1996年考研数学三真题及答案.doc-资料库

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1996 年考研数学三真题及答案一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程 x y y 确定 y 是 x 的函数,则 dy  ___________. (2) 设  (3) 设 x f x dx ( )  arcsin x C  ,则  1 ( ) f x dx  ___________.. ,x y 是抛物线 0 0  y  2 ax  bx  上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足 c 的关系是___________. (4) 设 A  1   a  1 2  a 1     n a  1 1  1 a a  a 2 2 2 1  n 2 1 a 3 2 a 3  n a 3 1      1 a a  a n 2 n 1  n n         , X          x 1 x 2 x 3  x n         , B 1     1     1         1 , 其中 a i  ( a i j  ; , j i j 1,2,   .则线性方程组 TA X B 的解是___________. , ) n (5) 设由来自正态总体 X N  ~ ( 2 ,0.9 ) 容量为 9 的简单随机样本,得样本均值 5X  ,则未知参数的置信度为 0.95 的置信区间为___________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 累次积分 (A) (C)  2 0    cos   d 0 ( cos , sin ) f r   r rdr 可以写成 ( ) 1 0 1 0 2 y y  ( , f x y dx ) ( , f x y dy ) (B) 1  0 2 1  y dy  0 ( , f x y dx ) (D) dy dx   0 1 0 1  0 2 x x  dx  0 ( , f x y dy ) (2) 下述各选项正确的是 ( ) (A) 若  和 u 2 n  都收敛,则 2 v n  ( u n 2 v n ) 收敛  n 1   n 1   n 1  (B)   n 1  u v n n 收敛,则  n 1   与 u 2 n  都收敛 2 v n  n 1  (C) 若正项级数   发散,则 u n n 1  nu  1 n

(D) 若级数   收敛,且 u n n 1  u n  ( v n n 1,2,   ,则级数 )   也收敛 v n n 1  (3) 设 n 阶矩阵 A 非奇异( n  ), A 是矩阵 A 的伴随矩阵,则 2 ( ) (A) ( )    A A n 1 A (C) ( )    A A n 2 A (B) ( )    A A n 1 A (D) ( )    A A n 2 A (4) 设有任意两个 n 维向量组 1,   和 1, , m   ,若存在两组不全为零的数 1, , m , m   和 1, k k ,使 1 , m (   1 k 1  )    (  m  k m (A) 1,   和 1, , m   都线性相关 , m )   1  ( m  k 1 )  1    (  m  k )  m m  0 ,则 ( ) (B) (C) (D) 1,   和 1, , m   都线性无关 , m         m       m m m 1 1 1 1 , , , , ,         m       m m m 1 1 1 1 , , , , , 线性无关线性相关 (5) 已知 0  ( P B  且  ) 1 [ P A A B   1 2 ]  ( P A B 1 )  ( P A B 2 ) ,则下列选项成立的是( ) (A) (B) (C)  [ P A A B   1 2 ]  ( P A B 1 )  ( P A B 2 )  P A B A B  1 2   P A B 1 ( )  P A B ( 2 )  P A A 2  1   P A B ( 1 )  P A B ( 2 )  P A P B A 1 1 ( )  (D)  P B   三、(本题满分 6 分) P A P B A 2 ( ) ( 2 ) 设 ( ) f x  x e ,      ( ) g x  x 0, x x  0,  0, 其中 ( )g x 有二阶连续导数 , 且 g (0) 1,  g (0) 1   . (1)求 ( ) f x ； (2)讨论 ( ) f x 在 (   上的连续性. ) ,

四、(本题满分 6 分) 设函数 z  ( ) f u ,方程 u  ( ) u   x y ( ) p t dt 确定 u 是 ,x y 的函数,其中 ( ), f u u 可 ( ) 微； ( )p t , ( )u 连续,且 ( ) 1 u  .求 ( ) p y z  x   ( ) p x z  y  . 五、(本题满分 6 分) 计算   0 (1 x  xe  e x 2 ) dx . 六、(本题满分 5 分) 设 ( ) f x 在区间[0,1] 上可微,且满足条件 f (1)   2 1 2 0 xf x dx ( ) .试证:存在 (0,1)  使 f f   ( ) ( ) 0.   七、(本题满分 6 分) 设某种商品的单价为 p 时,售出的商品数量Q 可以表示成 Q  a p b   c ,其中 a b、、 c 均为正数,且 a bc . (1) 求 p 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少. (2) 要使销售额最大,商品单价 p 应取何值?最大销售额是多少? 八、(本题满分 6 分) 求微分方程 y  dy dx  2 x x  2 y 的通解. 九、(本题满分 8 分) 0 1 0   1 0 0   0 0 y  0 0 1  设矩阵 A  0 0 1 2       . (1) 已知 A 的一个特征值为 3,试求 y ； (2) 求矩阵 P ,使 ( TAP ) ( AP 为对角矩阵. ) 十、(本题满分 8 分)

设向量 1    是齐次线性方程组 , , , 2 t AX  的一个基础解系,向量不是方程组 0 AX  的解,即 0 A .试证明:向量组 0       t    1 2 , , , , 线性无关. 十一、(本题满分 7 分) 假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周 5 个工作日里无故障,可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获得利润 5 万元；发生两次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元.求一周内期望利润是多少? 十二、(本题满分 6 分) 考虑一元二次方程 2 x  Bx C   ,其中 B C、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次 0 先后出现的点数.求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q . 十三、(本题满分 6 分) 假设 1 X X , , 2 X 是来自总体 X 的简单随机样本；已知 , n k EX  ( a k k  1,2,3,4) . 证明：当 n 充分大时,随机变量 Z n 1 n   近似服从正态分布,并指出其分布参数. n  1 i X 2 i

答案一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)  y dx 1 ln   1 (2)【答案】 (1)【答案】  x 1 3  (或 2 0ax c a (4)【答案】 1 0 0 , , (3)【答案】 ,  0 T 0   32 x  C c ),b 任意 (5)【答案】 (4.412,5.588) 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D) (2)【答案】(A) (5)【答案】(B) 三、(本题满分 6 分) 【解析】(1) 由于 ( )g x 有二阶连续导数,故当 0 x  时, ( ) f x 也具有二阶连续导数,此时, f x 可直接计算,且 ( ) f x 连续；当 0 x  时,需用导数的定义求 (0) ( ) f  . 当 0 x  时,  ( ) f x   ( ) [ x g x   e x ] 2 x  ( ) g x  e  x  ( ) xg x    ( x  1) e  x . ( ) g x 2 x 当 0 x  时,由导数定义及洛必达法则,有 f  (0)  lim 0 x   x e ( ) g x x  2 洛 lim 0 x   x e  ( ) g x 2  x 洛 lim 0 x   ( ) g x  2  x e  g  (0) 1  2 . 所以  ( ) f x  ( ) xg x        ( x  ( ) g x 2 x  (0) 1,  2 g  1) e  x , x  0, x  0. (2) f x 在 0 x  点的连续性要用定义来判定.因为在 0 x  处,有 ( )  lim ( ) f x x  0  lim 0 x   ( ) xg x  ( ) g x 2 x  ( x  1) e  x  ( ) g x   ( ) xg x   lim 0 x   ( ) g x 2 x  x  e  ( x  1) e  x

 lim 0 x   ( ) g x  2  x e  g  (0) 1  2  f  (0) . 而 ( ) f x 在 0 x  处是连续函数,所以 ( ) f x 在 (   上为连续函数. ) , 四、(本题满分 6 分) 【解析】由 z  ( ) f u 可得 z  x    ( ) f u u  x  , z  y    ( ) f u u  y  . 在方程 u  ( ) u   u  x  x y ( ) p t dt 两边分别对 ,x y 求偏导数,得   ( ) u  u  x   ( ), p x u  y    ( ) u  u  y   ( ). p y 所以于是 u  x   ( ) p x  ( ) u   , u  y  1   1  ( ) p y  ( ) u  . ( ) p y z  x   ( ) p x z  y      ( ) ( ) p x p y  ( ) 1 u    ( ) ( ) p x p y  ( ) 1 u       ( ) 0 f u  . 五、(本题满分 6 分) 【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法. 【解析】方法 1:因为  x xe e   (1  x 2 ) dx  xd  1 e  1  x 分部积分 x e  1  x   dx  e  x 1   x e  x e  1 1  x  x   x  e 1  ln(1 e  dx x  x e )  x 1 e  , C    x 1 e  x 1 d (1  e x ) 所以而  x   0 (1 xe e   x 2 ) dx  lim x  x  xe  1 e  x  ln(1  e x )  ln 2.    lim x  x xe e  x 1     ln(1  e x )     lim x    1  x xe e  x  ln  e  x (1  e x  )       lim x  x  xe  1 e  x   x ln(1  e  x )   

 lim 1 x  故原式 ln 2  x e x   .   0 0 , 方法 2:     x 1 e    0 1 x 0 1 e   x   0 (1 xe e   x 2 ) dx    0 (1 x xe e  x 2 ) dx     0 xd 1 e  x 1   0 dx e  x 1    0 dx e  x 1    0 e  1  x x  e dx   d (1  e  x )   ln(1  e  x )  x  0  ln 2. 六、(本题满分 5 分) 【分析】由结论可知,若令 ( ) x   ( ) xf x ,则 ( ) x   ( ) f x   ( ) xf x .因此,只需证明 ( )x 在 [0,1] 内某一区间上满足罗尔定理的条件. 【解析】令 ( ) x   ( ) xf x ,由积分中值定理可知,存在  1(0, 2 ) ,使 1 2 0  xf x dx ( )  1 2 0  x dx ( )  1 2 ( )  , 由已知条件,有 f (1)  2 1 2 0  xf x dx ( ) 2   1 ( ),   2 ( )  于是 f (1)  (1)  ( ),  且 ( )x 在 ( ,1) 上可导,故由罗尔定理可知,存在 ( ,1)    (0,1), 使得   ( ) 0,  即 ( ) f   ( ) 0.   f 七、(本题满分 6 分) 【分析】利用函数的单调性的判定,如果在 x 的某个区间上导函数  x f  ,则函数   0 f x  单调递增,反之递减. 【解析】(1)设售出商品的销售额为 R ,则 R pQ p   ( a p b    ( ), c R p )  ab c p b   2  p b    2  . 令 R  得 0, p 0  ab c   b b c ( a  bc ) 0  .

当 0   p 当 p  b c ( b c a  bc ) 时, R  ,所以随单价 p 的增加,相应销售额 R 也将增加. 0 ( a  bc ) 时,有 R  ,所以随单价 p 的增加,相应销售额 R 将减少. 0 (2)由(1)可知,当 p  b c ( a  bc ) 时,销售额 R 取得最大值,最大销售额为 R max      ab c  b           c a ab c       ( a  bc 2 ) . 八、(本题满分 6 分) 【解析】令 z  y x ,则 dy dx   z x 当 0 x  时,原方程化为 z  x . dz dx dz dx   z 1  z 2 ,即 dz 1  2 z   dx x 2 C  x ,其通解为 . ln( z  1  z 2 )   ln x C  或 1 z  1  z 代回原变量,得通解 2 x y    x  时,原方程的解与 0 x  ,于是 0 t  ,而且当 0 令t 2  0) ( C x y x  时相同,理由如下: . dy dt  dy dx dx dt    dy dx y    x x 2  2 y y    2 y y   2 x x  2  2 y . t t 从而有通解 y  2 t  2 y  ( C t  0) ,即 y  2 x  2 y  ( C x  0) . 综合得,方程的通解为 y  2 x  2 y  C . 注：由于未给定自变量 x 的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数 z  后得 y x 2 x 2 2 z y  1   x  和 0 x x  求解,在类似的问题中,这一点应当牢记. , 从而,应当分别对 0 九、(本题满分 8 分) 【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为 3 是 A 的特征值,故

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