研究•Research 期权定价公式的二叉树推导与分析 吴恒煜 赵 平 （江西财经大学金融学院，江西 南昌 330013） 【摘要】期权的定价方法多种多样，其中最著名的就是B——S模型以 及CRR的二叉树模型。本文阐述了期权定价的核心理论——由Cox， Ross，Rubinstein(CRR）提出的的二叉树模型。首先从单期二叉树定价 开始讨论，然后进一步扩展到多期，分别讨论和推导了欧式看涨看跌期 权定价公式，美式看跌看涨期权的定价公式；最后还适当的放宽了二叉 树的假设条件，讨论了发放现金股利时美式期权提前执行时股票的临界 价格；同时，在每个定价公式后面都给出了详细的例子加以说明；文章 的最后对本文做了个简单的总结并指明本文存在的不足以及以后进一步 研究的方向。 【关键词】二叉树；欧式期权；美式期权 引言 且通过实际计算也表明这种方法是准确有效的，且便于操作； Rongwen Wu and Michael C.Fu（2005）也讨论了美式期权最优 执行政策，指出最优政策就是一个门槛政策，然后采用了一种数 学算法来为这样的期权定价，并且采用模拟的方法证实了这种定 价方式是十分有效的；侯木舟，周耀琼（2006）对目前普遍使用 的期权定价二叉树模型进行了分析，利用随机误差校正方法推广 出了一种新型的二叉树参数模型，但是仅仅限于对欧式的分析， 没有讨论更复杂的美式期权，而且缺乏具体的实际例子；张鸿 雁，岳妍（2006）对二叉树期权定价的无套利条件进行了讨论， 得出单时段和多时段市场的欧式看涨期权定价公式，欧式看跌期 权定价公式，另外，在多阶段市场讨论了等价鞅测度Q 及其有关 的性质，在其它方面可以推广应用；陈金生，邓迎春（2007）建 20世纪以来金融理论发生了巨大的变化，出现了现代金 立了支付股息欧式看涨期权的价格模型，并在此基础上研究了两 融理论的三大支柱：（1）资金的时间价值；（2）资产定价； 种定价方法，但是该文章缺乏具体的算例，只是理论公式上的推 （3）风险管理。本文拟对风险管理中的期权定价模型进行推 导，并且没有讨论更为复杂的美式期权的定价；安占强，徐洁媛 导和分析。对于期权的定价很早以前就有人进行了探索，但是 （2007）完善了Rubinstein提出的非正态分布下二叉树期权定价 那些模型几乎不具备什么使用价值，因为它们或多或少的加进 模型，首先按风险中性概率及股价动态过程得出标准二叉树期权 了一些主观参数，如投资者的风险偏好，市场均衡价格等。直 定价模型，其次将标准二叉树期权定价模型延伸至非正态分布期 到1973年Black——Scholes——Merton期权定价模型的问世， 权定价模型，并推导出美式期权算法；陈怡（2007）指出在单期 才真正奠定了期权定价的基础，但是该模型假设条件比较苛 情况下，模型可以求出数值解，但是对于多期，模糊二叉树模型 刻，涉及的数学知识很深，而且只适用于欧式期权的定价，因 可以对股价运动的不确定性进行描述，而且可通过求解期望值的 此1979年Cox，Ross，Rubinstein（CRR）提出了期权定价的二 方法得出清晰的结果以便决策者进行决策，然而如果能够分开讨 叉树模型。该模型易于理解，比较直观，不仅适用于欧式期权 论不同类型的期权就更加完美了。通过以上对文献简单地回顾， 的定价，而且也适用于美式期权的定价，应用比较广泛，已经 可以看出前人的研究虽然都各具特点，但是都存在一些不足： 成为金融界最基本的期权定价方法之一。 (1)只是侧重于对某一类型期权的定价，没有系统的讨论不同类 前人对二叉树的研究大概主要集中在以下两个方面，一方 型期权的定价；(2)在讨论模型时没有结合实例，这不便于读者 面是对该模型的应用：比如胡敏杰(2005)用二叉树方法建立可转 的理解，也无法说明其定价方法是否有效。因此下面笔者针对目 债定价模型，并以复兴转债为例进行了实证分析；甘泉，戴讽 前研究中存在的这些不足，利用二叉树原理比较详细的推导和讨 (2007)利用二叉树方法对一类衍生产品进行了数值计算，得到产 品在 0 其中Duffie，Huang（1985）对CRR 模型做了进一步地推导，Ren- T = 时的价值。另一方面是对二叉树纯理论的推导与扩展： 论了美式，欧式期权的定价过程，并且给出了简单的实际例子， 以证明定价的有效性，同时也有助于读者更好的理解推导过程。 本文是从单期二叉树开始讨论，逐步推广到多期。首先推导 Raw Chen等（2002）对CRR模型进行了扩展，讨论了多项标的资 欧式期权的定价公式，然后推导美式期权的定价公式，其中在每 产时的期权定价；Alfredo Ibonez（2003）讨论了美式看跌期权 个定价方法讨论结束后都给出了具体的例子，以方便读者理解， 的算法，通过牛顿（Newton）的方法计算最优的执行边界，并 文章的最后对本文做了个简单的总结并指出了研究中存在的问题 34 2009 2•中国证券期货 

研究•Research 及以后进一步地研究方向。注意，本文如果没有特别注明，符号 例：如果股票目前的价格是100，三个月看涨期权的执行 所代表的意义前后一致，每个符号第一次出现时都附有注释。 价格是110，在 1.3 u = ， 0.9 d = ， 0.1 r = 的情况下，那么三个月后股 二叉树模型的假设条件包括：(1)资本市场是竞争性市场。 票价格要么是130，要么是90，因此相对应的期权价格分别是 (2)在资本市场内，交易成本为零，投资者可以任意的借贷资 金。(3)投资者可以无限制的卖空任何资产。(4)无风险利率固定 不变。(5)标的股票在期权到期日或之前没有股利发放。(6)投资 者是理性的。有了以上的假设条件，就可以方便的构造出二叉树 = 。根据无风险套利原理有： ∆ = 。三个月后期权价格是20的概率是： uf = 130* max(130 110,0) − ∆ − 20 90* 20 − df = = ， max(90 110,0) 0 = ∆ ，得 0.5 − − rte d − u d 0.1*0.25 0.9 1.3 0.9 = = − e p = 0.3132878 模型，它的基本思想是构造出包括看涨期权和股票在一小段时间 期权价格是0的概率是：1 p− = 0.6867122 ，因此期权的价格 上无风险的“合成”组合，然后我们使这个合成组合的收益与已 知的无风险利率相等，从而推导出未知的期权价格。 e−= 为： 0.1*0.25(0.3132878*20 0*0.6867122) 6.11 f （2）双期二叉树（两个时间单位间隔，即 2t ）。 同理，如图2所示，利用一期二叉树的方法逐步推导，一 = 。 + 1.欧式期权 期期权价格为： 1.1 欧式看涨期权 （1）单期二叉树（一个时间间隔单位 t ）。 假定股票的价格在下一期只会出现两种状态，即上涨或者 （2） 利用风险中型定理，把式（2）式带入 −= e rt [ f pf u (1 + − ) p f ] d 下跌。如图1所示： 中，得： 2 −= e rt [ 2 p f f + (1 − p ) p f + (1 − p ) p f (1 + − 2 ) p ] f dd du ud uu （3） 图1 注：其中S表示股票在时刻0时的价格， su 是股票在一个 间隔单位 t 上涨后的价格， sd 是股票在一个间隔单位 t 下跌后的 价格。 1u > 代表股票上涨的百分比， 0 1d< < 代表股票价格下降 的百分比， uf ， df 分别为相应时刻对应的期权的价值。 那么在一个间隔单位 t 处有： ，（为标的股票的数 量），令这两个等式相等，可以求出这个组合无风险时所需要 股票的数量，即 ∆ = f f u d us ds − − 。 设r为无风险利率，那么在一个风险中性世界中，在连续 复利的条件下，组合在一个单位间隔 t 处的收益=期初收益，即 ∆ − = s f e − rt ( ∆ − ，把上式中的 ∆ 带入，经过整理，得： su f u ) = ∆ − ∆ − us s ( f − rt = e rt [ e = e − rt ( f u d − f f u − u d − rt e d − u d 其中： p = − rt ) f e u = ∆ − (1 s − rt ue ) + − rt f e u = (1 − ue − rt ) + ] = e − rt rt ( e f u f f u u d − − d d (1 − − f f u u d f f u u d − − − u − − rt ue ) + − rt f e u d + f u u d u d − − ) ) = e − rt [ pf u (1 + − ) p f ] d （1） rt d f + − u e − u d − rte d − u d 例：基本条件与上一个例子相同，只是期限变为6个月，每 图2 三个月变动一次。这样我们就可以知道 59 因为上升的概率为： uuf = ， 7 udf = ， 0 ddf = 。 p = − rte d − u d e = − 0.1*0.25 0.9 1.3 0.9 0.3132878 = − (1 + − uu [ * p f (1 + − ud ) p f e−= ] dd ， f d −= e rt 22.7159 2.1389 = = 。 那么 f u −= e rt [ * p f ) p f ud ] 0.1*0.25[0.3132878*59 (1 0.3132878)*7] + − e−= 0.1*0.25[0.3132878*7 (1 0.3132878)*0] + − 期权期初的价格为： −= e rt [ * p f f (1 + − ) p f ] d u 0.1*0.25[0.3132878*22.7159 (1 0.3132878)*2.1389] e−= 我们可以发现二期的期权价格比一期的期权价格要高，这 + − 。 8.59 = 是因为期权的时间价值在起作用，所以我们有理由相信下面的 N 期期权的价格会更高，但是因为计算复杂，所以就不再给出 中国证券期货•2 2009 35 

研究•Research 具体的例子，在这里只做一个简单的解释。 此美式期权的定价比欧式期权的定价要复杂很多，在二叉树的 (3) n 期二叉树( n 个时间间隔单位，即 nt )。 设股票价格上涨的次数为 k 次，那么下降的次数为 (n-k) 次， s 为股票在0时刻的价格，则任一个节点上股票的价格可以表示为 k k s x = ,0) u d u d s− n k ,（其中 n=0,1....）所以看涨期权在各个节点上的内在价值 nts (其中 x 为该期权的执行价格)；以 p 表示股价上 为 max( − − n k )p− 表示股价下降一次的概率，因为除了 n 次全 涨一次的概率， (1 部上涨和 n 次全部下降的情况，其他情况发生的路径不止一条， 所以其路径条树就等于 n 次中选取 k 次上升的排列树，即 k nc ，因 此利用上面的推导法就可以求出 n 期二叉树定价公式： f = e − nrt n ∑ k = 0 k k c p n (1 − p ) max( − n k k u d − n k s − x ,0) （4） k n k u d 当 x 可以消除0项，只保留正项。设 g 是一最小整数能使 − − =0，当 − − > ，我们就 n k − − > ， − − < ， max( s u d u d u d n g n k 0 0 s x x x s s ) k g k 0 即 g > ln( x ln( sd u d ) n ) ，消除式（4）中的所有0项，得： 每一个节点上都需要比较期权的内在价值和时间价值，取其中 较大者，即 max[ = k − n k − , x e − nrt , nt k su d f （7） 为了讨论方便，令期权的时间价值为 v ，内在价值为 w 。 2.1 美式看跌期权 1) , + t k 1) , + t k pf 1 + n n ( ( (1 + − ) p f ] 对一个单周期二叉树，在时刻0时，如果没有执行，则 + − rt [ e v = ( p x ) + − − su 在 该 点 期 权 的 价 值 为 ： ， 如 ] 果执行，则在该点期权的价值为： [ − 。因此按照二叉 s + = w x v w ，但是 w ， v 树中第6条假设，投资者在时刻0会选择 max( , 的大小与 su ， sd ， x 的大小有关，所以必须分三种情况讨 论：（1） x x> 。第一种情况： > > （3） sd su> （2） su )( p x ) ] + sd sd (1 − x ) rt x −= e s w x v = ， 若 执 行 ， s − < − = ，则在0时刻执行；第三种情况，若不执 v s 行 ， 0 > ， 则 0w < ， 所 以 投 资 者 不 会 提 前执行；第二种情况，投资者可能执行也可能不执行，因此 sd > k 就有必要讨论执行的临界价格，设执行的临界价格是 *s ，则 = e − nrt [ f n ∑ = k g k k c p n (1 − ) p − n k k ( u d − n k s − )] x w x = − s * = = v e − rt (1 − )( p x − ，即 sd ) = e − nrt [ n ∑ = k g k k c p n (1 − ) p − n k k u d − n k ] s − [ n ∑ k = 0 k k c p n (1 − ) p − n k x （5） * s = x 1 − e 1 − − e − rt rt (1 ) − p ) (1 − p d （8） = s n ∑ = k g k c p n ' k (1 − p − n k ') − x nrt e 其中： ' p = (1 1 − ' p = pu rt e 1.2 欧式看跌期权 k k c p n (1 − ) p − n k n ∑ = k g − e ) p d rt 该期权定价的推导过程与看涨期权定价的推导过程类似， k f − n k = su d − 改为 max( x 只需要把 max( 就可以了，或者 依据欧式期权看涨看跌平价公式来为其定价，即看涨期权多头 ke−+ 现金=看跌期权多头 + 股票多头，用公式表示为： su d − n k ,0) ,0) = − x f rt k f − rt + ke = ' f + s 因此看跌期权的定价为： ' − rt f f ke = + − （6） 例：因为欧式看跌期权计算过程几乎与看涨期权一致，因 s 若标的价格低于这个临界价格，提前执行该期权是最优 的，反之就不执行。 例：因为上面的例子已经分别讨论了一期和二期的情况， 所以为了加深读者的理解，笔者在这里讨论三期的情况。假设 股票现在的价格是100，股价每三个月波动一次，期限是九个 月， 0.1 r = ， 1.2 u = ， 0.8 − d = ，执行价格是104。 0.1*0.25 0.8 1.2 0.8 0.5632878 − rte d − u d 。 = = − e 所以 p = 首先，很容易得出各个节点上股票价格分别是：三个月 时 120 us = ， 80 dds = ；九个月时 = ， 115.2 172.8 = 。然后，从期权到期日 uuus 开始，倒推出这个期权在各个节点上的价值。九个月时各个节 ds = ；六个月时 144 ddds uuds = ， 76.8 uus = ， 96 = ， 51.2 uds = ， 64 udds 点上期权的价值： 此这里不继续做具体的计算，而是直接给出二期的计算结果， 仅仅与看涨期权的价格做对比，以帮助读者更好的理解。继续 沿用上面的例子，我们可以看出 0 接套用公式（3），得 13.01 f = 。 uuf = ， 0 udf = ， 0 ddf = 。那么直 f f f f uuu uud udd ddd = = = = max(104 172.8) 0 max(104 115.2) 0 − − max(104 76.8) − max(104 51.2) 52.8 − = ， = ， 27.2 = ， = 。 2.美式期权 因为美式期权的执行日是不确定的，在期权的有效期内的 任何一个交易日，只要提前执行有利，投资者就可以执行，因 36 2009 2•中国证券期货 六个月时各个节点上的持有价值： rt uu ] [ uud uuu (1 ) p f −= e e−= 0.1*0.25[0.5632878*0 9(1 0.5632878)*0] 0 + − f 同理， 11.59 pf udf = ， 37.43 间价值与内在价值 max(104 144,0) 11.59 ，而内在价值为 max(104 96,0) 8 ddf = ；所以，在节点 uuf 上，这个期权时 都是0，在节点 udf 上，时间价值为 = ，应该继续持有，在节点 ddf − = + − − 

研究•Research 的除权日，临界价格可以不同，它依赖于期权的一些参数，比如 期限，执行价格，波动率等。 由上可知，只有在除权日当天美式看涨期权才存在提前执 行的可能，在其他任何时间执行都不是明智的做法，而且还要 注意只有在股利分配促使股价下跌的幅度足以抵消延迟执行的 上，时间价值为 37.43 ，而内在价值为 max(104 64,0) = ，存在着提 前执行的可能性；在三个月时各个节点上的期权价值： 4.94 uf = ， df = ，又因为在节点 uf 上内在价值为 max(104 120,0) 0 = ，因此 应该继续持有，在节点 df 上内在价值为 max(104 80,0) = ，因此存 在提前执行的可能性。总之，依据上面讨论的执行临界条件，把 23.4 40 24 − − − 相关数据带入公式就可以求出临界价格为90.56162，若股票的价 利益才能执行。 ( − rt [ e = , nt k (1 pf 1) , + t k 格低于这个临界价格，提前执行该权是最优的把上述分析推广 到 n 期，采用推导公式： + − f 逆向推导，在每一节点都要对期权是否提前执行进行判 w= 。（2）若 v= 。这个公式对于美式看跌 看涨期权都适用，但是对于看涨期权如果也这么讨论，就显得 断。（1）若 , w v< ，则在 ( v> ，则在 ( , ) nt k 提前执行，取 , f nt k 不执行，取 , f ) p f 1) , + t k , ) , nt k w , nt k , nt k 1 + , nt k , nt k nt k ] nt k nt k n n ( 由于该期权标的的临界价格以及期权时间价值和内在价值 与上面的求法完全一致，所以限于篇幅的限制这里就不再详细 举例，读者只要比较等式 * s + 左右的大小就可以了。 x = f nt nt ( ) ( ) − + 3.总结 本文利用二叉树原理，分别系统详细的讨论并推导了欧式 非常烦琐，因此下面笔者详细地讨论了一种比较简单的方法。 看涨看跌期权，美式看跌看涨期权的定价，同时给出了确切的 2.2 美式看涨期权 定价公式和相应的解释，而且讨论了美式期权是否需要提前执 由前面的讨论我们清楚地看到，当标的股票不支付现金股 行的临界价格，为了使论证具有说服力，每一种定价公式后面 利时，该期权不应该提前执行，这时该期权定价和欧式期权没有 都给出了具体的例子，总体上能够对读者有一定的启发，对各 什么区别；但是，当在期权有效期内发放股利，那么就有可能提 种期权定价有很好的指导意义。因为二叉树假设条件中包括不 前执行会获得比较高的利益。因此必需找出投资者是否决定提前 发放股利，所以文章只在美式看涨期权定价中较少的涉及到了 执行的股价临界点（注：讨论发放股利已经放宽了CRR的假定条 发放股利的情况，其他地方均没有提及，然而现实中更多的是 件）。我们知道，在到期前任一时刻，该期权的价值取值范围是 − ，即在 nt 时刻期权价值的最大值不超过基础资产的 价值，而最小值不低于在该时刻期权的执行价值，所以我们设该 s nt s nt ≥ ≥ x f nt 投资者决定是否提前执行的股票价格的临界价格为 * 前记做 ( )nt − ，支付股息后记做 ( 为一般支付股利都会导致股价下跌，所以 ( s nts ，支付股息 )nt + ， ntD 为在 nt 时刻股息支付额。因 )nt − 点 − 。若在 ( D nt s ( = nt nt ) ) + − 执行，期权价值为 ( + 可 )nts 用递推法由后面的节点求出。基础资产的临界价格由下式给出： − − ，若不执行，期权价值为 ( f f + ，其中 ( )nt )nt x − ) + ( ( * nt f s − = ，即 * s x + 。所以美式期权提前执行的充分条件是标 x 的价格在除权日的价格大于临界价格。但是，一定要注意在不同 = f nt nt nt ( ) ( ) − + ) 遇到发放股利的情况，所以在以后的研究当中应尽可能的适当 放宽条件限制，更贴近现实中的大部分情况。 参考文献 [1]张淘伟.彭永江.金融工程-衍生产品与风险管理[M].中国人民大学出版社. [2]王挣山等译.衍生产品概论[M].东北财经大学出版社. [3]陈信华.金融衍生工具[M].上海财经大学出版社. 作者简介： 吴恒煜，男，中山大学管理学院博士后，江西财经大学金融学院教授。 赵平，男，江西财经大学金融学院硕士。 中国证券期货•2 2009 37