《矩阵论基础》各章内容总结的笔记.pdf-资料库

第一章线性空间上的线性算子 §1 线性空间 1.1 线性空间的定义及基本性质一、数环与数域定义 1-1 设 Z 为非空数集且其中任何两个相同或互异的数之和、差与积仍属于 Z （即数集关于加、减、乘法运算封闭），则说 Z 是一个数环．根据数环的定义有： 1° 只含一个 0 的数集 Z = 显然是个数环，而且是最小的数环； {0} 2° 任何数环 Z 必含有 0．因为若 a Z∈ ，则 a − = ∈ ； 0 Z a a Z − = − ∈ ． 3° 若 a Z∈ ，则 a Z− ∈ ．因为 0 a 定义 1-2 如果 P 是至少含有两个互异数的数环，并且其中任何两个数 a 与b 之商（仍属于 P （换言之，数集关于四则运算都封闭），则说 P 是一个数域．根据数域的定义有： b ≠ ） 0 = ∈ ； P 1 1° 任何数域 P 中必含有 0 与 1，因为 P 中至少有一个数 a ≠ ，而 / a a 0 2° 若 a ≠ ，则 0 1/ a a −= 1 ∈ ． P ★ 全体整数（包括 0）组成一个数域；全体有理数组成一个数域，叫做有理数域，记为Q ；全体实数组成一个数域，叫做实数域，记为 R ；全体复数组成一个数域，叫做复数域，记为C ．二、线性空间定义 1-3 设V 是一个非空集合★， P 是一个数域．如果V 满足如下两个条件： y V 1．在V 中定义一个封闭的加法运算，即当 ,x y V∈ 时，有唯一的和 x + ∈ ，并且加法运算满足四条性质： y x (1) x y + = + （交换律）； ★ 前提条件，证明时不可缺． 1

x (2) y ( z ) + + = + + x ( y ) z （结合律）； (3) 存在零元素 0 V∈ ，对于V 中任何一个元素 x 都有 0 x + = (4) 存在负元素，即对任一元素 x V∈ 的负元素，记为 x− ，于是有 ( x x+ − = ) 0 ．，存在一元素 y V∈ ，使 x x *； y+ = 0 ，且称 y 为 x 2．在V 中定义一个封闭的数乘运算（数与元素的乘法），即当 x V∈ ， λ P∈ 时，有唯一的 λx V∈ (5) ( λ + λ x ( ，且数乘运算满足四条性质： μ x ) y （分配律）； μx λy = + ) （数因子分配律）； λx λx λμ x ) ( ) (7) (6) + = + λ μx ( = (8) 1 x x ⋅ = x y z , ．（结合律）；表示V 中任意元素； ,λ μ 是数域 P 中任意数；1 是数域 P 中的单位数．其中 , 这时，我们说V 是数域 P 上的线性空间． ★ 不是线性空间的例子： ① 次数等于 ( 1) n n ≥ 的多项式的集合，关于通常的多项式加法与数乘运算是不能构成线性 f x 空间的．举例： ( ) n = + x x g x , ( ) f x = − + ，则 ( ) 1 x n + g x ( ) = + 不属于原来集合； 1 x ② 平面上全体向量组成的集合，对于通常意义下的向量加法和如下定义的数乘 0 虽 k α⋅ = 然对两种运算都封闭，但不满足运算规律（8）．例：设数域为 R ，集合为 α α { = = ), V ξ ( ξ ξ , 1 2 i ∈ R } ．对于 α = ( ξ ξ , 1 2 ), β = ( η η , 1 2 ) 及 + = + ( ξ 1 η ξ , 1 2 + η 2 ) 数乘运算 k α = ( kξ ξ , 1 2 ) k R∈ ，指定两种线性运算如下：（1）加法运算（2）加法运算 α α β β α ⊕ = + ( ξ 1 η ξ , 1 2 ξ η 1 1 ) η 2 + + 1 2 k k ( − 1) ξ 2 1 ) 数乘运算 + 分别判断V 是否构成 R 上的线性空间． kξ kξ = k ( , 1 2 * 确定线性空间中零元素的方法：设 y V∈ x 满足 0( x + = ∀ ∈ y x ) y = 0 ．，则 2

α = (1,1) k α l α + 解：在运算方式（1）之下，考虑 ∈ V 及 ,k l R∈ ． ∵ ( k + l ) ∴ + k ( l ) α α ( k = + k α ≠ l ,1) = k ( ,1) + ，即元素对数乘运算的分配律不成立，故V 不能构成 R 上的线 l α l ( ,1) = + k ( l ,2) + 性空间．在运算方式（ 2 ）之下，显然 α β V k , ⊕ ∈ α V ∈ ，及线性运算封闭．再设 γ = ① ，则有 2 , ) ) V l R ∈ β t t ( , ∈ 1 γ α ξ ξ ( , ( ⊕ ⊕ = 1 η ξ t ξ ( ), ( = + + 1 1 1 2 η ξ t ξ ,( ) (( = + + 1 1 1 2 η ξ η ξ , ( = + + + 1 2 1 η ξ ξ β α , 1 1 ⊕ = + ( 2 2 ③ 对于任意的 α V∈ ② ； η 1 t 2 + η t t η ) ) ( , ⊕ + + + 2 1 1 2 1 t t η ξ η η t ) ( )) ( + + + + 1 2 2 1 1 1 1 t η t ξ η ξ η ) ) ) ( + + + + + 1 2 1 1 2 1 1 β ξ η γ t t ) ) ( , ) = ⊕ ⊕ ⊕ 1 1 1 ξ η η 1 1 2 ，由 α ) = + β + + ⊕ = ξ 可得 1 ξ η , 1 2 η 1 α α + ξ ( ( ( 2 2 ξ + = ， 2 + + η 2 ξ η 1 1 η = ，解之得 1 ξ 2 η= 20, ξ 1 α η 1 0 ξ 1 α ⊕ = ； + + β = ⊕ α ； η ξ 1 1 ) 2 η 2 η ξ , 1 + + ξ η 1 1 = ，于是得 0 0 ) = ( ξ ξ , 1 2 ) ，即 = (0,0) ，满足 ④ 对于任意的 α V∈ α β⊕ = 0 ，由 ξ 可得 1 ( + η ξ , 1 2 + + η 2 ) = (0,0) ，即 ξ 1 η+ = ， 2 ξ 0 ξ η 1 1 = ，解之得 0 η 1 = − ξ η , 1 2 = − ，于是 ξ ξ 2 1 2 − = − ( ξ ξ , 2 1 1 ξ η 1 1 α 1 α 满足 ( η 2 + + 0 ； β ) ) α⊕ − = α ∵ k ( ⑤ + = k ( ξ 1 + = k ξ ( ( 1 + η k ξ ), ( 1 2 + + η 2 2 η ξ , 1 ξ η 1 1 ) + + η 2 1 k k ( 2 + ξ η 1 1 ) − 1)( ξ 1 + η 1 ) ) 2 ， α k ⊕ k β = ( = ( kξ 1 + kη kξ , 1 + 2 = k ξ ( ( 1 + η k ξ ), ( 1 2 1 1 2 k k ( − = k ξ ( ( 1 + η k ξ ), ( 1 2 + + η 2 1 2 ξ 1) 2 1 1 2 ξ η 1 1 kξ kξ , + 2 k k ( − 1) ξ 2 1 ) ⊕ ( kη kη 2 , 1 + k k ( − 1) η 2 1 ) + kη 2 + 1 2 k k ( − 1) η 2 1 + )( kη 1 )) 1 2 kξ ( 1 + + η 2 ) k k ( − 1)( ξ 2 1 + + η 2 1 ) k ξ η 2 1 1 ) ) + 1 2 k k ( − 1)( ξ 1 + η 1 ) ) 2 β + = ) α ⊕ k β ； k ∴ k ( α − ξ ) 2 3

⑥ ∵ ( k + l ) α = + (( k l ξ ) 1 ,( k + l ξ ) 2 + 1 2 ( k + l k )( + − l 1) ξ 2 1 ) ， α k α = ( ⊕ l kξ kξ , + 2 k k ( − 1) ξ 2 1 ) ⊕ lξ lξ ( , 1 + 2 − 1) ξ 2 1 ) = ( kξ 1 + lξ kξ , 1 2 + k k ( − + + lξ 2 1 2 l l ( − 1) ξ 2 1 + lξ )( 1 )) l l ( 1 2 kξ ( 1 1 2 ξ 1) 2 1 1 1 2 l ξ ) + 2 1 2 = + (( k l ξ ) 1 ,( k + ( k + l k )( + − l 1) ξ 2 1 ) ∴ + k ( l ) ⑦ ∵ kl ( ) α α α l ⊕ α ； = k = (( kl ξ ) 1 ,( kl ξ ) 2 + 1 2 ( kl kl )( − 1) ξ 2 1 ) ， k l ( α ) = k lξ lξ ( , 1 + 2 1 2 l l ( − 1) ξ 2 1 ) = ( klξ klξ , 1 + 2 1 2 kl l ( − 1) ξ 2 1 + 1 2 k k ( − 1)( lξ 1 ) ) 2 = (( kl ξ ) 1 ,( kl ξ ) 2 + 1 2 ( kl kl )( − 1) ξ 2 1 ) ∴ ( kl ) α = k α ) l ( α 1 (1 ⑧ ( = × × + × × − × = 故在运算方式（2）下V 构成 R 上的线性空间*． 1 (1 1) ,1 ξ 2 1 ξ 1 ξ ) 2 1 2 ξ ξ , 1 2 ) = α 三、线性空间的基本性质性质 1 线性空间的零元素是唯一的．性质 2 任一元素的负元素是唯一的． V 性质 3 设 ,0, 1,1 0 x − ∈ ， , λx = x ,0 − ∈ x = λ = 或 4、若，则 P 0 λ ，则 1、0 x = 0 ；2、( 1)x − = − x λ = ；3、 0 0 ； 0 ．证明： ∵ ∵ x x x x x 1 x (1 0) 0 + = + = + x 0 x 1 ( 1) ( 1) + − = + − = + − 假设 λ ≠ 且 0 x ≠ 0 ，那么 x x = 0 不能同时成立． x x x 0 = ， 0 ∴ = x x [1 ( 1)] 1 1 λ λ = = x x 1 ； 0 λx = 0 λ ( ) ( = = x ；， ( 1)x ∴ − = − 0 ) = ，与假设矛盾，故 λ ≠ 与 0 * 对于一个具体的线性空间，如果指定的线性运算方式不是通常的，那么，相应的零元素和负元素可能与通常的形式不同；另外，线性空间的定义离不开数域，对不同的数域，同一个集合能构成线性空间，也可能构不成线性空间．如：复数集合 C 既是复数域 C 上的线性空间（记为 VC），又是实数域 R 上的线性空间（记为 VR），（1，i）在 VC 中线性相关，在 VR 中线性无关． 4

定义 1-4 只含一个元素的线性空间叫做零空间，显然，这个元素便是零元．四、线性空间的基、维数与坐标 ★ 根据线性空间的定义，有限个向量组成的集合，总不能满足加法及数乘运算的封闭性，所以除只由一个零向量构成的零空间{0} 外，一般线性空间都有无穷多个向量． ≥ ）为线性空间V 中一组向量， 1 1 +⋅⋅⋅+ k x r r x x , 2 称为向量 1 x r , , ⋅⋅⋅ r 2 , , k k k , ⋅⋅⋅ 是数域 P 中的数，那么的一个线性组合，有时也说向量 x x x , 2 k x 1 1 如果 1 x = 向量 , , ⋅⋅⋅ x r ( r k x + 2 2 x x , 2 x r = , , ⋅⋅⋅ k x r r 可用向量 1 k x 1 1 k x 2 2 + +⋅⋅⋅+ 线性表示．如果 1 0 ，则称向量组 1 x x , 2 x r , ⋅⋅⋅ , k k , , 2 ⋅⋅⋅ 不全为零，且使 , k r 线性相关，否则就称其线性无关．换 x x , 2 线性无关． x r , ⋅⋅⋅ , k k 句话说，只有在 1 x x , 2 显然，如果 1 , = =⋅⋅⋅ = = 时才成立，称 1 2 r 0 k x r 中有一为零元，则这 r 个元素必然是线性相关的*． , ⋅⋅⋅ 根据定义， nR 中的两个向量组 2 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ (1,0, (0,1, ε ,0) ⎧ = ⎪⎪⎪⎪ = 1 ε ,0) ⎪⎪⎨⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪⎪ = εn ,1) ⎪⎪⎩ (0,0, ⋅⋅⋅ 及 ,1,1) (1,1, ⋅⋅⋅ (0,1, ,1,1) ⋅⋅⋅ ⎧⎪ = ε ' ⎪⎪⎪ = 1 ε ' ⎪⎪⎨⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 ⎪⎪⎪⎪ = εn ' (0,0, ⋅⋅⋅ ,0,1) ⎪⎩ 都是线性无关的．例：讨论 2 2R × 的矩阵组 1 A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ a 1 ⎤ ⎥ ⎥ 1 1 ⎦ , A 2 = a 1 ⎡ ⎢ ⎢ 1 1 ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , A 3 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ a 1 ⎦ , A 4 = 1 1 ⎡ ⎢ ⎢ a 1 ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 的线性相关性．解：设有一组数 1 k k k k , , , 2 3 R∈ ，使得 1 1 k A + k A 2 2 + k A 3 3 + 4 k A O 4 = ，即得 4 ，该齐次线性方程组的系数行列式为 4 3 2 2 4 3 2 4 3 2 ak k k k 0 ⎧ + + + = ⎪⎪⎪⎪ + 1 k k ak k 0 + + = ⎪⎪⎨⎪ + + 1 k ak k k 0 + = ⎪⎪⎪ + + + 1 ak k k k 0 = ⎪⎪⎩ 4 1 3 a a 1 1 1 3 1 1 1 + a a a 1 3 1 1 1 1 + a a a 1 1 1 1 3 1 + a a a 1 1 1 1 1 3 + 3)( = + − 1) = a a ( 3 = + a ( 3) 1 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 = + a ( 3) 1 0 0 0 a 1 1 − 0 0 1 0 − 0 1 a 1 0 0 − 1 a k * 可假设 i = ≤ ≤ ⇒ ∃ ≠ 0(1 x i ), n i 0 满足条件． 5

根据克拉默法则，当 a ≠ − 且 1 a ≠ 时，齐次线性方程组只有零解，从而 1 A A A A 4 3 , , , 2 3 线性无关；当 a = − 或 1 a = 时，齐次线性方程组有非零解，从而 1 3 A A A A 线性相关． , , , 2 3 4 例：讨论 3[ ]P t 的多项式组 f 1 f f 2 3 t ( ) t ( ) t ( ) 2 t t = + + + 2 = + + + = + + + t at t a 1 1 t t 2 2 3 3 3 t t 的线性相关性．解：取 3[ ]P t 的简单基 t t 1, , 2 , t ， ( )( 3 t if i = 1,2,3) β 在该基下的坐标依次为 1 β ， 2 ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ a 1 1 1 ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ 1 a 1 1 ， β 3 ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ 1 1 2 1 ∵ ， A ∴ 当 a ≠ 时 1 A a 1 1 ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 1 1 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 1 ⎝ ⎠ 1 0 0 ⎞⎟ ⎟ ⎟ 0 1 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 0 1 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ∼ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 1 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ a 1 1 ⎠ ∼ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a 1 0 0 − 1 a 1 − 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 1 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎠ ∼ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a 1 0 0 − 1 1 0 − 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎠ a ，， ( R A = ，从而 1 f 3 ) t ( ), f 2 t ( ), f 3 t 线性无关；当 ( ) a = 时 1 R A = ，从而 1 f ( 2 ) t ( ), f 2 t ( ), f 3 t 线性相关． ( ) 例：设V 是数域 R 上所有实函数构成的线性空间，讨论V 中元素组 t e e 的线性相关性． , ,t 2 t 解：设一组数 1 k k k , , 2 R∈ 使得 k t 1 + t k e 2 + 2 t k e 3 3 = ，该式两端对t 求一阶和二阶导数， 0 联立后得到，该齐次线性方程组的系数行列式为 0 = 0 = e k e k t t 2 + 2 3 e k e k 2 t t 2 + 3 2 e k 0 4 t 2 = + 3 ⎧⎪ + tk ⎪⎪⎪ + 1 k ⎨⎪⎪⎪ 1 e k t ⎪⎩ t 2 t 1 = − t − 3 2 t 1 0 t t t e e e 2 e e 2 e 4 2 t 2 t t t e 0 0 t t = 3 t e t (2 − 3) ，当 2 2 e e e 3 2 t t = 时，方程组有非零解，即 3 2 t e e , ,t 2 t 线性无关，当 t ≠ 时，方程组只有零解，即 t e e 线性相关． , ,t 2 t 命题 1-1 r ≥ 时，V 中的向量组 1 2 x x , 2 x r , , ⋅⋅⋅ 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由向量组中其余向量线性表示；而线性无关的充要条件则是其中每一个向量都不能由向 6

量组中其余向量线性表示．命题 1-2 若V 中向量组的子向量线性相关，则该向量组也线性相关．命题 1-3 若V 中某向量组线性无关，则其任一子向量组也线性无关．定义 1-5 设V 是数域 P 上的线性空间， 1 如果它满足： x x , 2 线性无关； x x , 2 （1） 1 x n x n , ⋅⋅⋅ , ⋅⋅⋅ , , （ 1 n ≥ ）是属于V 的任意 n 个向量，（2）V 中任一向量 x （或基底），并称 1 x x , 2 , , ⋅⋅⋅ 均可由 1 x n 为基向量． x x , 2 x n , , ⋅⋅⋅ 来线性表示，则称 1 x x , 2 x n , , ⋅⋅⋅ 是V 的一组基线性空间V 的基向量所含向量的个数 n ，称为线性空间V 的维数，记为 dimV n= ，并称V 为 n 维线性空间，可简记为 nV ．★ 维数实际上就是V 中线性无关向量组中向量的最大个数；而基只不过是V 中的最大线性无关组而已．一个线性空间的基不是唯一的，线性空间里不同基所含向量的个数是相等的，即线性空间的维数是确定的．例：求实数域上全体 n 阶实对称矩阵构成的线性空间 n nS × 的基与维数．解：选取 n nS × 中的一组矩阵： F ii = E i ( ii = 1,2, 设 A = ( a ) ij n n × ∈ S × n n a ，则有 ij a= ，从而 ji E ij E i ( F ⋅⋅⋅ ， ij = + n j i , ) , , < = ∑ ．有一组数 a F ij ij A ji j = 1,2, ⋅⋅⋅ n , ) ijk i ( ≤ j i , , j = 1,2, ⋅⋅⋅ 使得 n , ) =∑ k F ij ij i ≤ j O ，即有 i j ≤ k ⎛ ⎜ 11 ⎜ ⎜ k ⎜ ⎜ 12 ⎜ ⎜ ⋅⋅⋅ ⎜ ⎜ ⎜ k ⎜ ⎝ n 1 k 12 k 22 ⋅⋅⋅ k 2 n ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ k ⎞ ⎟ n 1 ⎟ ⎟ k ⎟ ⎟ n 2 ⎟ = ⎟ ⎟ ⋅⋅⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ k ⎠ nn O ，则必有 ijk = ≤ i 0( j i , , j = 1,2, n , ) ⋅⋅⋅ ，从而矩阵组 11 F F 12 , , , ⋅⋅⋅ F F F n 1 23 22 , , , ⋅⋅⋅ 线性无关．由 , F nn 定义可知，该矩阵组是 n nS × 的一个基，且 dim S n n × = + − +⋅⋅⋅+ + = 2 1 1) n n ( 1) ． n n ( + 2 例：全体 m n× 阶实矩阵的集合构成一个实线性空间（对于矩阵加法和数对矩阵的数乘运算），求其维数．解：一个直接的方法就是找一个最大线性无关组，其元素尽可能简单．令 ijE 为这样的一个 m n× 阶矩阵，其 ( , ) i j 位元素为 1，其余元素为零． x , ⋅⋅⋅ ★ 通常求维数的方法：若 1 n 线性相关，则求它的一个最大无关组． x x , 2 , x x , 2 线性无关， 1 x n , , ⋅⋅⋅ 即为一组基，维数 n；若若 1 x x , 2 x n , , ⋅⋅⋅ 7

显然，这样的矩阵共有 mn 个，构成一个具有 mn 个元素的线性无关元素组 , ．另一方面，还需说明元素个数最 ; E E E 1 21 E E m m 1 E mn E 2 } ; ; , , , , , E E 11 12 n n 2 { 大．对于任意的 A = ( 22 a )ij m n × ，都可由以上元素组线性表示， A = ∑ a E ij ij i j , 即{ ijE i = 1,2, , ⋅⋅⋅ m j ; = 1,2, ⋅⋅⋅ 构成了最大线性无关元素组，所以该空间的维数为 mn ． n , } 定理 1-1 设 1 x x , 1 2 x n , ⋅⋅⋅ , 线性表示． x x , 2 x n , , ⋅⋅⋅ 是 nV 的一组基，对于任何向量 x V∈ n ，则它可唯一地用定义 1-6 设 1 x x , 2 , , ⋅⋅⋅ 是线性空间 nV 的一组基，对于任一向量 x V∈ n ，总有且仅有一 x x 1 1 x x + 2 2 X = ( x x n n +⋅⋅⋅ x x , 1 2 , , ⋅⋅⋅ ， 1 x x , , 2 X 或 x )n ⋅⋅⋅ 这组有序数就称为向量 x , x n 在 = ( x x , 1 2 , , ⋅⋅⋅ x n )T ． x n x = 组有序数 1 , ⋅⋅⋅ 使 x n , x x , 2 x n x x , 2 基 1 , , ⋅⋅⋅ 下的坐标，并记作同一向量 x 在不同的基（或称坐标系）下的坐标往往不同．例如：在线性空间 [ ]nP x 中，多项式 f x ( ) = + + a x 1 a 0 2 a x 2 +⋅⋅⋅ a x n n 在基 1, 2 x x , , ⋅⋅⋅ 下的坐标就是它的系数构成的 , n x 行向量 0 ( a a , 1 , a⋅⋅⋅ , )n ．在另一组基 1,( x − a ),( x − a ) , 2 ⋅⋅⋅ − ,( x a )n 下的坐标为 ( f a f a ( ), ( ), ' f a ( ) '' 2! , , ⋅⋅⋅ f n ( ) n a ( ) ! ) ∵ （ f x ( ) = f a ( ) + f a x ( )( ' − + a ) − 2 a ) f a x ( )( '' 2! +⋅⋅⋅+ f n ( ) n a ( ) ! ( x − n a ) ）五、基变换与坐标变换 e e 2, 设 1 e , n e e 2, 及 ' ' 1 , ⋅⋅⋅ C 中矩阵 c ⎡ ⎢ 11 ⎢ c ⎢ 21 = ⎢ ⋅⋅⋅ ⎢ ⎢ c ⎣ n 1 e e 2, 阵．由于 ' ' 1 x V∈ n 设 c 12 c 22 ⋅⋅⋅ c n 2 e , n ' ，且 x ⋅⋅⋅ , 是 nV 中的两组基，且 ' e e ( , ' 1 2 , , ⋅⋅⋅ e ' n e e , 1 2 , , ⋅⋅⋅ e C ) n ) = ( *，其，称为由旧基 1 e e 2, e , n ⋅⋅⋅ , e e 2, 变到新基 ' ' 1 , e , n ' ⋅⋅⋅ 的过渡矩 , ⋅⋅⋅ n e , n ' c ⎤ ⎥ 1 ⎥ c ⎥ n 2 ⎥ ⋅⋅⋅ ⎥ ⎥ c ⎦ nn ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 线性无关，故过渡矩阵C 可逆，即 1C− 存在．在两组基下的坐标分别为 α = ( x x , 1 2 , , ⋅⋅⋅ x n )T 及 β = ( x x , ' ' 1 2 , , ⋅⋅⋅ x ' n )T ， * 注意矩阵C 的位置以及哪个是旧基，哪个是新基． 8

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