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群论及其在物理学中的应用导论李新征北京大学物理学院

前言《群论》作为 19 世纪发展起来的一门近世代数的分支，在近代物理学研究中占据着举足轻重的位置。在我国物理学专业教学中，《群论》一般是物理学院部分专业研究生的一门必修课，对学有余力的本科生，也可选修。北京大学物理学院近年来一直使用两个学期完成来完成该方面教学，秋季学期开设《群论一》，春季开设《群论二》。《群论一》的任务是建立基本概念，重点讲解有限群，让学生理解群论在诸如凝聚态物理、光学等学科具体研究（如量子力学本征态标识、能带计算、光谱分析、全同粒子性质描述等）中的应用。《群论二》重点针对理论物理专业学生讲解李群与李代数。我的研究方向是凝聚态计算，在日常的科研中对群论这门数学工具（或者说是语言）的重要性具备一点了解。机缘巧合，从 2012 年进入北京大学物理学院工作起我又一直负责《群论一》的教学。教学过程中，我最深切地体会就是这门课程的入门以及在讲授过程中建立起课程内容与学生以后从事研究的联系对绝大部分同学是最关键的。只有入门后，深入理解才有可能，而此深入理解需要通过学习与科研工作相关的例子和科研本身来获得。讲义整理过程中，我倾向于使用口语化的语言，与课堂讲解尽量一致。这样做主要有两个目的：对于上了课的学生，重复这个过程可加深课堂上的理解；对于错过几趟课的学生，也能提供一个补救的手段。除了这两个目的之外，自己从博士阶段开始，我作报告的习惯一直是报告前反复排练，避免讲解过程中由于语言组织的随意引起误解。对于不习惯此方式的同学，很抱歉(^v^)！最后必须说明的是此讲义内容大量参考了田光善老师的手稿、韩其智与孙洪洲老师的教材以及王宏利老师的讲义，准确的说它是北京大学物理学院近些年 ii

《群论一》课程教学讲义的一个整理。在前面六年的上课过程中，宿愿（人名）等同学就讲义给出过很多宝贵的修改意见，因为人数太多，无法一一列举。2016 年暑假，首都师范大学数学系的张俊老师花了很多时间阅读讲义并提出了诸多宝贵意见。在此一并感谢！李新征 2018 年 9 月 7 日

课程导言任何一门课开始的时候都会有一个课程导言，讲这门课的基本情况。这里不例外，我们按下面五句展开： 1）群论课程性质与特点； 2）教材情况与需要的基础知识； 3）教学内容； 4）什么是群论； 5）群论的历史以及在近代物理学、化学研究中的应用。这部分是这门课最轻松的地方，因为有历史、不枯燥。但《群论》从本质上是一门数学，群、环、域这些概念本身就是近世代数里面的基本语言，群论本身更是在十九世纪末彻底发展起来的一个近世代数的分支。二十世纪初，随着 Emmy Noether（诺特，女，1882-1935，德国犹太人）就一个物理系统的对称性与它的守恒量之间关系的认识（1915 年的工作，发表于 1918 年，原始文献[1]）、量子力学的发展、以及 Eugene Paul Wigner（魏格纳，1902-1995，匈牙利人，后期加入美国籍）和 Hermann Klaus Hugo Weyl（外尔，1885-1955，德国人）在建立量子力学数学基础的过程中对对称性原理的使用[2-4]，人们逐渐认识到群论作为一门数学在物理学研究中的作用。再后来物理学发展中人们所使用的规范场（gauge）的方法，是这些研究的进一步延伸（后面我们会稍微展开讨论）。因此，不夸张地说，群论学习是我们物理学专业学生在从事具体研究工作前所受基础教育中必不可少的环节。这是群论课程特点在数学和物理方面的体现。在我们的兄弟学科化学上，在量子力学建立后，敏锐的理论化学家们，以 Linus Carl Pauling（鲍林）为代表， iv

已经认识到化学分子的存在形式以及化学反应的发生本质上是由量子力学与统计物理基本原理支配的。既然对称性在量子力学中具备上述重要性，与之相应，在描述由量子力学基本原理所决定的反应物、过渡态、生成物特性（比如电子能级、振动谱等）描述中，对称性原理的数学语言（即群论）必然也会发挥重要的作用。因此，在近代化学（特别是物理化学）的研究中，人们也认识到由对称性决定的内在规律对人们理解这些物性与过程的本质至关重要。换句话，要想真正地在分子设计的层面理解化学1，对称性的知识同样必不可少。因为这些原因，群论应该说是为数不多的这样一门课：在好一些的大学的数学系、物理系、化学系的课程设置中都有涉及。当然，不同的系会有不同的侧重点。数学系会侧重这门课的数学属性，高一个层面，是我们在物理和化学中展开应用的基础。而物理和化学系的同学，如果想理解这些应用，必须首先理解这门课的数学基础部分（说白了就是掌握语言），再进行实例分析。物理系的同学，就专业不同，所需掌握内容也会不同。以凝聚态、光学专业的同学为例，需要掌握的内容绝大部分集中于有限群理论部分，当然也需要转动群与双群的知识，这些在《群论一》课程中均有涉及。如想进一步理解规范场理论（连续变换下的对称性与某守恒量的关系），李群也应适度学习。而对于理论物理专业的同学特别是粒子物理专业的同学，李群部分的内容掌握也是必需。化学学院中理论化学、物理化学专业同学所需掌握内容与物理学院中凝聚态物理、光学专业类似，以有限群部分内容为主。 1 化学的本质是分子设计，这个可以说是目前多数人对化学的理解。此理解最早的提出者应该也是 Linus Pauling 教授。北京大学化学学院的全称是化学与分子工程学院，其内在涵义也在这个地方。我想这个和唐有祺先生早期是 Linus Pauling 的博士应该有一定关系。此观点与化学学院的部分老师进行过交流，放在这里供大家参考。

不管哪个具体专业，要想理解群论在其关心的具体问题中的应用，“掌握这些应用的数学基础”（具体而言就是“群基础理论”与“群表示理论”两部分内容）都是第一步。因此，我们这门课的前 1/3 部分本质上就是数学性质的讲解。就课程特点来说这部分是比较枯燥的。如果没有学进去，到了后半部分我们讨论应用的时候，你就是在听一门没完全学过的外语。因此，必须说明：如果想学这门课的话，前面两章必须啃下，否则别学！与此同时，在学习之前，笔者还需说明：既然我们把讲义叫《群论在物理学中的应用导论》，在后面的实例说明中，笔者一定会讲到一些我们现在物理学研究中用到的例子。理解这些例子，对于这门课的学习是和掌握理论基础同样重要的目标！因为没有这些例子，你不可能理解到学习这些东西有什么用？要掌握这部分内容，我们需要的课程储备是《量子力学》与《固体物理》，没有选过这两门课，也千万别看这本书和选这门课，这个是由课程的特点决定的，需要尊重！关于教材，前三年我都是基于其他老师的教材手写自己的讲义，每年重复并更新。第四年把讲义的电子版整理出来，之后每年改进，但整体还比较肤浅。具体的、深入的讨论大家可以参考： 1. 韩其智、孙洪洲《群论》北京大学出版社 2. 王宏利《群论讲义》（未出版，网上可以找到） 3. 徐婉棠、喀兴林《群论及其在固体物理中的应用》高等教育出版社 4. M. S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, A. Jorio, 《Group Theory: Applications to the Physics of Condensed Matter》. Springer 5. Zhongqi Ma, 《Group Theory for Physicists》, World Scientific 这五本是课程主要参考如果想扩展阅读，也可参考： vi

6. 马中骐《物理学中的群论》科学出版社（上面那本书的中文版） 7. Anthony Zee, 《 Group Theory in a Nutshell for Physicists 》 , Princeton University Press. （徐一鸿，科普读物中经常称为阿热，题目大意为：物理学家眼中的群论简言，in a nutshell 本意是：一言以蔽之，简约的） 8. Wu-Ki Tung (董无极) 《Group Theory in Physics》世图有影印版 9．F. Albert Cotton, 《Chemical Applications of Group Theory》, John Willey & Sons. Inc（化学家写的群论中的经典，对读者很友善） 10. 陶瑞宝《物理学中的群论》高等教育出版社（这本书很全，包含了很多群论在物理中的应用，理论性也很强） 11. 张端明、李小刚、何敏华《应用群论》科学出版社 12. 俞文海《晶体结构的对称群》科大出版社其中阿热先生的书是在此讲义基本定型后才有幸研读，看完诸多体会。如果能早日看到，讲义本身质量应该会有很大提升。前言的第三部分是课程的内容。主体是下面六章：1) 群的基础知识、2) 群表示理论、3) 点群和空间群、4) 群论与量子力学、5) 转动群、6) 置换群。其中前两章是基础，提供我们在进行后面的讨论的时候必须用到的“语言”，是我们的基本交流工具。在这两章学完之后，下面两个章节是 3) 点群与空间群，4) 群论与量子力学。其中点群、空间群是我们在分子、团簇、凝聚态体系中遇到的群，关于它们的性质自然是我们学习的重点。群论与量子力学这一章，在现行教课书中并没有一个统一的路子。但笔者认为是我们这门课里最重要、最有用的部分！大家学完这门课之后，有时间的话一定要不断地阅读和这部分相关的教科书（特别是 Dresselhaus 那本），这是加深我们对这门课理解的关键！此部分内容有点像

金庸小说中常提到的任督二脉，掌握好了，能在科研中合理运用群论，课程学习才成功，科研也会做得更好（Dresselhaus 本人就是一个最好的例子）。剩下的两章，转动群不说大家也能感受到它的重要，早期的原子体系和很多现在还在用的中心力场理想体系都具备这样的对称性。此讲义主要关注的主体是有限群，转动群本质上是一个连续群，但它的一些最基本的属性我们在不学习《群论二》的情况下也能理解。如果你以后做和电子自旋相关的研究，背后的物理基本也在这部分内容中。置换群是一种有限群，也是在全同粒子体系普遍存在的一种对称群。我们的课程内容会覆盖到从置换群的基本特性、到其分类（杨图）、在到其不等价不可约表示分类（杨盘定理）、以及简单的如何求置换群的表示这些内容。对于不学理论物理的同学，一般我们用不上。对学理论并且要选《群论二》的同学，这些基本的理论储备应该也够，深入的讲解你们下个学期会接触。上面说的课程内容都可以直接由章节的题目反映出来。大家如果看其它教材的话，其实还会注意到两个东西，我们目前还没有提及：一个叫投影算符、一个叫幂等元，这两者有些联系。在我们的讲义中，分别会在第四章和第六章用到之前作介绍，不单独把它们作为一章来讲。导言的第四部分我们想说的是一个具体的问题：什么是群论？要明白这个问题的话我们可以先想一下什么是“群论”中的“群”。这个对应的英语的词源是 group theory 中的 group，汉语的翻译很贴切，就是“群”这个字。汉字拆分，可以把它分为两个部分，一个“君”、一个“羊”，背后隐藏的一个逻辑就是一个君管理了一群羊。在这里羊是一个集合，而君不单指一个人，更代表一个管理者。他/她和羊在一起，大家可以理解为一个“具有一定结构特征的集合”，因为“君”这个管理者就是要给你这个集合建立一个结构特征，并且 viii

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