2009年陕西高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2009 年陕西高考文科数学真题及答案第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．设不等式 2 x x  的解集为 M，函数 ( ) f x 0  ln(1 |  x |) 的定义域为 N，则 M N 为（A）（A）[0，1）（B）（0，1）（C）[0，1] （D）（-1，0] 2sin   sin    的值为 cos  2cos 3 4 4)  的反函数为 (C)1 2.若 tan 2 ,则（A）0 (B) 3.函数 ( ) f x  2 x （A） 1  f ( ) x  （C） 1  f ( ) x  4( x  21 x 2 21 x 2   4( x  0) 2( x  0) (B) (D) f f  1 ( ) x   1 ( ) x  21 x 2 21 x 2  4( x  2)  2( x  2) (D) 5 4 (B) (D) 4.过原点且倾斜角为 60 的直线被圆学 2 x  2 y  4 y  所截得的弦长为 0 (D) （A） 3 （B）2 （C） 6 （D）2 3 5.某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 32 人，则该样本中的老年职工人数为 (B) （A）9 （B）18 （C）27 (D) 36 6.若 (1 2 ) x  2009  a 0  a x 1    a 2009 2009 x ( x R  ) ,则（A）2 （B）0 （C） 1 a 1 2  2 2 a 2 (D) 的值为 (C) a 2009 2009 2  2 7.” m n  ”是”方程 2 mx 0 2 ny  表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 1 （C）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D) 既不充分也不必要条件中 ,M 是 BC 的中点， AM=1, 点 P 在 AM 上且满足学 uuur AP uuur PM 2 , 则科网 8. 在 ABC uuur uur uuur ) AP PB PC (   4 9 （A）等于（B） 4 3 （C）  4 3 （A） (D)  4 9

9．从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 (C) (A)432 (B)288 (C) 216 (D)108 10 ．定义在 R 上的偶函数 ( ) f x 满足：对任意的 1 , x x 2   [0, )( x 1  x 2 ) ，有 ) ( f x 2 x 2   ( f x 1 x 1 )  0 .则 (A) (A) (3) f  f ( 2)   f (1) (B) f (1)  f ( 2)   f (3) (C) f ( 2)   f (1)  f (3) (D) f (3)  f (1)  f ( 2)  11．若正方体的棱长为 2 ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 (B) (A) 2 6 (B) 2 3 (C) 3 3 (D) 2 3 12．设曲线 y  x n 1  ( n N  * ) 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 nx ,则 1 x x  2 K x n 的值为 (B) (A) 1 n (B) 1 1n  (C) n n  1 (D) 1 2009 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修  选修Ⅰ）(陕西卷) 第Ⅱ卷二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分). 13 ．设等差数列  na 的前 n 项和为 ns , 若 6 a s 3  12 , 则数列的通项公式 na  2n . 14．设 x，y 满足约束条件值是 11 1 x y        1 x y   2 2    x y ，目标函数 z   的最小值是 1 x 2 y ，最大 15．如图球 O 的半径为 2，圆 1O 是一小圆， 1 O O  ，A、B 是圆 2 A O1 O B

1O 上两点，若  1AO B =  2 ，则 A,B 两点间的球面距离为 2  3 16．某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26，15，13，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有 8 人。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分） 17．（本小题满分 12 分） x R  （其中 A  0,   0,0   ）的周期为，且   2 已知函数 ( ) f x  A 图象上一个最低点为 x  sin( ),   2(  3 , 2)  . M （Ⅰ）求 ( ) f x 的解析式；（Ⅱ）当 [0,  x f x 的最值. 解：（Ⅰ）由最低点为 2sin( )    即 2 sin( 4  3 )  1   4  3 11  6 ( ) f x   ， k Z  , 2sin(2 x   ) 6 得 2  12 M ] A ，求 ( ) 2(  , 2)  3 2 2   T  , 2)  在图像上得   2 T  由    得 2(  3    由点 M 4  3  又 (0,  2   ，  ) 2 ], 2    x  6 [    2 k 即     2 k  12 , 即时，取得最小值；    ] 6 6 3 ( ) f x 0 1  x , 时，取得最大值 3 ( ) f x （Ⅱ） Q x  [0,  当2x+    6 6 ,  即当2x+   6 3  12 18．（本小题满分 12 分）  x 椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 0,1,2 的概率分别为 0.4,0.5,0.1 (Ⅰ) 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过 1 次的概率；（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率。

解答一（Ⅰ）设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为 0”事件 B 表示“一个月内被投诉的次数为 1”  ( P A B  )  ( ) P A  ( P B ) 0.4 0.5 0.9    Ⅱ设事件 iA 表示“第i 个月被投诉的次数为 0”事件 iB 表示“第i 个月被投诉的次数为 1” 事件 iC 表示“第i 个月被投诉的次数为 2”事件 D 表示“两个月内被投诉 2 次”  ( P A i ) 0.4,  ( P B i ) 0.5,  ( P C i ) 0.1( i   1,2) ( P AC Q 两个月中，一个月被投诉 2 次，另一个月被投诉 0 次的概率为 1 2 A C 1 2 ) ( P B B 一、二月份均被投诉 1 次的概率为 1 2 )  ( P D P AC 1  ) (  A C 2 1 )  ( P B B 1 2 )  ( P AC 1 2 )  ( P A C 2 1 )  ( P B B 1 2 ) 2 由事件的独立性的 ( p D  ) 0.4 0.1 0.1 0.4 0.5 0.5 0.33       解答二（Ⅰ）设事件 A 表示“一个月内被投诉 2 次” 设事件 B 表示“一个月内被投诉的次数不超过 1 次” Q ( p A ) 0.1,   ( P B ) 1   (Ⅱ)同解答一。 19．(本小题满分 12 分) ( P A ) 1 0.1 0.9    如图，直三棱柱 ABC A B C 1 1 1  中， AB=1， AC AA 1  ，∠ABC=60 0 . 3 (Ⅰ)证明： AB AC 1 ；（Ⅱ）求二面角 A— 1AC —B 的大小。解答一（ Ⅰ ）证 ABC A B C 为直三棱柱， 1 1 1  A1 A B1 B C1 C Q证三棱柱 , AB AA   1 ABC  中，在由正弦定理得 0 90 BAC   AB   平面 3,  ABC  0 60 0 1,  ACB AB  ，即 ACC A 1 AC  30  AB AC  , AC  又 1 平面 ACC A 1   ， AB AC 1

1  由三垂线定理知  为二面角 ABD AD AC AC D 交于点，连结 BD AC 1 A AC B  1 A A AC 1 的平面角 3 1   BD 3 Rt AAC 1  中， AD  ,  6 2 g AC 1  g 6 （Ⅱ）解，作在在 Rt BAD  中，tan ABD  AB AD  6 3  ADB arc  tan 6 3 cos  , m n  m n g m n g  3 1 1 0 1 0      2 2 0 1    2 1 2 1 g 2 （） 3   2 0 15 5  二面角A-A C-B的大小为arccos 1 15 5 20．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) f x  3 x  3 ax  1, a  0   求 ( ) f x 的单调区间；   若 ( ) f x 在 x   处取得极值，直线 y=m 与 1 y  ( ) f x 的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围。

解：（1） ' f x ( ) 3  2 x  3 a  2 3( x  a ), 当 0 a  时，对 x R ，有 '( ) 0, f x  当 0 a  时， ( ) f x 的单调增区间为 (   , ) 当 0 a  时，由 '( ) 0 f x  解得 x   或 x a a ；由 '( ) 0 f x  解得 a    ， a x  当 a  时， ( ) f x 的单调增区间为 ( 0   , a ),( a , (  a , a ) 。（2） ( ) f x 在 x   处取得极大值， 1  ； ( ) f x 的单调减区间为 ) '      ( 1) 3 ( 1) f 2  3 a    0, a 1.  ( ) f x  3 x  3 x  1, ' f x ( ) 3  2 x  3, 由 '( ) 0 f x  解得 1 x   21, x  。 1 由（1）中 ( ) f x 的单调性可知， ( ) f x 在 x   处取得极大值 ( 1) 1 f   ， 1 在 1x  处取得极小值 (1) f   。 3  直线 y m 与函数 y  ( ) f x 的图象有三个不同的交点，又 ( 3) f    19   ， 3 f (3) 17 1  ，  结合 ( ) f x 的单调性可知， m 的取值范围是 ( 3,1)  。 21．（本小题满分 12 分）已知数列 }na 满足，   令 b n a  1 n n  21 a a ＝ 1 a  1 n 2  ，证明：{ }nb 是等比数列； a ＝ 2, n ＋2 a a ’ n , n N  * . (Ⅱ)求 }na 的通项公式。 b （1）证 1  a 2  a 1  1, 当 2 n  时， b n  a n 1   a n  a n a n  1  2  a n   1 2 ( a n  a n 1  )   1 2 b n 1, 

 nb 是以 1 为首项，  为公比的等比数列。 1 2 a  1 n （2）解由（1）知 b n  a n 当 2 n  时， a  a 1  ( a 2  a 1 ) n  n 1  , ) 1(   2 a  ( a 3 (   )    ( a n  a  1 n ) n 2 ) 2 1 2 ) )  1 n 1   1 (   1 1 (     1 2 1 ) 2 1 1 (   2 1 2 [1 ( 1     2 3 1( 2 5 1 n    3 2 3 1( 1 1 )    。  2 ( n N  a 1 。 1 n 1  n 2 * ) ) , ) ] 当 1n  时， 2 3    5 3 na 2 5  3 3 1( )  2 22．（本小题满分 12 分）已知双曲线 C 的方程为 2 2 y a  2 2 x b  1( a  0, b  ，离心率 0) e  ，顶点到渐近线的距离为 5 2 2 5 5 。（I）求双曲线 C 的方程； (II)如图，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若  AP   PB   , [ 1 3 ,2] ，求 AOB  面积的取值范围。解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线 C 的顶点（0，a）到渐近线 ax by  的距离为 0 2 5 5 ，  ab 2  a 2 b  2 5 5 即 ab c  2 5 5

由 2 5 5 5 2 2 a  b   ab  c   c    a   2 c    2 1   a  b     c 5 得 2  双曲线C的方程为 2y 4  2 x  1 （Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y   2 x  （ ,2 ), 设 ( A m m B n n m uuur AP ,2 ), uur PB P  由  得点的坐标为（  0, n  0 m- n 2(m+ n) ), 1+     1+ , 将 P 点的坐标代入 2 y 4  2 x  化简得mn= 1, (1 2 )   4  )    2, tan   1 2 ,sin 2   4 5   2 5 n OA OB     2 mn  1 2 (   1  ) 1  sin 2 1 3 [ ) 1,    ,2] 设  AOB  2 ,  Q tan(     记又 AOB OA S  ( ) S  5 , m OB 1 2 1 1 (   2  1 1 2 2  由 ( ) 0 1  得 1 ( ) 3 AOB  当时，又 S（1）=2，  ( ) S   S   (1 则 1    S )   1 3  , S  9 4 (2) 8 3 的面积取得最小值， 2 8 3 当    时， AOB 的面积取得最大值  AOB 8 面积的取值范围是[2, 3 ] 解答二（Ⅰ）由题意知，双曲线 C 的顶点（0，a）到渐近线 ax by  的距离为 0 2 5 5 ，

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