1996年考研数学二真题及答案.doc-资料库

1996 年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) 设 y  ( x  2 x ) 32 e ,则  0xy   ＿＿＿＿＿＿. (2) 1   1 ( x  1  x 2 2 ) dx  ＿＿＿＿＿＿. (3) 微分方程  y  2  y  5 y  的通解为＿＿＿＿＿＿. 0 (4) lim sin ln(1 x  x    (5) 由曲线 y   x )  sin ln(1  1 x )     ＿＿＿＿＿＿. x  及 2 y  所围图形的面积 S  ＿＿＿＿＿＿. 2  3 x 1 , x 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) x  时, xe  ( ax 2  bx  是比 2x 高阶的无穷小,则 1) ( ) f x 在区间 ( ) , 内有定义,若当 (   x )  , 时,恒有 | ( ) | f x x 2 ,则 0 x  必是 ( ) f x 的 (A) 间断点 (C) 可导的点,且 (0) 0 f   (3) 设 ( ) f x 处处可导,则 (A) 当 lim ( ) f x x     ,必有 lim ( ) f x x   (B) 当 lim ( ) f x x  (C) 当 lim ( ) f x x   (D) 当 lim ( ) f x x    ,必有 lim ( ) f x x     ,必有 lim ( ) f x x    ,必有 lim ( ) f x x  (B) 连续而不可导的点 (D) 可导的点,且 (0) f   0 ( ) ( )         (4) 在区间 (   内,方程 ) , 1 4 | x | 1 2  | x |  cos x  0 ( ) a  (A) (1) 设当 0 1 , b 2 1 ,   2 (2) 设函数 ( ) (C) a  1 b   1 (B) a 1, b  1 (D) a   1, b  1

(A) 无实根 (C) 有且仅有两个实根 (B) 有且仅有一个实根 (D) 有无穷多个实根 (5) 设 ( ), f x g x 在区间[ , ]a b 上连续,且 ( ) g x ( )  ( ) f x m  ( m 为常数),由曲线 y  ( ), g x y  ( ), f x x  及 x a b 所围平面图形绕直线 y m 旋转而成的旋转体体积为 ( ) (A) (B) (C) (D)   ( ) m f x 2    ( ) m f x 2   ( ) g x  ( ) g x   ( ) f x  ( ) g x dx  ( ) f x  ( ) g x dx    ( ) m f x    ( ) m f x   ( ) g x  ( ) g x   ( ) f x  ( ) g x dx  ( ) f x  ( ) g x dx  b a b a b a b a     三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.) (1) 计算 1 2 xe  dx . ln 2 0  dx  1 sin    x    [ y 0 f t (2) 求 (3) 设 . x , 2 ( f u du 2 ( t ) 2 )] , 其中 ( ) f u 具有二阶导数,且 ( ) f u  ,求 0 2 d y 2 dx . (4) 求函数 ( ) f x  (5) 求微分方程  y x  点处带拉格朗日型余项的 n 阶泰勒展开式. 在 0 1 x  1 x   y  的通解. x 2 (6) 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为 2 2a b、 ,用过此柱体底面的短轴与底面成 角( 0   )的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V .  2  四、(本题满分 8 分) 计算不定积分  arctan 2 (1 x x x dx ) 2 .

五、(本题满分 8 分) 设函数 ( ) f x 2   1 2 , x  , x   12 16, x   3 1, x   1 2, x    2.  x (1) 写出 ( ) f x 的反函数 ( )g x 的表达式； (2) ( )g x 是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点. 六、(本题满分 8 分) 设函数 y  ( ) y x 由方程 3 y 2  2 2 y  2 xy  2 x 1  所确定,试求 y  ( ) y x 的驻点,并判别它是否为极值点. 七、(本题满分 8 分) 设 ( ) f x 在区间[ , ]a b 上具有二阶导数,且 ( ) f a  ( ) 0 f b  , ,使 ( ) 0 f   及 ( ) 0  . f  存在 ( , )a b  和 ( , )a b 八、(本题满分 8 分) 设 ( ) f x 为连续函数,  ( ) f a f b  ( ) 0  ,试证明： (1) 求初值问题      y y  x 0 ay  ( ), f x  0 的解 ( ) y x ,其中 a 为正的常数； (2) 若| ( ) | f x k ( k 为常数),证明：当 0 x  时,有| ( ) | y x  k a (1  e  )ax .

一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) 答案 (1)【答案】 1 3 y    x 2 x  e 2 3     1 3     x 2 e  11    2  ,     xy  0  2 3    1  1 2     1 3 . (2)【答案】 2 注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有     1   原式   2 1    x x x 2 2 x 2 (3)【答案】 y x  c 1 cos 2 x  c 2 sin 2 x  1  1   e dx  1   1 2 x 1  2 x     1  dx    0 2 2 . 因为  y  2  y  5 y  是常系数的线性齐次方程,其特征方程 2 r 0 2 r   有一对共 5 0    故通解为 1 2 i. r ,r 2 轭复根 1 (4)【答案】 2 y x  e  c 1 cos 2 x  c 2 sin 2 x  .  因为 x   时,sin ln 1    k x      ln 1    k x     k x ( k 为常数),所以, 原式   lim sin ln 1   x  x  3 x      lim sin ln 1   x  x  1 x     lim x  x     3 x     lim x  x     1 x       3 1 2 . (5)【答案】 ln 2  1 2 曲线 y   x 1 x , y  的交点是 2 1 2, , y   x         1 x  1,  2 2 x x 当 1x  时 y   x 1 x y 2 O 1 2 x y   (单调上升)在 2 y  上方,于是 x 1 x S   1     2    1 2 x 1 2   x  dx   2 x  ln x  2 x 2 1     ln 2  1 2 . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(A) 方法 1：用带皮亚诺余项泰勒公式.由 xe   2 ax  bx   1

    1   x    2 x 2 x 2!       2 ax  bx  1   1    b x     1 2   a x   2    2 x  令   2 x  , 可得 0 , b 1     1   2   a   a 0 , 1 2 ,b  1 . 应选(A). 方法 2：用洛必达法则.由 lim 0 x  x e  (  2 2 ax x bx  1) 洛 lim 0 x  x e  2 ax b  2 x  0,  lim 0 x  x e  2 ax b   1      0 b b 1. lim 0 x  x e  2 ax b  2 x  lim 0 x  x e 2 a  2  a 1 2  2 有又由应选(A). (2)【答案】(C) 方法一：首先,当 0 x  时,| f (0) | 0   f (0) 0  . 而按照可导定义我们考察    a 0 1 2 . 0  f (0) ( ) f x  x ( ) f x f  (0)  lim 0 x    x f 由夹逼准则, ( ) f x x (0)  2 x x    , 0( 0) x x  ,故应选(C). 0 (    ,0)  (0, )  ,即方法二：显然, (0) 0  ,由 f | ( ) | f x x 2 , x (   )  , ( ) f x ,得 2 x  1 , x ( ) f x 2 x 有界,且 f  (0)  lim 0 x  ( ) f x  x f (0)  lim 0 x     ( ) f x 2 x  x     0 . 故应选(C). 方法三：排除法. 令 ( ) f x  x 3 , (3)【答案】(D) f  (0) 0,  故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C). 方法一：排除法.例如 ( ) f x x ,则(A),(C)不对；又令 ( ) f x x e ,则(B)不对.故应选择

(D).  方法二：由 lim ( ) f x x    ,对于 0M  ,存在 0x ,使得当 x x 时, 0  ( ) f x M  . 由此,当 x x 时,由拉格朗日中值定理, 0 ( ) f x  ( f x 0 )  f  ( )( x  x 0 )    ,故应选择(D). ( ( f x M x  ) 0 从而有 lim ( ) f x x       , ( x x ) ) 0 (4)【答案】(C) 令 ( ) f x |  x | 1 4 1 2  | x |  cos x , 则 ( f  x )  ( ) f x (0, ) 内的实数个数： , 故 ( ) f x 是偶函数 , 考察 ( ) f x 在 ( ) f x  x 1 4 1 2  x  cos x ( x  ). 0 1 首先注意到 (0) f    , 1 0 f 理,函数 ( ) f x 必有零点,且由   ( ) 2 2  ) ( 4  1 2  ( ) 2   当 0 1 0,   时,由零值定 x  2  ( ) f x   3 4 x  1 4  1 2 x 1 2  sin x 0  , 单调递增,故 ( ) f x 有唯一零点. f x 在 (0, ( )  ) 2  2 当 x  时, ( ) f x  x 1 4 1 2  x  cos x  (  ) 2 1 4  ( 1 2  ) 2 1 0,   没有零点；   有两个零点. ) , 因此, ( ) f x 在 (0, ) 有一个零点.又由于 ( ) f x 是偶函数, ( ) f x 在 ( 故应选(C). (5)【答案】(B) y m y  ( ) f x y  ( ) g x O 见上图,作垂直分割,相应于 a x x dx  ,x x dx 的小竖条的体积微元 b x dV  (  m g x ( ))  2 dx  (  m f x ( ))  2 dx

  ( m g x ( ))   ( m f x ( ))    (  m g x ( ))   ( m f x ( ))   dx   2 ( ) m g x   ( ) f x    ( ) f x  ( ) g x dx  , 于是故选择(B). V b    a 2 ( ) m g x   ( ) f x    ( ) f x  ( ) g x dx  , 三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.) (1)方法一：换元法. 令 1 2 xe   ,则 u x    u 2 ), dx  u u  2 1 du , 1 ln(1 2 3 2 2 u  1 所以 ln 2  0 1  e 2 x dx   0 du   0 3 2 ( 1 u  2 1  1) du  1 2  0 3 2 ( 1  u 1  1  u 1  2) du 2 u  1 2 ln 1 1   u u 3 2 0  3 2  ln(2  3)  3 2 . 方法二：换元法. 令 xe   sin t ,则 x   ln sin , t dx   cos sin t t dt , : 0 x   ln 2 t :    , 2 6 ln 2  0  2 x 1  e dx    6  2 cos t      cos sin t t  dt      2  6    1 sin t  sin  t dt    ln(csc t  cot ) t  cos t  2  6  2  6  ln(2  3)  3 2 . 方法三：分部积分法和换元法结合. 原式  ln 2  0  x e 2 x e  1 dx  ln 2  0 2 x e  1 ( d  e  x )   e  x 2 x e  1 ln 2 0  令 xe t ,则 : 0 x 2    , ln 2 :1 t ln 2  0  x e e 2 e 2 x x  1 dx 原式   3 2  2  1 dt 2 t  1   3 2  ln( t  2 t  1) 2 1   3 2  ln(2  3) . (3)这是由参数方程所确定的函数,其导数为

2 ( f t 2 ) 2 t  2  ) f f ( t  ( t 2 )  4 tf  ( t 2 ) , dy dx  2 d y 2 dx 所以  dy dt dx dt d dy dt dx (  )  dt dx  d dt (4 tf  ( t 2 ))  dt dx    4 (  f t 2 ) 4  tf  ( t 2 ) 2  t 1 2 ( t )    f  4 ( t f 2 )   f 2  ( t ) 2 t  2 f 2  ( t )   . (4)函数 ( ) f x 在 0 x  处带拉格朗日余项的泰勒展开式为 ( ) f x  f (0)  f  (0) x    ( ) n f n (0) ! x n  f ( ( n 1)  ( x  1)!  n ) x n 1 ,(0     1) . 对于函数 ( ) f x ( ) f x  ( ) f x   ,有 x x 1 1   2 1 x  2 ( 1)(1    1 2(1    1  x )  1,  2 ) x  ,      2 ( 1) ( 2)(1  ) x  3 ,  ( ) x f , , f f ( ) n ( ) x   2( 1) n  n !(1  ( 1) n ) x   ( )(0) n   2( 1) n  n !,   n ( 1,2,3 ),  ( ) f x  1 1   x x 1 2   x  2 x 2     n ( 1) 2 x n   ( 1) n 1  2  (1 所以故 n x x  1  ) (0     1  n 1) . (5)方法一：微分方程 y    对应的齐次方程 2 y x  y  y  的特征方程为 0 2 r r  ,两个根为 1 r 0 20, r   ,故齐次方程的通解为 1 y  c 1  x c e  2 . 设非齐次方程的特解 Y   x ax 2  bx  c ) ,代入方程可以得到 a  1 , 3 b   1, c 2  , 因此方程通解为 y  c 1  c e 2  x  3 x  2 x  2 x . ( 1 3 方法二：方程可以写成 ( y  y   )  2 x ,积分得 y  y  3 x 3  c 0 ,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为

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