2005年内蒙古高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2005 年内蒙古高考文科数学真题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 10 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第 I 卷注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 4 R S  2 如果事件 A、B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 球的体积公式 4 R V  3 3 次的概率 )( kP n  k PC k n 1(  P ) kn  其中 R 表示球的半径一、选择题： Y 1．函数 f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（） A．  4 B．  2 C．π D．2π 2．正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点. 那么，正方体的过 P、Q、 R 的截面图形是（） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．函数 y  x (12  x  )0 的反函数是（） A． y  x  (1 x  )1 B． y  x  (1 x  )1 C． y  x  (1 x  )0 D． y  x  (1 x  )0

4．已知函数 y  tan ( 在x    ) 2 2 , 内是减函数，则（） A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－1 5．抛物线 x 2  上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的距离为 4 y A．2 B．3 C．4 D．5  1 的渐近线方程是 6．双曲线 A． y 2  y 9 2 x 4 2 3 x B． y 4 9 x C． y 3 2 x D． y 9 4 x 7．如果数列 }{ na 是等差数列，则 A． a 1  a 8  a 4  a 5 C． a 1  a 8  a 4  a 5 B． a 1  a 8  a 4  a 5 D． aa 81  aa 4 5 （）（）（） 8． ( x  10)2 y 的展开式中 4 6 yx 项的系数是（） A．840 B．－840 C．210 D．－210 9．已知点 A（ 3 ，1），B（0，0）C（ 3 ，0）.设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E，  其中,CE 等于那么有 BC  A．2 B．  1 2 x （） C．－3 D．－ 1 3 10．已知集合 xM 4|{   |},7 N  |{ xx 2  6 x },0 则 NM  为（） A． 4|{ x  x 32 或  x }7 B． 4|{ x  x 32 或  x }7 C． |{ xx  x 2 或 x  }3 D． |{ xx  x 2 或 x  }3 11．点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 v )3,4(  即点 P 的运动方向与 v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位）.设开始时点 P 的坐标为（－10，10），则 5 秒后点 P 的坐标为（） A．（－2，4） B．（－30，25） C．（10，－5） D．（5，－10） 12．△ABC 的顶点 B 在平面内，A、C 在的同一侧，AB、BC 与所成的角分别是 30°和 45°.若 AB=3，BC=4 2 ，AC=5，则 AC 与所成的角为（） A．60° B．45° C．30° D．15° 注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 3．本卷共 10 小题，共 90 分．二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.） 13．在 8 和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 3 27 2 Y . 14．圆心为（1，2）且与直线 5 x  12 y  7 0 相切的圆的方程为 . 15．在由数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有个. 16．下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）已知为第二象限的角， sin   , 3 5 为第一象限的角， cos   求 , 5 13 tan( 2 )   的值. 18．（本小题满分 12 分）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；（Ⅱ）本场比赛乙队以 3：2 取胜的概率.（精确到 0.001） 19．（本小题满分 12 分）乙知{an}是各项为不同的正数的等差数列，lga1、lga2、lga4 成等差数列，又 bn 1 na 2 ， n=1，2，3…. （Ⅰ）证明{bn}为等比数列；（Ⅱ）如果数列{bn}前 3 项的和等于 7 24 ，求数列{an}的首项 a1 和公差 d.

20．（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD⊥底面 ABCD，AD=PD，E、F 分别为 CD、 PB 的中点. （Ⅰ）求证：EF⊥平面 PAB；（Ⅱ）设 AB= 2 BC，求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小. 21．（本小题满分 12 分）设 a为实数，函数 )( xf  3 x  2 x  ax . （Ⅰ）求 )(xf 的极值；（Ⅱ）当 a在什么范围内取值时，曲线 y 与)( xf x 轴仅有一个交点. 22．P、Q、M、N 四点都在椭圆 2 x 2  y 2  1 上，F 为椭圆在 y轴正半轴上的焦点. 已知 PF与 PQ 共线， MF与共线， FN PF  MF 0 . 求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值. 参考答案 1-6: CDBBDC 7-12: BACACC 新疆王新敞奎屯 13. 216; 14. ( x  1) 2  ( y  2 2) 4  . 15. 192； 16. ①，④ 新疆王新敞奎屯 17.本小题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识，以及分析能力和计算能力，满分 12 分解：因为为第二象限的角， cos    1 sin  2   为第一象限的角， cos  ，所以 sin 3 5   ， 4 5  ， tan 5 13    ， 3 4 sin   tan 2 12 13   , tan   24 7 12 5

所以 tan(2 )     tan 2 tan 1 tan 2 tan         24 12  5 7 24 1 (    7 ) 12 5 ＝ 204 253 新疆王新敞奎屯 18.本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用概率知识解决实际问题的能力。满分 12 分解：单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，乙队胜甲队的概率为 1－0.6＝0.4 （Ⅰ）记“甲队胜三局”为事件 A，“甲队胜二局”为事件 B，则 P（A）＝ 30.6  0.216 ，P（B）＝ 2 3 0.6 C  2  0.4 0.432  所以前三局比赛甲队领先的概率为 P（A）＋P（B）＝0.648 （Ⅱ）若本场比赛乙队 3：2 取胜，则前四局双方应以 2：2 战平，且第五局乙队胜，所以所求事件的概率为 2 5 0.4 C  2  2 0.6  0.4 0.138  19.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。满分 12 分。（Ⅰ）证明： 1 lg a 、 2 lg a 、 4 lg a 成等差数列，  2lg a 2  lg a 1  lg a 4 ，即 2 a 2 a a 1 4 又设等差数列 na 的公差为 d ，则 ( a 1  2 d )  ( a a 1 1  3 ) d ，即 2 d a d 1  d    0, d a 1  0 ， a n 2  a 1  n (2  1) d  n 2 d ， b n  1 a 2 n  1 1 n 2 d  这时 nb 是首项 1 b  ，公比为的等比数列。 1 2 d b  3 1 2 1 2 b （Ⅱ）解： 1   b 2 a  1 d  3  1 2 d (1   1 4 )    d , 7 24 3 ， 20.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力。满分 12 分。证明：（Ⅰ）证明：连结 EP， PD   底面 ABCD，DE 在平面 ABCD 内， PD DE   。又 CE ＝ ED ， PD ＝ AD ＝ BC ，   Rt BCE Rt PDE   ,   PE BE .  F 为 PB 中点， ∴ PA AB  EF ，∴在 Rt PAB 又 PE＝BE＝EA， . PB 由三垂线定理得中，PF＝AF。

  Rt EFP Rt EFA EF ,     . FA PB、FA 为平面 PAB 内的相交直线，∴EF  平面 PAB。（Ⅱ）解：不妨设 BC＝1，则 AD＝PD＝1，AB＝ 2 ，PA＝ 2 ，AC＝ 3 ∴  PAB 为等腰直角三角形，且 PB＝2，F 为其斜边中点，BF＝1，且 AF  PB。  PB 与平面 AEF 内两条相交直线 EF、AF 都垂直，∴PB  平面 AEF。连结 BE 交 AC 于 G，作 GH∥BP 交 EF 于 H，则 GH  平面 AEF，  GAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角。由  EGC∽  BGA 可知 EG＝ 1 2 GB EG ,  1 3 EB AG ,  2 3 AC  2 3 3 ，由  ECH∽  EBF 可知 GH  1 3 BF  ， 1 3 ∴ sin  GAH  GH AG  3 6 . ∴ AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin 3 6 . 21．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。满分 12 分。解：（I）  ( ) 3 f x  x 2  2 x  1 若 f  x )(  0 ，则 . x   ,1 1 3 )( xf 当 x 变化时， f  ( x ), 的变化情况如下表： x f  )(x )(xf    1,   3    ＋  1 3 0 （－ 1 3 ，1）－ 1 0  1,   ＋极大值极小值所以 )(xf 的极大值是 f (  （II）函数 ( ) f x  3 x  2 x )  5 1 27 3 x a     ，极小值是 (1) a f a  。 1 ( x  2 1) ( x 1)    ，由此可知 x 取足够大的正数 1 a

时，有 ( ) f x  ， x 取足够小的负数时，有 ( ) 0 f x  ，所以曲线 0 y  ( ) f x 与 x 轴至少有一个交点。结合 ( ) f x 的单调性可知：当 ( ) f x 的极大值 5 27 a  ，即 0 a  ,      5 27    时，它的极小值也小于 0，因此曲线 y  ( ) f x 与 x 轴仅有一个交点，它在  1,  上；当 ( ) f x 的极小值 1 0 a   ，即 a    1, 时，它的极大值也大于 0，因此曲线  y  ( ) f x 与 x 轴仅有一个交点，它在    1,   3    上。所以当 a  ,      5 27     1,   时，曲线 y  ( ) f x 与 x 轴仅有一个交点。 22.本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力。满分 14 分。解：如图，由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点 F（0,1），且 PQ  MN，直线 PQ、NM 中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ 的斜率为 k 。又 PQ 过点 F（0,1），故 PQ 方程为 y kx 1  ，将此式代入椭圆方程得 (2  k 2 2 ) x  2 kx 1 0   设 P、Q 两点的坐标分别为 则 ,x y 、  1 1 ,x y ， 2 2  x 1  k   2 2 2 k 2 k   2 ， x 2  k   2 2 2 k 2 k   2 从而 | PQ 2 |  ( x 1  x 2 2 )  ( y 1  y 2 2 )  8(1  (2  2 2 ) k 2 2 ) k ， |  PQ |  2 ) 2 2(1  2 k  2 k （1）当 0 k  时，MN 的斜率为－ 1 k ，同上可推得 | MN |  2 ) ) 2 2(1 (   1 k 2 (   1 k 2 )

故四边形的面积 S  1 | 2 PQ MN  | | |  4(1  k 2 )(1  (2  k 2 )(2  1 2 k 1 2 k ) )  4(2  k 2  5 2  k 2  ) 1 2 k 2 2 k 1 2 k  S  ) 4(2  5 2  u u  2(1  1 5 2  u )  ， 2  2, S  ，且 S 是以u 为自变量的增函数， 16 9 令 u  2 k  ，得因为 2 k u  1 2 k u k   时， 1 当所以 16 9 S  2. （2）当 0 k  时，MN 为椭圆长轴，| MN | 2 2,|  PQ |  ， 2 S  1 | 2 PQ MN  | | | 2  综合（1），（2）知，四边形 PMQN 面积的最大值为 2，最小值为 16 . 9

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