2005年内蒙古高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2005 年内蒙古高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第 I 卷注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 4 R S  2 如果事件 A、B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 球的体积公式 4 R V  3 3 次的概率 )( kP n  k PC k n 1(  P ) kn  其中 R 表示球的半径一、选择题： Y 1．函数 f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（） A．  4 B．  2 C．π D．2π 2．正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点。那么，正方体的过 P、Q、R 的截面图形是 A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．函数 3 y  2 x  (1 x  )0 的反函数是 A． y  ( x  3 ()1 x  )1 B． y  ( x  3 ()1 x  )1 C． y  ( x  3 ()1 x  )0 D． y  ( x  3 ()1 x  )0 （）（）

4．已知函数 y  tan ( 在x    ) 2 2 , 内是减函数，则（） 5．设 a、b、c、d∈R，若为实数，则 B．－1≤<0 a c B．bc－ad≠0 bi di   C．≥1 D．≤－1 （） C．bc－ad=0 D．bc+ad=0 A．0<≤1 A．bc+ad≠0 6．已知双曲线 2 x 6 2  y 3  1 的焦点为 F1、F2，点 M 在双曲线上且 MF1⊥x轴，则 F1 到直线 F2M 的距离为 A． 63 5 B． 65 6 C． 6 5 D． 5 6 （） 7．锐角三角形的内角 A、B 满足 tanA－ 1 A2sin =tanB，则有（） A．sin2A－cosB=0 C．sin2A－sinB=0 B．sin2A+cosB=0 D．sin2A+sinB=0 8．已知点 A（ 3 ，1），B（0，0）C（ 3 ，0）.设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E，那么有 BC  A．2  其中,CE  等于（） B． 1 2 C．－3 D．－ 1 3 9．已知集合 M={x|x2－3x－28≤0}, N={x|x2－x－6>0}，则 M∩N 为（） A．{x|－4≤x<－2 或 33} D．{x|x<－2 或 x≥3} 10．点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 v=（4，－3）（即点 P 的运动方向与 v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点 P 的坐标为（－10，10），则 5 秒后点 P 的坐标为（） A．（－2，4） B．（－30，25） C．（10，－5） D．（5，－10） 11．如果 a1, a2, …,a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d≠0，则（） A．a1a8>a4a5 B．a1a8a4+a5 D．a1a8=a4a5 12．将半径都为 1 的 4 个铅球完全装人形状为正四面体的容品里，这个正四面体的高最小值为（）

B． 2  62 3 C． 4  62 3 34 D． 62  3 A． 62 3  3 第Ⅱ卷注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 3．本卷共 10 小题，共 90 分。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上. Y 13．圆心为（1，2）且与直线 5x－12y－7=0 相切的圆的方程为 . 14．设为第四象限的角，若 3sin  sin  则 , 13 5 tan 2  = . 15．在由数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有个. 16．下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）. 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分 12 分）设函数 )( xf  2 | x |1 |1 x  | , 求使 )( xf  22 x 的取值范围. 18．（本小题满分 12 分）已知 }{ na 是各项均为正数的等差数列， 1 lg a 、 2 lg a 、 4 lg a 成等差数列.又 b n  ,1 a n 2 n  ,3,2,1  . （Ⅰ）证明 }{ nb 为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列 }{ nb 各项的和 1S 3 ，求数列 }{ na 的首项 a1 和公差 d. （注：无穷数列各项的和即当 n 时数列前 n 项和的极限） 19．（本小题满分 12 分）

甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.（精确到 0.0001） 20．（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD⊥底面 ABCD，AD=PD，E、F 分别为 CD、 PB 的中点. （Ⅰ）求证：EF⊥平面 PAB；（Ⅱ）设 AB= 2 BC，求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小. 21．（本小题满分 14 分） P、Q、M、N 四点都在椭圆 2 x 2  y 2  1 上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点.已知 PF 与 FQ , 共线 MF 且线与 FN , PF  MF  .0 求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值. 22．（本小题满分 12 分）已知 a  函数 ,0 )( xf  2 ( x  xeax )2 . （Ⅰ）当 x为何值时，f (x)取得最小值？证明你的结论；（Ⅱ）设 )(xf 在[－1，1]上是单调函数，求 a的取值范围. 参考答案 1-6: CDBBCC 7-12: ACACBC 13. ( x  1) 2  ( y  2 2) 4  ; 14.  . 3 4 15. 192； 16. ①，④ 17.本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和计算能力，满分 12 分

解：由于 2x y  是增函数， ( ) 2 2 f x  等价于 | x 1|   | x 1|   3 2 ① （1）当 1x  时，| x 1|   | x 1| 2   ，①式恒成立。（2）当 1    时，| 1x x 1|   | x 1| 2   ，①式化为 x 2 x  ，即 3 2 3 4 x  1 （3）当 x   时，| 1 x 1|   | x 1|    ，①式无解 2 综上 x 的取值范围是   3 , 4    18.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。满分 12 分。（Ⅰ）证明： 1 lg a 、 2 lg a 、 4 lg a 成等差数列，  2lg a 2  lg a 1  lg a 4 ，即 2 a 2 a a 1 4 又设等差数列 na 的公差为 d ，则 ( a 1  2 d )  ( a a 1 1  3 ) d ，即 2 d a d 1  d    0, d a 1  0 ， a n 2  a 1  n (2  1) d  n 2 d ， b n  1 a 2 n  1 1 n 2 d  这时 nb 是首项 1 b  ，公比为 1 2 d 1 2 的等比数列。（Ⅱ）解：如果无穷等比数列 nb 的公比 1q  ，则当 n   时其前 n 项和的极限不存在。因而 d a 1  ，这时公比 0 q  ， 1 b 1 2  ，这样 nb 的前 n 项和 1 2 d S n  n ) ] . 1 2 d 1 [1 (  2 11  2 则 S  lim n  S n  lim n  1 2 d 1 [1 (  2 11  2 n ) ]  1 d . d  3. 由 S  得公差 3 a d  ，首项 1 1 3 19.本小题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分 12 分解：单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，乙队胜甲队的概率为 1－0.6＝0.4 比赛 3 局结束有两种情况：甲队胜 3 局或乙队胜 3 局，因而 P（＝3）＝ 3 0.6  3 0.4  0.28 比赛 4 局结束有两种情况：前 3 局中甲队胜 2 局，第 4 局甲队胜；或前 3 局中乙队胜 2 局，第 4 局乙队胜。因而 P（＝4）＝ 2 3 0.6 C  2  0.4 0.6  ＋ 2 3 0.4 C  2  0.6 0.4 0.3744  

比赛 5 局结束有两种情况：前 4 局中甲队胜 2 局、乙队胜 2 局，第 5 局甲胜或乙胜。因而 P（＝5）＝ 2 4 0.6 C  2  2 0.4 所以的概率分布为  ＋ 2 0.6 4 0.4 C  2  2 0.6  0.4 0.3456   3 4 5 P 0.28 0.3744 0.3456 的期望 E ＝3×P（＝3）＋4×P（＝4）＋5×P（＝5）＝4.0656 20.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力。满分 12 分。证明：（Ⅰ）证明：连结 EP， PD   底面 ABCD，DE 在平面 ABCD 内， PD DE   。又 CE＝ED，PD＝AD＝BC，   Rt BCE Rt PDE   ,   PE BE . F 为 PB 中点，∴ EF . PB 由三垂线定理得 PA AB ，∴在 Rt PAB  中，PF＝AF。又 PE＝BE＝EA，   Rt EFP Rt EFA EF ,     . FA PB、FA 为平面 PAB 内的相交直线，∴EF  平面 PAB。（Ⅱ）解：不妨设 BC＝1，则 AD＝PD＝1，AB＝ 2 ， PA＝ 2 ，AC＝ 3 ∴  PAB 为等腰直角三角形，且 PB＝2，F 为其斜边中点，BF＝1，且 AF  PB。  PB 与平面 AEF 内两条相交直线 EF、AF 都垂直，∴PB  平面 AEF。连结 BE 交 AC 于 G，作 GH∥BP 交 EF 于 H，则 GH  平面 AEF，  GAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角。由  EGC∽  BGA 可知 EG＝ 1 2 GB EG ,  1 3 EB AG ,  2 3 AC  2 3 3 ， 1 3 BF  ， 1 3 由  ECH∽  EBF 可知 GH  ∴ sin  GAH  GH AG  3 6 . ∴ AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin 3 6 .

21.本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力。满分 14 分。解：如图，由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点 F（0,1），且 PQ  MN，直线 PQ、NM 中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ 的斜率为 k 。又 PQ 过点 F（0,1），故 PQ 方程为 y kx 1  ，将此式代入椭圆方程得 (2  k 2 2 ) x  2 kx 1 0   设 P、Q 两点的坐标分别为 则 ,x y 、  1 1 ,x y ， 2 2  x 1  k   2 2 2 k 2 k   2 ， x 2  k   2 2 2 k 2 k   2 从而 | PQ 2 |  ( x 1  x 2 2 )  ( y 1  y 2 2 )  8(1  (2  2 2 ) k 2 2 ) k ， |  PQ |  2 ) 2 2(1  2 k  2 k （1）当 0 k  时，MN 的斜率为－ 1 k ，同上可推得 | MN |  2 ) ) 2 2(1 (   1 k 2 (   1 k 2 ) 故四边形的面积 S  1 | 2 PQ MN  | | |  4(1  k 2 )(1  (2  k 2 )(2  1 2 k 1 2 k ) )  4(2  k 2  5 2  k 2  ) 1 2 k 2 2 k 1 2 k  S  ) 4(2  5 2  u u  2(1  1 5 2  u )  ， 2  2, S  ，且 S 是以u 为自变量的增函数， 16 9 令 u  2 k  ，得因为 2 k u  1 2 k u k   时， 1 当所以 16 9 S  2. （2）当 0 k  时，MN 为椭圆长轴，| MN | 2 2,|  PQ |  ， 2 S  1 | 2 PQ MN  | | | 2  综合（1），（2）知，四边形 PMQN 面积的最大值为 2，最小值为 16 . 9

22．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。满分 12 分。解：（I）对函数 ( ) f x 求导数，得  ( ) f x  2 ( x  2 ) ax e x  (2 x  2 ) a e x  2 [ x  2(1  ) a x  2 ] a e x . 已知 0a ，函数 )( xf  ( x 2  xeax )2 ．（Ⅰ）当 x 为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（Ⅱ）设 f(x)在[-1,1]上是单调函数，求 a 的取值范围．令 f  x )(  0 ，得 2[ x  2(1  ) a x  2 ] a e x  ，从而 2 2(1 0  x  ) a x  2 a  ， 0 解得 x 1 1    a 1 2  ， a x 2 1    a 1 2 a x  ，其中 1 x 2 当 x 变化时， f  ( x ), )( xf 的变化情况如下表： x   1, x f  )(x ＋ )(xf 1x 0 ( , x x 1 2 ) － 2x 0  2,x   ＋极大值极小值当 )(xf 在 x x 处取到极大值，在 1 x x 处取到极小值。 2 当 0 a  时， 1 x   ， 2 x  ， )(xf 在 1 1 0 ( x x 上为减函数，在 , ) 2 2,x  上为增函数，  而当 0 x  时， ( ) f x  ( x x  2 ) a e x  ；当 0 x  时， ( ) 0. f x  0 所以当 x 1    a 1 2  时， )(xf 取得最小值。 a （II）当 0 a  时， )(xf 在[ 1,1] 上为单调函数的充要条件是 2 1 x  ，即 a 1   1  a 2  ，解得 1 a  。 3 4 综上， )(xf 在[ 1,1] 上为单调函数的充要条件 a  。 3 4 即 a 的取值范围是   3 , 4    。

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