2018年北京高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2018 年北京高考文科数学真题及答案本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 A={(|||<2)},B={−2,0,1,2},则 A B  （A）{0,1} （B）{−1,0,1} （C）{−2,0,1,2} （D）{−1,0,1,2} （2）在复平面内，复数 1 1 i 的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（C）第三象限（B）第二象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的 s值为（A）（C） 1 2 7 6 （B）（D） 5 6 7 12 （4）设 a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2 .若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为（A） 3 2 f （C） 12 52 f （B） 3 22 f （D） 12 72 f （6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1 （C）3 （B）2 （D）4 （7）在平面直角坐标系中，     AB CD EF GH 是圆 2 x 在其中一段上，角以 O为始边，OP为终边，若 tan 圆弧是 , , , y 2 1  上的四段弧（如图），点 P   cos   sin  ，则 P所在的（A） AB （C） EF （B） CD （D） GH

（8）设集合 {( , x y A  ) | x   y 1, ax   y 4, x ay   则 2}, （A）对任意实数 a， (2,1) A （B）对任意实数 a，（2,1） A （C）当且仅当 a<0 时,（2,1） A （D）当且仅当 a  时,（2,1） A 3 2 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）设向量 a=（1,0），b=（−1,m）,若（10）已知直线 l过点（1,0）且垂直于轴，若 l被抛物线 2 则抛物线的焦点坐标为_________. y a m ( a b ，则 m=_________.  )  4 ax 截得的线段长为 4，（11）能说明“若 a﹥b，则 1 a 1 b  的离心率为 5 0) 2 2 2 x a  2 y 4  1( a  ”为假命题的一组 a，b的值依次为_________. （12）若双曲线，则 a=_________. （13）若,y满足 1    ，则 2y−的最小值是_________. 2 x y x （14）若 ABC△ 的面积为 2 a  2 c 2  b ) 3 ( 4 ,且∠C为钝角，则∠B=_________； c a 的取值范围是_________. 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）设{ }na 是等差数列，且 1 a  ln 2, a 2  a 3  5ln 2 . （Ⅰ）求{ }na 的通项公式； a e （Ⅱ）求 1 a e 2   e na . （16）（本小题 13 分）已知函数 ( ) f x  2 sin x  3 sin cos x x . （Ⅰ）求 ( ) （Ⅱ）若 ( ) f x 的最小正周期； m , 3 f x 在区间[  ] 上的最大值为，求 m 的最小值. 3 2 （17）（本小题 13 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数好评率 140 0.4 50 0.2 300 0.15 200 0.25 800 0.2 510 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）（18）（本小题 14 分）如图，在四棱锥 P−ABCD中，底面 ABCD为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，PA=PD， E，F分别为 AD，PB的中点. （Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面 PAB⊥平面 PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面 PCD. （19）（本小题 13 分）设函数 ( ) f x  2 [ ax  (3 a  1) x  3 a  2]ex . （Ⅰ）若曲线 y  ( ) f x 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 0，求 a；（Ⅱ）若 ( ) f x 在 1x  处取得极小值，求 a的取值范围. （20）（本小题 14 分）已知椭圆 M : 2 2 x a  2 2 y b  1( a   的离心率为 6 b 3 0) ，焦距为 2 2 .斜率为 k的直线 l 与椭圆 M有两个不同的交点 A，B.

（Ⅰ）求椭圆 M的方程； |AB 的最大值；，直线 PA与椭圆 M的另一个交点为 C，直线 PB与椭圆 M的另一个交（Ⅱ）若 1k  ，求| （Ⅲ）设 ( 2,0) P  点为 D.若 C,D和点 ( Q  7 1 4 4 , ) 共线，求 k.

绝密★启用前一、选择题 2018 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案（1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D 二、填空题（9） 1 （10） (1,0) （11）1 1 （答案不唯一）（12）4 （13）3 三、解答题 15．（共 13 分）（14） 60  (2,  ) 解：（I）设等差数列{ }na 的公差为 d ， a ∵ 2 a 3  5ln 2 ， ∴ 12 a 3 d  5ln 2 ， a  又 1 ln 2 ，∴ ln 2 d  . ∴ na  a 1  ( n  1) d  n ln 2 . （II）由（I）知 na n ln 2 ， ∵ na e  e n ln2 ln2  e =2n n ， ∴{e }na 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列. ∴ a 1 e a e 2    na e ln 2  e  e 2 ln 2    e n ln 2 =2 2  2   2 n =2 1 n  . 2 a e ∴ 1 a e 2   e na =2 1 n  . 2 16.（共 13 分）解：（Ⅰ），

2π 2 x   . 1 2 ,2 m  x sin(2 π 6 π ) 6 5π [    6 3 2 上的最大值为，即 . ] π 6 sin(2 所以 ( ) f x 的最小正周期为 T  π  . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ( ) f x  x 因为 π[   3 要使得 ( ) π 6 所以 2 f x 在 , ，所以 2 , ] m π[ m 3 π 2 ] m  m   ，即 π 3 . 所以 m 的最小值为 π 3 . x  在 ) π 6 π[ m 3 , ] 上的最大值为 1. 17.（共 13 分）（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25=50，故所求概率为 50 2000  0.025 . （Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51 =372. 故所求概率估计为 372 2000 1   0.814 . 方法二：设“随机选取 1 部电影,这部电影没有获得好评”为事件 B. 没有获得好评的电影共有 140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628 部. 由古典概型概率公式得 ( P B  ) 1628 2 00 0  0.814 . （Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 18.（共 14 分） AD . ，且 E 为 AD 的中点，∴ PE . 【解析】（Ⅰ）∵ PA PD ∵底面 ABCD 为矩形，∴ BC AD∥ ， ∴ PE BC （Ⅱ）∵底面 ABCD 为矩形，∴ AB AD ∵平面 PAD  平面 ABCD ，∴ AB  平面 PAD . ∴ AB PD .又 PA PD ， .

∴ PD  平面 PAB ，∴平面 PAB  平面 PCD . （Ⅲ）如图，取 PC 中点G ，连接 ,FG GD . ∵ ,F G 分别为 PB 和 PC 的中点，∴ FG BC∥ ，且 FG  ∵四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， 1 2 BC . ∴ ED BC DE ∥ ,  1 2 BC ，，∴四边形 EFGD 为平行四边形， ∴ ED FG∥ ，且 ED FG ∴ EF GD∥ . 又 EF  平面 PCD ，GD  平面 PCD ， ∴ EF∥平面 PCD . 19. （13 分）解：（Ⅰ）因为 ( ) f x  2 [ ax  (3 a  1) x  3 a  2]ex ，所以  ( ) f x  2 [ ax  ( a  1) x  1]ex . f  (2)  (2 a  1)e 2 ，由题设知 (2) f   ，即 0 (2 a  1)e 2  ，解得 0 a  . 1 2 x  （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得  ( ) f x  2 [ ax  ( a  1) x 1]e  ( ax  1)( x  1)e x . 若 a>1，则当 x  1( a f x x   时， ( ) ,1) ) 当 (1, x 时， ( ) f  ； 0 0  . 所以 ( ) f x 在 x=1 处取得极小值. 若 1a  ，则当 (0,1) x  时， ax x 所以 ( ) f 0  . 1     ， 1 0 x

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