1998 年全国大学生数学建模竞赛题目 A 题 投资的收益和风险 市场上有 n 种资产（如股票、债券、…）Si ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司 有数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这 n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买 Si 的平均收益率为 ，并预测出 购买 Si 的风险损失率为 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当 用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 Si 中最大的一个风险来 度量。 购买 Si 要付交易费，费率为 ，并且当购买额不超过给定值 时，交易费按购 买 计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是 , 且既无交 易费又无风险。（ =5%） 1. 已知 n = 4 时的相关数据如下： Si S1 S2 S3 S4 (%) (%) (%) (元) 28 21 23 25 2.5 1.5 5.5 2.6 1 2 4.5 6.5 103 198 52 40 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 ，有选择地购买 若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 

2. 试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。 Si S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 (%) (%) (%) (元) 9.6 18.5 49.4 23.9 8.1 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 15 42 54 60 42 1.2 39 68 33.4 53.3 40 31 5.5 46 5.3 23 2.1 3.2 6.0 1.5 7.6 3.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.7 4.5 7.6 181 407 428 549 270 397 178 220 475 248 195 320 267 328 131 B 题 灾情巡视路线 下图为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。 

今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负 责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、 村，又回到县政府所在地的路线。 1. 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 2. 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间 T=2 小时，在各村停留时间 t=1 小时， 汽车行驶速度 V=35 公里/小时。要在 24 小时内完成巡视，至少应分几组； 给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。 3. 在上述关于 T , t 和 V 的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短 时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视 路线。 4. 若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论 T，t 和 V 改变对最 佳巡视路线的影响。