2001 年重庆高考理科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第 II 卷 3 至 9 页。共
150 分。考试时间 120 分钟。
第 I 卷(选择题 60 分)
注意事项:
1. 答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写
在答题卡上。
2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。
3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式:
三角函数的积化和差公式
sin
cos
cos
sin
sin
sin
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
1
2
1
sin
2
1
cos
2
1
2
正棱台、圆台的侧面积公式
c
1
2
S
1
3
lc
台侧
S
其中 c 、 c 分别表示上、下底面周长, l 表示斜高或母线长
台体的体积公式
台体
V
其中 S 、 S 分别表示上、下底面积, h 表示高
SS
hS
一、 选择题:本大题共 12 小题;第每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的
四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
sin
cos
0
,则在
(1) 若
(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限
(2)过点
A
上的圆的方程是
2 y
1,1
、
且圆心在直线
1,1
B
0
x
(A)
x
2
3
y
2
1
4
(B)
x
2
3
y
2
1
4
2
2
x
y
1
(C)
(3)设 na 是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是
(D)
1
1
1
4
4
y
x
2
2
(B)2
(A)1
(4)若定义在区间
(C)4
(D)6
01, 内的函数
xf
log 2
a
x
1
满足
)(
xf
0
,则 a 的取值范围是
1
1
2
,+ ) (D)(0,+ )
(A)(0,
1
2
)
(B)(0,
(5)极坐标方程
2
sin(
o
1
x
1
1 ] (C)(
2
)
4
的图形是
o
x
1
o
x
1
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
(6)函数
y
cos
x
(1
x
)0
的反函数是
(A)
y
arccos(
x
0)(1
x
)2
(B)
y
arccos(
x
0)(1
x
)2
(C)
y
arccos(
x
0)(1
x
)2
(D)
y
arccos(
x
0)(1
x
)2
(7)若椭圆经过原点,且焦点为
,则其离心率为
(A)
3
4
(8)若
0
(A) b
a
(B)
2
3
4
a
(B) b
),0,1(
F
2
F
1
1
2
(C)
(D)
,
sin
a
cos
1ab
(C)
(D)
)0,3(
1
4
sin
2ab
2BB
1
,
cos
b
,则
(9)在正三棱柱
ABC
1 CBA
1
1
中,若
AB
,则 1AB 与 BC1 所成的角的大小为
(A)60°
(B)90°
(C)105°
(D)75°
(10)设
)(
xf 、 都是单调函数,有如下四个命题:
)(
xg
○1 若 )(xf 单调递增, )(xg 单调递增,则
)(
xf
)(
xg
单调递增;
○2 若 )(xf 单调递增, )(xg 单调递减,则
)(
xf
)(
xg
单调递增;
○3 若 )(xf 单调递减, )(xg 单调递增,则
)(
xf
)(
xg
单调递减;
○4 若 )(xf 单调递减, )(xg 单调递减,则
)(
xf
)(
xg
单调递减;
其中,正确的命题是
(A)○1 ○3 (B)○1 ○4 (C) ○2 ○3 (D)○2 ○4
(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:○1 单向倾斜;○2 双向倾斜;○3 四向倾斜.记三种盖法屋顶
面积分别为
PPP 、、
1
3
2
.
2
①
②
③
若屋顶斜面与水平面所成的角都是,则
(A)
P
3
P
2
P
1
(B)
P
3
P
2
P
1
(C)
P
3
P
2
P
1
(D)
P
3
P
2
P
1
(12)如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段网
线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点 A 向结点 B 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传
递。则单位时间内传递的最大信息量为
(A)26 (B)24
(C)20 (D)19
第 II 卷(非选择题 90 分)
注意事项:
1. 第 II 卷共 7 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二.填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横
线上。
(13)若一个椭圆的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,则这个椭圆的侧面积是
(14)双曲线
2
x
9
2
y
16
为
.
1
的两个焦点为
1 FF 、 ,点 P 在双曲线上.若 1PF ⊥ 2PF ,则点 P 到 x 轴的距离
2
(15)设 na 是公比为 q 的等比数列, nS 是它的前 n 项和.若 nS 是等差数列,则 q
(16)圆周上有 2n 个等分点( 1n ),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为
.
.
三、解答题:本大题共 6 小题;共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或
3
演算步骤。
(17)(本小题满分 12 分)
如图,在底面是直角梯形的四棱锥
∠
S
°, SA ⊥面 ABCD ,
SA
90
ABCD
AB
中,
BC
1
,
ABC
1AD
2
.
(Ⅰ)求四棱锥
(Ⅱ)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值.
的体积;
S
ABCD
(18) (本小题满分 12 分)
已知复数
z
1
i
1(
i
)
3
.
(Ⅰ)求
arg z 及 1z ;
1
(Ⅱ)当复数 z 满足
1z ,求
z 的最大值.
1z
(19)(本小题满分 12 分)
设抛物线
2
y
2
(
ppx
)0
的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于
BA、 两点. 点C 在抛物线的准线上,
且 BC ∥x 轴. 证明直线 AC 经过原点O .
(20)(本小题满分 12 分)
已知
,
,
nmi
是正整数,且
1
nmi
.
(Ⅰ)证明
i
i
Pn
m
i
i
Pm
n
;
(Ⅱ)证明
1(
n
m
)
1(
n
)
m
.
(21) (本小题满分 12 分)
从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度
投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少
1
5
旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
1
4
.
. 本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对
(Ⅰ)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 na 万元,旅游业总收入为 nb 万元. 写出
n ba , 的表达式;
n
(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
(22) (本小题满分 14 分)
4
设 )(xf 是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 1x 对称,对任意
xx
1
,
2
1,0[
2
]
,都有
2
(
xf
1
(Ⅰ)求
)
,且
f
)1(
a
0
.
2
(
xf
(
)
xf
1
1(f
4
)
x
1(f
2
)(xf 是周期函数;
及
)
;
)
(Ⅱ)证明
(Ⅲ)记
an
f
2(
n
1
2
n
)
,求
lim
n
(ln
a
n
)
.
参考解答及评分标准
说明:
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生物解法
与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,
可视影响的程度决定部分的给分,但不得超过该部分正确解答得分数的一半;如果后继部分的解答有较严
重的错误,就不再给分.
三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分.
(1)B
(6)A
(2)C
(7)C
(11)D
(12)D
(3)B
(8)A
(4)A
(9)B
(5)C
(10)C
二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分.
(13)2π
(14)
16
5
(15)1
(16)2n (n-1)
三.解答题:
(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算,以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分 12 分.
5
解:(Ⅰ)直角梯形 ABCD的面积是
5.01
2
AD
BC
AB
1
2
M底面
1
3
4
,
……2 分
∴ 四棱锥 S—ABCD的体积是
M底面
V
1
SA
3
1
31
3
4
1 .
4
……4 分
(Ⅱ)延长 BA、CD相交于点 E,连结 SE则 SE是所求二面角的棱.
……6 分
∵ AD∥BC,BC = 2AD,
∴ EA = AB = SA,∴ SE⊥SB,
∵ SA⊥面 ABCD,得 SEB⊥面 EBC,EB是交线,
又 BC⊥EB,∴ BC⊥面 SEB,
故 SB是 CS在面 SEB上的射影,
∴ CS⊥SE,
所以∠BSC是所求二面角的平面角.
……10 分
∵
SB
SA
2 AB
2
2 ,BC =1,BC⊥SB,
∴ tan∠BSC
BC
SB
2
2
.
即所求二面角的正切值为
2
2
.
……12 分
(18)本小题考查复数基本性质和基本运算,以及分析问题和解决问题的能力.满分 12 分.
解:(Ⅰ)z1 = i (1-i) 3 = 2-2i,
将 z1 化为三角形式,得
z
1
22
∴
arg 1
z
cos
7
4
7
4
,
i
sin
7
4
,
1 z
22
.
(Ⅱ)设 z= cos α+i sin α,则
z-z1 = ( cos α-2)+(sin α+2) i,
……6 分
6
z
z
1
2
cos
2
2
sin
2
2
sin249
(
4
),
当 sin(
4
) = 1 时,
2
z
1z
取得最大值
249
.
从而得到
z 的最大值为
1z
122
.
……9 分
……12 分
(19)本小题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.满分 12 分.
证明一:因为抛物线 y2 =2px (p>0)的焦点为 F (
x
my
p
2
;
p
2
,0),所以经过点 F的直线的方程可设为
……4 分
代入抛物线方程得
y2 -2pmy-p2 = 0,
若记 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2 是该方程的两个根,所以
y1y2 = -p2.
……8 分
因为 BC∥x轴,且点 c在准线 x= -
p
2
上,所以点 c的坐标
为(-
p
2
,y2),
故直线 CO的斜率为
k
y
2
p
2
2
p
y
1
y
1
x
1
.
即 k也是直线 OA的斜率,所以直线 AC经过原点 O.
……12 分
证明二:如图,记 x轴与抛物线准线 l的交点为 E,过 A作 AD⊥l,D是垂足.则
AD∥FE∥BC.
连结 AC,与 EF相交于点 N,则
……2 分
EN
AD
NF
BC
CN
AC
AF
AB
BF
AB
,
,
……6 分
根据抛物线的几何性质,
AF
AD
,
BF
BC
,
……8 分
7
∴
EN
AD
BF
AB
AF
BC
AB
NF
,
即点 N是 EF的中点,与抛物线的顶点 O重合,所以直线 AC经过原点 O. ……12 分
(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力.满分 12 分.
(Ⅰ)证明: 对于 1<i≤m有
i
mp = m·…·(m-i+1),
i
p
m
i
m
m
m
1
m
m
…
1
im
m
,
同理
i
n
i
p
n
n
n
n
1
n
…
1
in
n
,
由于 m<n,对整数 k = 1,2…,i-1,有
kn
n
km
m
,
所以
i
n
i
p
n
i
p
m
i
m
,即
i
pm
i
n
i
pn
i
m
.
(Ⅱ)证明由二项式定理有
……4 分
……6 分
n
1
n
m
i
0
i
Cm
i
n
,
1
m
m
n
i
0
由 (Ⅰ)知
i pm > i
i pn
m
i
n
(1<i≤m<n=,
而
C
i
m
i
p
m
!i
,
C
i
n ,
i
p
n
!i
所以,
i
Cm
i
n
i
Cn
i
m
(1<i≤m<n=.
因此,
m
i
2
i
Cm
i
n
m
i
2
i
Cn
i
m
.
i
Cn
i
m
,
……8 分
……10 分
又
0
Cm
0
n
0
Cn
0
m
1
,
mC
1
n
nC
1
m
mn
,
i
Cm i
n
0
im
n
.
∴
n
i
0
i
Cm
i
n
m
i
0
i
Cn
i
m
.
即 (1+m)n>(1+n)m.
……12 分
8