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概率论与数理统计同步练习册（附答案详解）.doc
X
第一章 随机变量 习题一
1、写出下列随机试验的样本空间
(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和
=
43
,
,
,
18
(2)生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数
=
10
,11
,
(3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，
如连续查出 2 个次品就停止，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”
表示次品，用“1”表示正品。
={
00
,
100
,
0100
,
0101
,
0110
,
1100
,
1010
,
1011
,
0111
,
1101
,
1110
,
1111
}
(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标
=
{(
,
yx
|)
x
2
y
2
}
1
(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度
=
{(
,
zyx
,
|)
x
0
,
y
0
,
z
0
,
x
y
z
}
1
其中
,
zyx
,
分别表示第一、二、三段的长度
(6 ) .10 只产品中有 3 只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将 3 只
次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间 U =
“在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间 U =
解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。}
其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、
10
( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… }
其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …
2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系
|
|
ax
与
(1)
|
|
ax
互不相容 (2)
20x
与 20x
对立事件
(3)
20x
与 18x
互不相容
(4)
20x
与 22x
相容事件
(5)20 个产品全是合格品与 20 个产品中只有一个废品 互不相容
(6)20 个产品全是合格品与 20 个产品中至少有一个废品 对立事件
1
解: 互不相容:
AB
; 对立事件 :
AB)1(
且
BA
3、设 A,B,C 为三事件，用 A,B,C 的运算关系表示下列各事件
(1)A 发生，B 与 C 不发生 -
CBA
(2)A 与 B 都发生，而 C 不发生 -
CAB
(3)A,B,C 中至少有一个发生 -
CBA
(4)A,B,C 都发生 - ABC
(5)A,B,C 都不发生 -
CBA
(6)A,B,C 中不多于一个发生 -
(7)A,B,C 中不多于两个发生-
CBA
(8)A,B,C 中至少有两个发生-
AB
AC
BC
CBCABA
4、盒内装有 10 个球，分别编有 1- 10 的号码，现从中任取一球，设事件 A 表示“取
到的球的号码为偶数”，事件 B 表示“取到的球的号码为奇数”，事件 C 表示“取到
的球的号码小于 5”，试说明下列运算分别表示什么事件.
(1)
BA
必然事件
(2) AB
不可能事件
(3)C 取到的球的号码不小于 5
(4)
CA
1 或 2 或 3 或 4 或 6 或 8 或 10
(5) AC
2 或 4
(6) CA
5 或 7 或 9
(7)
CB
6 或 8 或 10
(8) BC 2 或 4 或 5 或 6 或 7 或 8 或 9 或 10
5、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立.
(1)
(3)
BBABA
CBACBA
成立
(2)
BABA
不成立
不成立
(4)
(
AB
)(
BA
)
成立
(5)若
BA ，则
A
AB
成立
(6)若
AB
，且
AC ，则
BC
成立
(7)若
BA ，则
B
A
成立
(8)若
B ，则
A
ABA
成立
7 、 设 一 个 工 人 生 产 了 四 个 零 件 ， iA 表 示 事 件 “ 他 生 产 的 第 i 个 零 件 是 正
品”
(
),,
4321i
,
，用 1A , 2A , 3A , 4A 的运算关系表达下列事件.
(1)没有一个产品是次品； (1)
B
1
AAAA
1
2
3
4
(2)至少有一个产品是次品；(2)
B
2
A
A
A
2
A
1
3
4
AAAA
1
3
2
4
2
(3)只有一个产品是次品；(3)
B
3
AAAA
4321
AAAA
432
1
AAAA
43
21
AAAA
321
4
(4)至少有三个产品不是次品
4)
B
4
AAAA
1
3
2
4
AAAA
1
3
2
4
AAAA
1
3
2
4
AAAA
1
3
2
4
AAAA
1
3
2
4
8. 设 E、F、G 是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ：
（3）
(2)
F
F
E
F
E
F
E
F
E
F
G
E
(1)
解 :(1) 原式
E
E
E
E
F
F
E
E
F
F
F
F
F
E
F
(2) 原式
E
(3) 原式
E
F
F
E
F
F
E
F
E
E
G
F
F
G
F
E
G
9、设 BA, 是两事件且
(
AP
)
,.
60
(
BP
)
.
70
，问(1)在什么条件下
P
( AB
)
取到最大
值，最大值是多少？(2)在什么条件下
P
( AB
)
取到最小值，最小值是多少？
解: (1)
A
,
ABPB
(
)
6.0
(2)
ABPSBA
(
,
)
3.0
10. 设 事 件 A，B，C 分 别 表 示 开 关 a，b，c 闭 合 ，D 表 示 灯 亮 ，
则可用事件 A，B，C 表示：(1) D = AB C ；(2) D =
CBA
。
11、设 A,B,C 是三事件，且
)(
AP
(
BP
)
)(
CP
1
4
,
P
(
AB
)
(
BCP
)
,
0
P
(
AC
)
1
8
，
求 A,B,C 至少有一个发生的概率.
(
(
CBAP
CP
(
)
AP
(
BP
)
)
解:
)
(
ABP
)
(
ACP
)
(
BCP
)
P
(
ABC
)
5
8
ABC
P
(
)
0
AB
ABC
1
4
0
1
4
P
(
1
4
ABC
)
1
8
(
ABP
00
0
)
0
3
12. (1)设事件 A , B 的概率分别为
1 与
5
1 ，且 A 与 B 互 斥，则
4
( BAP
)
=
1
5
.
(2).一个盒中有 8 只红球，3 只白球，9 只蓝球 ，如果随机地无放回地摸 3 只
球 ，则取到的 3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 ___
14
285____。
(3) 一 袋中有 4 只白球，2 只黑球，另一只袋中有 3 只白球和 5 只黑球，如果
从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率
13
24 ___。
等于 ___
(4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验 E 的三个相互独立的事件，
已知 P(A1) = , P(A2) = ，P(A3) = ，则 A1 , A2 , A3 至少有一个
发生的概率是 1 (1 )(1 )(1 )
.
(5) ．一个盒中有 8 只红球，3 只白球，9 只蓝球，如果随机地无放回地摸 3 只球，
则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 __
34
57 ____。
13、在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正品，任取 200 个，求
(1)恰有 90 个次品的概率；
P
)1(
110
1100
90
CC
400
200
C
1500
解:
(2)至少有 2 个次品的概率.
1
CC
400
2000
C
1500
200
C
1100
200
C
1500
199
1100
P
)2(
1
14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为 0.9，乙击中的概率为 0.8，两射手
同时击中的概率为 0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的，
求“中”的概率.
解: A “甲中”
B “乙中”
(
BAP
)
)
(
AP
(
BP
)
(
ABP
)
72.08.09.0
98.0
15、8 封信随机地投入 8 个信箱(有的信箱可能没有信)，问每个信箱恰有一封信的概
率是多少？
解:
AP
)
(
8!
88
4
16、房间里有 4 个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？
解：设所求事件 A “至少有两个人的生日在同一个月的”
A “任何两个人的生日都不在同一个月”
)
(
AP
4
A
12
4
12
,
(
AP
1)
(
AP
1)
4
A
12
4
12
.0
427
17、将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的概
率各是多少？
解：3 个球放入 4 个杯子中去共有 34 种放法，设 iB 表示杯子中球的最大个数为 n 的
事 件
(
),
321n
,
,
1B 表 示 每 只 杯 子 最 多 只 能 放 一 个 球 ， 共 有 3
4A 种 方 法 ， 故
(
BP
)
1
3
A
4
43
3
8
; 2B 表示有一只杯子中放 2 个球，先在 3 个球中任取 2 只放入 4 个
杯子中的任意一只，共有
2
3 C
4
种方法，剩下的一个球可以放入剩下的 3 只杯子中的
任 一 只 ， 有 3 种 放 法 ， 故 2B 包 含 的 基 本 事 件 数 为
C
34
2
3
36
， 于 是
;
3B 表 示 有 一 只 杯 子 中 放 3 个 球 ， 共 有 4 种 方 法 ， 故
(BP
)
2
(BP
)
3
36
3
4
4
3
4
9
16
1
16
.
18. 设 一 个 质 点 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D 内
( 其 中 D 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y = 2 所 围 成 的 ) ， 设 事 件 A 为：
质 点 落 在 直 线 y = 1 的 下 侧 ， 求 P(A) 。
o 2 x
y
2
1
D 1
AP
)(
1
D
D
21
)
(
22
1
2
1
2
3
4
19、(1)已知
(
AP
)
,.
30
(
BP
)
,.
40
BAP
(
)
.
50
，求
(
BP
|
A
B
)
(2)已知
(
AP
)
1
4
,
ABP
(
|
)
1
3
,
BAP
(
|
)
1
2
，求
(
AP
B
)
5
解: (1)
ABP
(
|
B
)
250.
(2)
(
AP
)
B
1
3
20、一批产品共 100 个,其中有次品 5 个，每次从中任取一个，取后不放回,
设 iA ( i =1，2，3，)表示第 i 次抽到的是次品，求：
4
99
2
1
AAP
99
AAP
94
1
2
，
AAP
1
2
95
99
，
AAAP
21
3
3
98
，
AAP
1
2
，
AAAP
2
3
1
5
99
98
94
21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂占 30%，甲厂产品的合格率为 95%，
乙厂的合格率是 80%。若用事件 A 、A 分别表示甲、乙两厂产品，B 表示合格品。
试写出有关事件的概率.
(1)
(AP
)
70%
(2)
(AP
)
30%
(3)
(
ABP
|
)
95%
(4)
(
ABP
|
)
80%
(5)
(
ABP
|
)
5% (6)
(
ABP
|
)
20%
22、袋中有 10 个球，9 个是白球，1 个是红球，10 个人依次从袋中各取一球，每人
取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，……，最后一人取得红球的概
率各是多少？
解: 解：设 iA 第 i 个人取得红球的事件
(
则 iA 为第 i 个人取得白球的事件，
21 i
,
,
,
10
)
,
显然
( 1 AP
)
(
AP
2
)
,
1
10
(
AAP
2
1
A
2
AA
1
2
AA
2
1
)
(
AAPAP
1
(
)
|
2
1
)
同理
(
AP
10
)
(
AAP
2
1
AA
9
10
)
!9
!10
)
(
1
9
AA
2
1
1
10
AA
2
1
9
10
1
10
23、某种动物由出生活到 20 年以上的概率为 0.8，活 25 年以上的概率为 0.4，问现
年 20 岁的这种动物活支 25 岁以上的概率是多少？
解：设 A 为{由出生活到 20 岁}的事件， B 为{由出生活到 25 岁}的事件
6
则所求事件的概率为
ABP
(
|
)
)
(
AB
P
(
AP
)
B
A
AB
B
ABP
(
|
)
)
(
AB
P
(
AP
)
(
BP
(
AP
)
)
.
40
.
80
1
2
24、十个考签中四个难的，三人参加抽签，(不放回)甲先、乙次、丙最后，记事件
A,B,C 分别表示甲、乙、丙各抽到难签，求
PAP
AB
解：
(
)
AP
4
10
,
(
ABP
)
2
15
(
BAP
)
4
15
P
(
ABC
)
(
),
),
BAP
(
),
P
(
ABC
)
.
(
1
30
25. 设 0< P(C) <1 ，试 证 ：对 于 两 个 互 不 相 容 的 事 件 A，B，恒 有
P { ( A B )C} = P{AC} + P{BC}
AP
CB
AP
C
B
CP
证:
P
AC
BC
CP
P
AC
BCP
CP
CAP
CBP
26、设事件 A 与 B 互斥，且
0
(BP
)
1
，证明
证明：由于
AB
，故
BBAA
)
(
BA
BAP
(
|
)
)
(
AP
(
BP
1
.
)
(
BAP
|
)
)
(
BAP
)
(
BP
(
)
AP
(
BP
)
1
(
(
BP
)1)
27、一批零件为 100 个，次品率为 10%，每次从中任取一个，不再放回，求第三次才
能取得正品的概率是多少？
解：设 iA 为{第 i 次取到正品}，
次品 10 个，设 A 为{第三次抽到正品}，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，则由
一般乘法公式得
由于次品率为 10%，故 100 个零件约有 90 个正品，
)3,2,1
( i
)
(
AP
(
AAAP
3
2
1
)
(
AAAPAAPAP
2
(
)
(
)
|
|
1
2
1
3
1
)
10
100
9
99
90
98
.0
0083
28、设每 100 个男人中有 5 个色盲者，而每 10000 个女人中有 25 个色盲者，今在 3000
个男人和 2000 个女人中任意抽查一人， 求 这 个 人 是 色 盲 者 的 概 率。
解:
7
A ：“ 抽到的一人为男人”；B ： “ 抽到的一人为色盲者”
则
BP
3
5
,
AP
AP
ABP
ABP
ABPAP
1
400
3
,
5
2
5
2
5
1
20
1
20
5
100
25
1
400
10000
ABPAP
31
1000
29、设有甲、乙两袋，甲袋装有 n 只白球，m 只红球；乙袋中装有 N 只白球，M 只红
球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白
球的概率是多少？
解：设 1H 表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，
2H 表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，
B 表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件，
)
(
HP
)
(
HBP
|
)
2
2
1
所求事件
B
BH
由全概率公式：
易知：
(
HP
)
1
(
HBP
|
)
1
于是
(
BP
)
2
|
)
)
(
BH
1
(
(
)
HBPHP
BP
1
m
n
(
,
HP
mn
1
N
)
MN
n
N
(
HBP
2
m
1
MN
,
1
mn
1
|
2
mn
mn
1
N
MN
N
MN
1
30、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例
分别为 25%,35%,40%；并且它们的废品率分别是 5%,4%,2%
(1)今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少？
(2)如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的？
解：设 A “所取出的一件产品是废品”， 1B “产品系甲车间生产”，
已知
2B “产品系乙车间生产”，
( 2 BP
25.0)
35.0)
(
|
2 BAP
( 1 BP
(
1 BAP
05.0)
|
04.0)
3B “产品系丙车间生产”
(
)
3 BP
(
3 BAP
4.0
|
02.0
)
(1)由全概率公式：
)
(
AP
3
i
1
(
BPBAP
i
(
)
|
i
)
25.0
05.0
35.0
04.0
02.04.0
.0
0345
(2)由贝叶斯公式：
8
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