概率论与数理统计公式整理(超全免费版).pdf-资料库

概率论与数理统计公式（全） 2011-1-1 第 1 章随机事件及其概率（ 1 ）排列组合公式（ 2 ）加法和乘法原理（ 3 ）一些常见排列（ 4 ）随机试验和随机事件（ 5 ）基本事件、样本空间和事件从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，„表示事件，它们是的子集。为必然事件，Ø 为不可能事件。不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B的组成部分，（A发生必有事件 B发生）：如果同时有，，则称事件 A与事件 B等价，或称 A等于 B： A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。属于 A而不属于 B的部分所构成的事件，称为 A与B的差，记为 A-B，也可（ 6 ）事件的关系与运算表示为 A-AB或者，它表示 A发生而 B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 1 )!(!nmmPnm)!(!!nmnmCnmBABAABBA

概率论与数理统计公式（全） 2011-1-1 -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算：结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率：，设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω ) =1 3° 对于两两互不相容的事件，，„有（ 7 ）概率的公理化定义常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件的概率。 1° 2° ，。（ 8 ）古典设任一事件，它是由组成的，则有概型 P(A)= = 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何（ 9 ）几何概型概型。对任一事件 A，。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 公式当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时，P( )=1- P(B) 定义设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为。（11）减法公式（12）条件概率 1 A11iiiiAABABABABAAA1A2A11)(iiiiAPAPAn21,nPPPn1)()()(21Am21,)()()(21m)()()(21mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A)()()(LALAPB)()(APABP)/(ABP)()(APABP

概率论与数理统计公式（全） 2011-1-1 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Ω /B)=1 乘法公式： /A)=1-P(B/A) P( （13）乘法公式更一般地，对事件 A1，A2，„An，若 P(A1A2„An-1)>0，则有 „ 。 ①两个事件的独立性 „„ „ 设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独（14）独立立。性必然事件和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式设事件 1° 2° 则有满足两两互不相容，，，。设事件，，„，及满足 1° ，，„，两两互不相容， >0， 1，2，„，， 2° 则，，（16）贝叶斯公式，i=1，2，„n。此公式即为贝叶斯公式。，（，，„，），通常叫先验概率。，（，，„，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了 “由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了次试验，且满足  每次试验只有两种可能结果，发生或不发生； 1 B)/()()(ABPAPABP21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nAAB)()()(BPAPABPABAB0)(AP)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABPABABABABnBBB,,,21nBBB,,,21),,2,1(0)(niBPiniiBA1)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP1B2BnBA1B2BnB)(BiPinniiBA10)(APnjjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/()(iBP1i2n)/(ABPi1i2nnAA

概率论与数理统计公式（全） 2011-1-1  次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；  每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，，。第二章随机变量及其分布（1）离散设离散型随机变量的可能取值为 Xk(k=1,2,„)且取各个值的概率，即事型随机变件(X=Xk)的概率为量的分布律 P(X=xk)=pk，k=1,2,„，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：显然分布律应满足下列条件：。（1），，（2）。设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有称为的概率密度函数或密度函数，简称概，则称为连续型随机变量。率密度。密度函数具有下面 4 个性质： 1° 。 2° 。积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（2）连续型随机变量的分布密度（3）离散与连续型随机变量的关系 1 nAAAnpAAqp1)(kPnnA)0(nkkknkknnqpkPC)(nk,,2,1,0XX,,,,,,,,|)(2121kkkpppxxxxXPX0kp,2,1k11kkp)(xFX)(xfxxdxxfxF)()(X)(xfX0)(xf1)(dxxfdxxfdxxXxPxXP)()()(dxxf)(kkpxXP)(

概率论与数理统计公式（全） 2011-1-1 （4）分布函数设为随机变量，是任意实数，则函数称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到 X 落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。分布函数具有如下性质： 1° ； 2° 是单调不减的函数，即时，有； 3° 4° 5° 对于离散型随机变量，，；，即是右连续的；。；对于连续型随机变量，。（5）八大 0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 分布二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。，其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。当时，，，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 1 Xx)()(xXPxF)()()(aFbFbXaP],(ba)(xF,1)(0xFx)(xF21xx)(1xF)(2xF0)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFx)()0(xFxF)(xF)0()()(xFxFxXPxxkkpxF)(xdxxfxF)()(nApAXXn,,2,1,0knkknnqpCkPkXP)()(nkppq,,2,1,0,10,1Xnp),(~pnBX1nkkqpkXP1)(1.0k

概率论与数理统计公式（全）泊松分布设随机变量的分布律为 2011-1-1 ，，，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或 )。者 P( 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ ，n→∞）。随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。，其中 p≥0，q=1-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。设随机变量的值只落在[a，b]内，其密度函数在[a，b] 超几何分布几何分布均匀分布上为常数，即 a≤x≤b 其他，则称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。分布函数为 0， xb。当 a≤x1

概率论与数理统计公式（全） 2011-1-1 指数分布 0, , , ，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。其中 X 的分布函数为 , x<0。记住积分公式：正态分布设随机变量的密度函数为，，其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。具有如下性质： 1° 的图形是关于对称的； 2° 当时，为最大值；若，则的分布函数为。。参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为，，分布函数为。是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 Φ (-x)＝1-Φ (x)且 Φ (0)＝。如果 ~ ，则 ~ 。。 1 0!0ndxexxnX222)(21)(xexfx0X),(~2NX)(xf)(xfxx21)(f),(~2NXXdtexFxt222)(21)(01)1,0(~NX2221)(xexxxtdtex2221)()(x21X),(2NX)1,0(N1221)(xxxXxP)(xf,xe0x0x)(xF,1xe0x,0

概率论与数理统计公式（全）（6）分位数下分位表：上分位表：（7）函数离散型分布 2011-1-1 ；。已知的分布列为，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。连续型先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)＝P(g(X)≤ y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。第三章二维随机变量及其分布（ 1 ）联合分布离散型如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。设 =（X，Y）的所有可能取值为，且事件{ = }的概率为 pij,,称为 =（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 y2 x1 x2 xi p11 p21 pi1 p12 p22 这里 pij具有下面两个性质：（1）pij≥0（i,j=1,2,„）；（2） „ „ „ „ yj p1j p2j „ „ „ „ 1 ＝)(XP＝)(XPX,,,,,,,,)(2121nnipppxxxxXPX)(XgY)(iixgy,,,,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY)(ixgip)(ixg),2,1,)(,(jiyxji),(jiyx),2,1,()},(),{(jipyxYXPijjiijp.1ijijp

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