2 , a  .1 已知 0 a  ，故 a   ． 1 (5)【答案】 0.9. 【详解】利用方差和相关系数的性质  ) aXD (  DX ， Cov X Y a  ( , )  , Cov X Y ( ) ，又因为 Z 仅是 X 减去一个常数，故方差不会变， Z 与Y 的协方差也不会变，因此相关系数也不会变． Cov Y Z ( , )  Cov Y X ( ,  0.4)  [( ( E Y X  0.4)]  E Y E X ( ) (  0.4)  E XY ( ) 0.4 ( ) E Y   E Y E X ( ) ( ) 0.4 ( ) E Y   E XY ( )  E Y E X ( ) ( )  , Cov X Y ( ) ，且  D Z    D X . 又 Cov Y Z ( , )  , Cov X Y ( ) ，所以 ) Cov Y Z   D Y D Z ( ,    , ) Cov X Y   D X D Y (     XY  0.9. 1 2 ． (6)【答案】【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量

XX , 1 , 2 1 n n  i 1  X i  ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值： , nX p   1 n n i 1  EX i ( n  ). 【详解】本题中 XX , 2 1 2 2 ,  满足大数定律的条件，且 2 nX , EX 2 i  DX i  ( EX 2 ) i 1 4  1( 2 = ) 2  1 2 ， n  i 1  X 2 i 依概率收敛于 1 n  n  1 i  E X 2 i  1 . 2 因此根据大数定律有 Y n  1 n 二、选择题 (1)【答案】 ( )D 【详解】方法 1：直接法：由 ( ) f x 为奇函数知， (0) 0  ；又由 f )( xg  )( xf x ，知 ( )g x 在 x  处没定义，显然 0 x  为 ( )g x 的间断点，为了讨论函数 ( )g x 的连续性，求函数 ( )g x 0 x  的极限． 0 在 lim ( ) g x x  0  lim 0 x  ( ) f x x  lim 0 x  (0) ( ) f x x   f 0 导数的定义  f  (0) 存在，故 0 x  为可去间断点．方法 2：间接法：取 ( ) f x x ，此时 ( )g x = x x  ,1   ,0  x x   ,0 ,0 可排除 ( )A ( )B ( )C 三项． (2)【答案】 ( )A 【详解】由函数 ( , f x y 在点 ) ( x , 0 y 0 ) 处可微，知函数 ( , f x y 在点 ) ( x , 0 y 0 ) 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得 ( , 零．从而有 f x y 在点 ) ( x , 0 y 0 ) 处的两个偏导数都等于 ) , df x y ( 0 dy  f  y  y y  0  0 ( , x y )  ( x 0 , y 0 ) 选项 ( )A 正确．

(3)【答案】 ( )B p n  a n a n  2 【详解】由  1n na 若  1n 绝对收敛，则， na q n  a n a n  2 ，知 0  p n  a n ， 0   q n  a n 收敛. 再由比较判别法，  1n np 与    n 1  q n  都收敛，后者与   n 1  q n  仅差一个系数，故 1  n  q n 也收敛，选(B)． (4)【答案】(C) 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为 1，说明 A 的秩为 2，由此可确定 ,a b 应满足的条件．【详解】方法 1：根据 A 与其伴随矩阵 A 秩之间的关系  * r A     n n r A      1 1 n r A       1 0 n r A    知秩( A )=2，它的秩小于它的列数或者行数，故有 A  a b b b a b b b a  ( a  1 2 ) 1 b 1 b b a b b a  ( a  1 2 ) 0 b 0 b a b  0 b 0 a b   ( a  2 )( b a b  ) 2  0 a  b 2  0 或 a b ．有当 a b 时， b b b b b b b b b            1 2 1          1 3 1          b b b   0 0 0   0 0 0   A      显然秩  1 2 A   ，故必有 a b 且 a  b 2  0 ．应选(C)．方法 2：根据 A 与其伴随矩阵 A 秩之间的关系，  * r A     n n r A      1 1 n r A       1 0 n r A    ，

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