信号模型： ( ) x k  ( a x k 1 1)   ( a x k 2  2)  ( ) w k 其中 ( )w k 是高斯白噪声。模型参数有两组：  a 1   0.195, a 2   0.95 和 a 1   1.595, a 2   0.95 （1）由仿真数据估计 R 和理论值比较， （2）令  1 tr[ R ] ；编写 LMS 算法，画出 1w 、 2w 的收敛曲线， （3）对比两组参数，分析其结果差异原因， （4）对比微商法结果和 SER 算法（考虑遗忘因子和初始矩阵 0Q 的选择）。 解答： （1） 自相关矩阵的理论值计算 对于二阶 AR 模型，由 Yule-walker 方程可知   xx    xx    xx (0) (1) (2)  xx  xx  xx (1) (0) (1)  xx  xx  xx (2) (1) (0)           1 a 1 a 2       2    0   0    xx    xx    xx (0) (1) (2)       1 a 1 a 2      1 a 1 a  2 a 1 a  2  0  1    1 2    0   0       而 ( ) x n 自相关的估计值为 ˆ (  xx ) m  1 N N m 1    n  0       (0) (1) R   xx     xx  xx  xx (1) (0)    ( ) ( ) x n x n m  

ˆ R ˆ   xx   ˆ    xx (0) (1) ˆ  xx ˆ  xx (1) (0)     计算 R 的理论值，并产生 1000 个输入数据来估计 R 。结果如下： 当 1a =-0.195， 2a =0.95 时， R 的理论计算结果为 R = 10.3600   1.0360  1.0360 10.3600    ， R 的估计值为  R = 12.2946   1.2881  1.2881 12.2946    当 1a =-1.595， 2a =0.95 时，R 的理论计算结果为 R =    30.9899 25.3481   25.3481 30.9899  ， R 的估计值为  R =    25.2713 20.6758 20.6758 25.2713    (2) x 1021 a1=-0.195 a2=0.95 步 长 因 子 =1/tr(R) x 10105 1.5 a1=-1.595 a2=0.95 步 长 因 子 =1/tr(R) w1的 收 敛 曲 线 w2的 收 敛 曲 线 2 1 w 和 w 值 权 1 0.5 0 -0.5 400 500 迭 代 次 数 600 700 800 900 1000 -1 0 100 200 300 400 500 迭 代 次 数 w1的 收 敛 曲 线 w2的 收 敛 曲 线 600 700 800 900 1000 8 6 4 2 0 2 1 w 和 w 值 权 -2 -4 -6 0 100 200 300 左图参数为 a 1   0.195, a 2   0.95 ，右图参数为 a 1   1.595, a 2   0.95 。 从图中我们可以看出权值是不收敛的，因为步长因子选取不符合收敛条件： 0   1  R  tr 我们取步长因子为  0.2 tr[ R ] ，其他条件相同，得到仿真结果如下： 

a1=-0.195 a2=0.95 步 长 因 子 =0.2/tr(R) 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 2 1 w 和 w 值 权 w1的 收 敛 曲 线 w2的 收 敛 曲 线 600 700 800 900 1000 -1.4 0 100 200 300 400 500 迭 代 次 数 2 1 w 和 w 值 权 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 a1=-1.595 a2=0.95 步 长 因 子 =0.2/tr(R) w1的 收 敛 曲 线 w2的 收 敛 曲 线 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 迭 代 次 数 上面两图分别对应修改后的第一类和第二类。 (3) 当 1a =-0.195， 2a =0.95 时，数据自相关矩阵 R 的特征值为： 当 1a =-1.595， 2a =0.95 时，数据自相关矩阵 R 的特征值为： 9.3240   11.3960     5.6417 56.3380       参数为 1a =-1.595， 2a =0.95 时，系统的条件数较大，因而，收敛较慢。 (4) SER 法: 令  0.2 tr[ R ] ，对于第一组参数 a 1   0.195, a 2   0.95 a1=-0.195 a2=0.95 步 长 因 子 =0.2/tr(R) 遗 忘 因 子 =0.98623 w1的 收 敛 曲 线 w2的 收 敛 曲 线 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 a1=-0.195 a2=0.95 步 长 因 子 =0.2/tr(R) 遗 忘 因 子 =0.96594 w1的 收 敛 曲 线 w2的 收 敛 曲 线 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 2 1 w 和 w 值 权 2 1 w 和 w 值 权 -2 0 100 200 300 400 500 迭 代 次 数 600 700 800 900 1000 -1.5 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 迭 代 次 数 左图和右图分别为遗忘因子 0.98623 对于第二组参数  0.95 1.595,     a a 1 2 和 0.96594  。 

a1=-0.195 a2=0.95 步 长 因 子 =0.2/tr(R) 遗 忘 因 子 =0.96594 w1的 收 敛 曲 线 w2的 收 敛 曲 线 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 3 2 1 0 -1 -2 -3 2 1 w 和 w 值 权 2 1 w 和 w 值 权 a1=-1.595 a2=0.95 步 长 因 子 =0.2/tr(R) 遗 忘 因 子 =0.96594 w1的 收 敛 曲 线 w2的 收 敛 曲 线 600 700 800 900 1000 -7 0 100 200 300 400 500 迭 代 次 数 600 700 800 900 1000 -4 0 100 200 300 400 500 迭 代 次 数 左图和右图分别为遗忘因子 0.98623  和 0.96594  。 对比上两组图可以看出，遗忘因子的不同导致了收敛速度的不同，而且其对 权值收敛以后的震荡情况也有很大的影响，由于此处生成的是平稳信号，因此遗 忘因子越接近 1，收敛后的震荡情况越小，因此前一组图比后一组图效果好。 微商法: 令  0.2 tr[ R ] ，扰动量 0.01  a1=-0.195 a2=0.95 步 长 因 子 =0.2/tr(R) 扰 动 量 =0.01 w1的 收 敛 曲 线 w2的 收 敛 曲 线 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 2 1 w 和 w 值 权 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 2 1 w 和 w 值 权 a1=-0.195 a2=0.95 步 长 因 子 =0.2/tr(R) 扰 动 量 =0.01 w1的 收 敛 曲 线 w2的 收 敛 曲 线 600 700 800 900 1000 -1 0 100 200 300 400 500 迭 代 次 数 600 700 800 900 1000 -1 0 100 200 300 400 500 迭 代 次 数 上面两图分别为参数为 a 1   0.195, a 2   0.95 时候最陡下降法、Newton 法的 权值收敛曲线。 2 1 w 和 w 值 权 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 0 a1=-1.595 a2=0.95 步 长 因 子 =0.2/tr(R) 扰 动 量 =0.01 w1的 收 敛 曲 线 w2的 收 敛 曲 线 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 迭 代 次 数 2 1 w 和 w 值 权 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 0 a1=-1.595 a2=0.95 步 长 因 子 =0.2/tr(R) 扰 动 量 =0.01 w1的 收 敛 曲 线 w2的 收 敛 曲 线 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 迭 代 次 数 上面两图分别为参数为 a 1   1.595, a 2   0.95 时候最陡下降法、Newton 法的 

权值收敛曲线。 从图中可以看出 LMS 算法、SER 算法和微商法中，微商法的稳态性能是最 好的；由于第一组参数的协方差矩阵的特征值分布集中，因此第一组参数的收敛 速度角第二组的快；经过对比可知 Newton 法比最陡下降法的收敛速度更快。