GM(1,1)灰色模型在建筑物沉降预测中的应用 http://www.paper.edu.cn 麻超 河海大学土木工程学院，南京 (210098) E-mail：machao2902@yahoo.com.cn 摘 要：本文详细介绍了 GM(1,1) 灰色理论模型，并利用该模型对一泵站的沉降进行了预 测，同时将预测结果与回归模型进行了对比，最后从分析结果可知 GM(1,1)灰色模型能较好 地预测该建筑物的沉降发展趋势。 关键词：GM(1,1)模型；灰色理论；回归模型；沉降预测 众所周知，建筑物在其施工过程中以及竣工后，由于受到诸如基础变形、上部荷重、工 程地质条件及外界扰动等多因素影响，会产生沉降、倾斜、甚至倒塌。因此对于正在施工中 或竣工后的建筑物进行变形观测，并及时、准确地通过观测数据了解和预测建筑物的变形情 况显得尤为重要。目前建筑物沉降预测方法一般有：回归分析法、德尔菲法、最小方差预测 法、马尔柯夫预测法、趋势外推法等，但这些方法均属统计型方法，要想达到一定的精度， 就必须依赖大量的原始观测数据[1]。为克服上述缺陷，本文在一泵站现有沉降观测数据的基 础上，利用 GM(1,1)模型对该建筑物进行沉降建模预测，同时其结果与回归模型的结果进行 了对比分析，最后得出了一些参考性的结论。 1 灰色理论 灰色理论[2]是我国著名学者邓聚龙教授 1982 年创立的一门横断学科，它以“部分信息已 知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定系统作为研究对象，主要通过对部分已知 的信息开发、提取出有价值的信息，实现对系统运行规律的正确描述和有效控制。 1.1 GM(1,1)模型 设非负离散数列为 (0) x = { x (0) (1), x (0) (2),..., x (0) n ( )} ，n 为序列长度（此序列一般取等 时距序列，当原始数据为非等时距序列，则可采用线性差值的方法来处理，从而保证模型有 较高的滤波精度），对 (0)x 进行一次累加生成（1-AGO），即可得到一个生成序列： x { (1), (1) 对此生成序列建立一阶微分方程: x (1) = x (1) (2),..., x n (1) ( )} (1) dx (1) dt + ⊗ ax (1) = ⊗ ，记为 GM(1,1)。 u a u 式中， a⊗ 和 u⊗ 是灰参数，其白化值（灰区间中的一个可能的值）为 [ , ]T 小二乘法求解，得： = ∧ a 。利用最 ∧ a = a u [ , ]T = ( B B B y T 1 − ) T (2) N - 1 - 

其中， B = − − 1 ( 2 1 ( 2 (1) x (2) + x (1) (1)) (1) x (3) + x (1) (2)) ... − 1 ( 2 (1) x ( n ) + x (1) ( n − 1)) ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 ... 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ， y N = x x x ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∧ 求出 a 后代入微分方程，得： http://www.paper.edu.cn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (0) (0) (2) (3) ... n ( ) (0) ∧ x (1) ( k + 1) = ( x (0) (1) − u a − ak ) e + u a / (3) ∧ x 1 ( 然后对 (1) k 1) + 进行一次累加生成，可得到还原数据： ∧ (0) x ( k 1) + = ∧ x (1) ( k 1) + − ∧ x (1) k ( ) (4) k 上式即为灰色预测的基本模型。当 kn 时，称 (0)( ) x ∧ 为模型预测值[2]。 1.2 灰色模型精度检验指标 由于在残差预测模式中,检验数是根据前面的数据推算出来的,并依次递推地检验。每一 检验值对模型来说都是后验值, 因此也称为后验差检验。 设由 GM(1,1))模型得到： x 计算残差： (0) = { x (0) (1), x (0) (2),..., x (0) n ( )} (5) e k x ( ) s ，则 2,s 记原始数据值 (0)x 及其方差 2 2 1 = (0) k ( ) − x ∧ (0) k k ( ), = 1,2,3..., n (6) s 2 1 = 1 n s 2 2 n k ∑ 1 = 1 n = (0) x k ( ) − x − ) (0) 2 (7) ( e k ( ( ) − − e ) 2 (8) n ∑ k 1 = − 式中 (0) x n 1 = ∑ n 1 = k (0) x k ( ) ； − e n 1 = ∑ ；然后，计算后检验指标： n e k ( ) k 1 = 后验差比值 p e k { ( ) = 2 C = S / S (9) 1 s 0,6745 } < 1 (10) P 称为小误差频率。指标 C 越小越好，C 越小表明尽管原始数据很离散而模型所得计算值与 实际值之差离散程度小。指标 P 越大越好，P 越大，表明残差和残差的平均值小于给定值 0.6745S1 的点较多，预报精度高。模型精度等级[3]=max{P 所在等级，C 所在等级}，表 1 列 出了根据 C、P 取值的模型精度等级，模型精度等级判别式为： - 2 - 

http://www.paper.edu.cn 模型精度等级 1 级（好） 2 级（合格） 3 级（勉强） 4 级（不合格） 表 1 模型精度等级 P 0.95≤P 0.80≤P<0.95 0.70≤P<0.80 P<0.7 C C≤0.35 0.35 F0.01， 即回归方程线性显著；t=7.69、t0.01=3.499，t>t0.01，即回归系数特别显著大于零。 以上两种模型的模拟精度和预测精度分别见表 2、表 3 和图 1。 表 2 两种模型的模拟精度（单位：mm） 观测期 原始值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.24 0.50 0.76 1.04 1.33 1.64 1.93 2.23 2.55 GM (1,1) 模型 回归模型 模拟值 0.24 0.501 0.767 1.042 1.324 1.613 1.911 2.216 2.530 残差 0 -0.001 -0.007 -0.002 0.006 0.027 0.019 0.014 0.020 模拟值 -0.126 0.597 1.020 1.320 1.553 1.743 1.904 2.043 2.166 残差 0.366 -0.097 -0.260 -0.280 -0.223 -0.103 0.026 0.187 0.384 表 3 两种模型的预测精度（单位：mm） 观测期 原始值 10 11 12 2.85 3.11 3.31 GM(1,1) 模型 回归模型 预测值 2.852 3.184 3.524 残差 预测值 2.276 -0.002 2.375 -0.074 2.466 -0.214 残差 0.574 0.735 0.844 - 3 - 

http://www.paper.edu.cn 图 1 两种模型计算结果图 4 结论 由施工日志可知，自观测周期第 11 期以后泵站基本已竣工，由于以后的地基上荷载基 本不变，基础沉降速度明显降低，这与自 11 期后实测值比预测值小，并出现预测值偏离实 测值比前几期的要大的计算结果相吻合，另外与回归模型计算结果的对比分析可看出，在“贫 数据”情况下 GM(1,1)模型的预测优势明显大于回归模型，同时也充分说明了在实际工程中 缺少大量观测数据的情况下通过建立 GM(1,1)灰色理论模型来预测建筑物的沉降趋势的可 行性，其不仅适宜于建筑物施工过程中的沉降量预测，而且适宜于己竣工后的建筑物的沉降 量预测，并且能够达到相当精度。 参考文献 [1] 黄声享,尹 晖,蒋 征.变形监测数据处理[M].武汉:武汉大学出版社,2003. [2] 邓聚龙.灰色系统基本方法[M].武汉:华中理工大学出版社,1987. [3] 傅 立.灰色系统理论及应用[M].北京:科学技术文献出版社,1992. [4] 刘思峰,邓聚龙.GM(1,1)模型的适用范围[J].系统工程理论与实践,2000. [5] 张立亭.建筑物沉降变形的动态预测[J].江西：华东地质学院,1998(1) [6] 陈晓斌,张家生,安关峰.灰色理论分析边坡稳定性[J].岩土工程学报,2006s1. Application of GM(1,1) Model in Building Prediction sˊ Subsidence College of Civil Engineering，Hohai University，Nanjing (210098) MA Chao Abstract GM(1,1) model and grew theory are introduced in this paper, then GM(1,1) model is applied in subsidence prediction for a pump, meanwhile, the results of GM(1,1) model are contrasted with the regression modelˊs results. The subsidence tendency that can be predicted well with GM(1,1) model is reached at last . Keywords：GM(1,1) model；grew theory；regression model；subsidence prediction 作者简介：麻超，男，（1982-），河海大学土木工程学院硕士研究生，摄影测量与遥感。 - 4 -