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2018年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷.doc
2018 年云南昆明理工大学高等代数考研真题 A 卷
一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）
1. 多项式
( )
f x
3
x
3
x
1
在有理数域上
可约（填是或不）。
2. 设 A 是 n 阶方阵，且|
| 2A ，则 1
A
*4
A
=
。
3. 设向量组 1
( ,0, ),
a
c
2
( ,
b c
,0),
3
(0,
, )
a b
线性无关，则 ,
,a b c 应满足条件
是
。
4. 设方阵 A 满足 kA O ，则
(
)
E A
1
=
。
5. 若实二次型
(
,
f x x x
3
,
1
2
)
2
x
1
x
2
2
5
2
x
3
2
tx x
1 2
2
x x
1 3
4
x x
2 3
是正定的，则t 的
取值范围是
。
6. 设线性空间
( ),
V L f x
1
( ),
f x
2
( ),
f x
3
( ) ,
f x
4
其中 1( ) 1
f x
x
,
2( ) 1
f x
x
,
f x
3
( ) 1 2 ,
x f x
( ) 1
4
x
3
,
则线性空间V 的基为
，维数是
。
7. 已 知 矩 阵
A
1
3
6
3 3
3
a
6
b
有 特 征 值 1
22,
4,
则 a
，
b
。
8. 已知矩阵
A
y
。
2 0 0
2
2
x
1 1
3
与矩阵
B
1 0 0
0
2 0
0
0
y
相似，则 x
，
9. 已知二维欧氏空间的两组基 1
, 与 1
, ，其中 1
2
,
2
2
1
2
2
1
(
1
,
1
)
2,(
2
,
1
) 1,(
1
,
2
) 1,(
2
,
2
)
则基 1
4,
, 的度量矩阵为
2
,
又
。
10. 设与是 n 维欧几里得空间V 中两个不同的向量，且|
与1的关系为
（填 (
或 (
) 1
,
）。
) 1
,
二、计算题（共 90 分）
1. （15 分）计算 n 阶行列式
|
|
| 1,
则 (
)
,
1
1
0
0
0
2
1
2
0
0
3
0
2
0
0
1
n
0
0
2
n
n
0
0
0
.
n
1 1
n
2. （15 分）当 ,a b 取何值时，下列非齐次线性方程组
x
ax
2
1
x
bx
2
1
2
bx
x
2
1
x
3
x
3
x
3
4
3
4
有解？ 并求其通解。
3. （20 分）求一个正交变换, 将二次型
(
,
f x x x
3
,
1
2
)
T
x Ax
2
x
1
2
2
x
2
2
2
x
3
4
x x
1 2
4
x x
1 3
8
x x
2 3
化成标准二次型。
4. (20 分) 设 1
(
x x x x 是
)T
,
,
,
2
3
4
[ ]P t 中多项式 ( )
t 在基
f
4
f
1
f
3
( )
t
( )
t
3
t
3
t
2
3
t
3
4
4,
t
2
5
3
t
t
2
f
2,
3
( ) 2
t
t
f
5
t
3
( ) 5
t
t
4
2
2
5
t
7
7,
t
8
t
3,
下的坐标， 1
(
y y y y 是 ( )
)T
f
,
,
,
t 在基 1
2
3
4
g t g t g t g t 下的坐标，且
( ),
( ),
( ),
( )
2
3
4
y
1
3
x
1
5 ,
x
2
y
2
x
1
2 ,
x
2
y
3
2
x
3
3 ,
x
4
y
4
5
x
3
8 .
x
4
(1) 求由基 1
g t g t g t g t 到基 1
f
( ),
( ),
( ),
( )
2
3
4
( ),
t
f
2
( ),
t
f
3
( ),
t
f
4
( )
t 的过渡矩阵C ；
(2) 求基 1
g t g t g t g t ；
( ),
( ),
( ),
( )
2
3
4
(3) 求多项式
( )
g t
3
在基 1
1
t
t
t
2
g t g t g t g t 下的坐标。
( ),
( ),
( ),
( )
2
3
4
5. （20 分）已知 2 2P 的子空间
和线性变换
W
x
11
x
21
x
12
x
22
x
11
x
22
0,
x
ij
P
( )
x
T
B x
T
x B
,
x P
2 2
,
B
1 1
0 1
.
（1）求W 的一组基；
（2）证明W 是的不变子空间；
（3）将看成W 上的线性变换，求W 的一组基，使在该基下的矩阵为对角矩阵。
三、证明题 （共 30 分）
1. （15 分）设V 是数域 P 上的 n 维线性空间， 1
是V 的一个基， 1V 是由
2
n
,
,
,
2
1
V
生成的子空间， 2
n
n
n
i
i
k
i
1
i
1
k
i
0,
k
i
P
.
证明：（1） 2V 是V 的子空间；（2）
V V
1
2.
V
2.（15 分） 设 A 是数域 P 上 n 维线性空间V 的线性变换，且 2A
E （单位变换），
证 明 : （ 1 ）
(
A E
)
1
(0)
1
2
(
A E
)
V
； （ 2 ）
V
(
)
A E V
)
A E
(
1
(0).
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