第 45 卷第 6 期 2018 年 12 月 应 用 科 技 Applied Science and Technology Vol.45 No.6 Dec. 2018 DOI: 10.11991/yykj.201712017 网络出版地址：http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1191.U.20180309.0946.008.html 基于变分稀疏贝叶斯学习的DOA估计 郜丽鹏，杜旭华 哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001 摘 要：针对传统稀疏贝叶斯学习的DOA估计算法复杂度较高、收敛速度较慢等问题，提出了一种基于变分稀疏贝叶斯学 习的DOA估计算法。首先通过空间网格划分方式建立基于稀疏表示的DOA估计信号模型；其次在此模型基础上为未知 待估计参数指定先验分布，得出稀疏信号的后验概率分布；然后利用变分贝叶斯学习算法，通过最小化KL散度寻求后验概 率分布的近似分布；最后估计出未知参数，并得到信号的DOA估计值。根据MATLAB仿真图的结果，该算法成功估计出 信号的DOA，并达到了预期效果。与传统稀疏贝叶斯学习算法相比，该算法单快拍下具有更高的DOA估计精度以及更快 的收敛速度。 关键词：DOA估计；贝叶斯学习；变分贝叶斯学习；稀疏表示；相关向量机；MATLAB仿真；估计精度；收敛速度 中图分类号：TN911.7 文献标志码：A 文章编号：1009−671X(2018)06−0032−05 Direction-of-arrival (DOA) estimation based on variational sparse Bayesian learning GAO Lipeng, DU Xuhua College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China Abstract: To solve the problems of high complexity and slow convergence rate of traditional sparse Bayesian learning(SBL) algorithm, this paper proposes a direction-of-arrival (DOA) estimation algorithm based on variational sparse Bayesian learning(VSBL). Firstly, a DOA estimation signal model based on sparse representation was established by spatial gridding. Secondly, based on this model, a priori distribution was specified for unknown parameters to be estimated, then obtain the posterior probability distribution of sparse signal. Then apply the variational Bayesian learning algorithm to find the approximate distribution of the posterior probability distribution by minimizing the KL divergence. Finally, estimate the unknown parameters, and obtain the DOA estimation value of the signal. According to the MATLAB simulation results, the signal DOA was estimated successfully by the algorithm, achieving the expected results. Compared with traditional sparse Bayesian learning algorithm, this algorithm has higher DOA estimation accuracy and faster convergence speed under single snapshot. Keywords: DOA estimation; Bayesian learning; variational Bayesian learning; sparse representation; correlation vector machine; MATLAB simulation; estimation accuracy; convergence speed 作 为 阵 列 信 号 处 理 技 术 的 重 要 研 究 方 向 之 一，信号到达角(DOA)估计被广泛应用到雷达、 声呐等领域。以MUSIC[1]和ESPRIT[2]为代表的传 统空间谱估计算法，实现简单，且空间分辨率高， 但要求高信噪比以及多快拍数。随着压缩感知理 论的提出与发展，将压缩感知理论应用到阵列信 收稿日期：2017−12−29. 网络出版日期：2018−03−09. 基金项目：上海航天科技创新基金项目(SAST2017-068). 作者简介：郜丽鹏(1972−)，男，教授，博士； 杜旭华(1991−)，男，硕士研究生. 通信作者：杜旭华，E-mail：609261245@qq.com. 号处理中成为DOA估计算法新的研究方向，学者 们提出了大量性能优越的DOA估计算法。其中 最 为 经 典 的 是由D.Malioutov等 人 提 出 的 算法，其首先通过空间网格划分的方式，构造了 基于阵列流型的过完备基矩阵，然后利用奇异值 (singular value decomposition, SVD)分 解 对 阵 列 接 收信号矩阵降维，最后利用二阶锥规划求解 范数 优 化 问 题 ， 并 估 计 出 信 号 的 DOA。 随 后 ， 在 算法的基础上，学者们又先后提出了许多 基于稀疏表示的DOA估计算法，用以解决宽带[3-5]、 二维角度[6]、相干信号源[7]等DOA估计问题。基 l1SVDl1l1SVD

第 6 期 郜丽鹏，等：基于变分稀疏贝叶斯学习的 DOA 估计 ·33· 于稀疏表示的DOA估计算法多是通过求解 范数 优化问题估计出信号的DOA，但是在求解 范数 优化问题的过程中，正则化参数多是通过人工设 置的方式选取。鉴于稀疏问题的求解完全可以放 在贝叶斯估计框架中分析和表示，而且这种统计 优化方法更容易被理解和接受。因此近几年一些 学 者 也 在 不 断 开 展 基 于 稀 疏 贝 叶 斯 学 习 的 DOA估计研究工作，主要研究二维DOA估计[8]、 空间网格划分失配[9-10]以及算法收敛速度[11-12]等问 题。基于稀疏贝叶斯学习的DOA估计算法大多 利用边缘似然函数进行未知参数的估计。在边缘 似然函数的计算过程中，所有的未知参数均被积 分，这样结果就不依赖于未知参数，可以简单地 避免过拟合，但是边缘似然函数的计算要对所有 的参数积分，通常是高维和复杂的积分。 针对此问题，首先假设空间中存在一个均匀 线阵用于接收空间窄带目标信号，对空间进行网 格划分使得空间信号稀疏化，从而完成信号稀疏 表示，并得出可通过求解 范数优化问题估计信 号DOA的结论，为应用稀疏贝叶斯理论估计信号 的DOA，将阵列接收信号由复数数据转为实数数 据。然后根据稀疏贝叶斯理论可知，阵列接收信 号服从高斯分布。为估计出未知参数，对稀疏信 号指定高斯分布，并为其方差以及噪声方差的倒 数指定Gamma分布，得出可通过求解待估计参数 的最大后验概率分布估计出未知参数。最后为了 避 免 后 验 概 率 分 布 的 直 接 求 解 ， 降 低 算 法 复 杂 度，通过变分贝叶斯学习算法寻找后验概率分布 的近似分布，并通过监控下界值判断算法是否收 敛，估计出未知参数，从而获得信号的DOA。 1 基于稀疏表示的DOA估计模型 假设 个远场窄带信号入射到 个各向同性 的均匀线阵上，阵元间距为 ，各信号来波方向为 ，则阵列接收信号为 式 中 ： 收 信 号 矢 量 ； 空 间 信 号 矢 量 ； 维 阵 列 流 形 矩 阵 ， 为 维 的 阵 列 接 为 维 的 为 T为 维的方向矢量， ， ， 。 假 设 每 一 个 都对应一个空间信号 出了稀疏度为 的 ，这样便构造 维稀疏空间信号矢量： 中只有 个位置的元素是非零的，对应着 个位置的元 空间中实际存在的信号 ，其余 素为零。则稀疏化后的空间信号矢量对应的 维阵列流型矩阵 为 则稀疏表示模型下的DOA估计数学模型为 通过求解如下 范数优化问题得出重构信号： 式中 为噪声标准差。 稀疏贝叶斯理论适用于对实数数据的处理， 而 阵 列 接 收 数 据 是 复 数 ， 为 了 将 该 理 论 应 用到 DOA估计中，需要将观测数据实数化以构建实数 域的优化模型，因此式(1)需改写为 式中 和 分别表示数据的实部与虚部。 2 基于稀疏变分贝叶斯学习的DOA 估计算法 2.1 稀疏贝叶斯模型 对于压缩感知下的DOA估计模型： 式中： 为观测数据， 为观测矩阵， 为待求稀疏 系数矢量， 为均值为0、方差为 的高斯噪声。 从而可以得到 服从高斯分布，即 根据贝叶斯估计理论，需要对参数 和 进行 最大后验估计。为避免过匹配问题，需要对参数 指定先验分布。根据相关向量机理论，为待估计 参数 中的每一个元素指定均值为0、方差为 的 高斯先验，即 为 第 个 信 号 的 来 波 方 向 ； 维的噪声矢量。 为 空间信号是可稀疏的，通过特定的网格划分 可将空间信号稀疏化。将空间均匀划分为 份， 式 中 为 超 参 数 ， 控 制 着 待 估 计 参 数 的估计精度。由于高斯分布的方差的倒数的 共轭分布为Gamma分布，因此为超参数 以及噪 声参数 指定Gamma分布，即 l1l1l1KMdi(i=1;2;;K)y(t)=As(t)+n(t)y(t)=[y1(t);y2(t);yM(t)]TM1s(t)=[s1(t);s2(t);;sN(t)]TK1A=[a(1);a(2);;a(K)]MKa(k)=[1;exp(j2πfk);;exp(j2πf(M1)k)]M1k=dsink=ckkn(t)=[n1(t);n2(t);;nM(t)]TM1Nf1;2;;NgN≫Kn(n=1;2;;N)xn(n=1;2;;N)KN1x(t)=[x1(t);x2(t);;xN(t)]Tx(t)Ks(t)NKMN=[a(1);a(2);;a(N)]y(t)=x(t)+n(t)(1)l1{ˆx=argmin∥x∥1s:t:∥yAx∥2(Re(y)Im(y))=(Re()Im()Im()R())(Re(x)Im(x))+(Re(n)Im(n))ReImy=x+nyxn2yp(yjx;2)=N∏n=1p(ynjnx;2)=(2π2)N2exp(122∥yx∥)2x2xi1p(xj)=N∏i=1N(xij0;i1)=(1;2;;N)xii0

·34· 应 用 科 技 第 45 卷 式中 。Gamma分布为 根据贝叶斯理论，可以得到待估计参数的最 大后验概率分布为 的计算通常要通过高维、复杂的积分，是 不易求解的。稀疏贝叶斯模型下通过分解方法求 待估计参数最大后验概率分布，即 然后再利用积分求解 ，算法实现复 杂。为了简化 的求解，将变分贝叶斯理论引入 稀疏贝叶斯估计中。 2.2 变分稀疏贝叶斯估计 设由未知待估计参数 ， 和 组成的参数集 为 观测量 的边缘似然函数为 依据变分理论，在式(2)中引入一个关于参数 集 的 分布，即 对式(3)两边取对数得 设 ，式(4)可转换为 式(5)简记为 式中 与后验分布 称为KL散度，表示概率分布 的近似程度，KL散度越小， 近 似 程 度 越 高 。 变 分 贝 叶 斯 理 论 通 过 最 小 化 KL散度寻找与后验分布 最近似的概率分布 只与观测数据 有关，与待估计参数 。 最近似的概率分布 代替后验分布 、 和 无关；概率分布 与后验分布 时 ， 相等 值 最 大 。 由 于 需 要 寻 求 与 后 验 分 布 ， 有关，所以通过最小 是行不通的。而概 寻 是易求的，所以通过最大化 而KL散度与后验分布 化KL散度寻求概率分布 率分布 求关于变量 、 和 的 分布。 根据均值域理论，关于 、 和 的联合分布为 各参数服从以下分布： 式中： 的均值， 表 式中： 表示 的均值， 表示 示向量 的第 个元素， 表示矩阵 主对角线的 第 个元素， [13]。 对于变分贝叶斯学习方法，是通过监控下界[13] 来控制算法收敛： 在 计 算 大 ， 因 此 对 时 ， 每 一 项 的 计 算 量 都 很 进 行 简 化 ， 简 化 后 的 表达式如下： 式中 是与变量 、 和 无关的常数部分。 基于变分稀疏贝叶斯的DOA估计算法流程 如下： p()=N∏i=1(ija;b)p(0)=(0jc;d)0=1=2(ja;b)=ba(a)a1exp(b)p(x;;0jy)=p(yjx;;0)p(x;;0)p(y)p(y)=yp(yjx;;0)p(x;;0)dxdd0p(y)p(x;;0jy)=p(xjy;;0)p(;0jy)p(xjy;;0)p(y)x0##=f#1;#2;#3g=fx;;0gyp(y)=p(y;#)p(x;#jy)(2)#qp(y)=p(y;#)q(#)=p(#jy)q(#)(3)ln(p(y))=lnp(y;#)q(#)lnp(#jy)q(#)(4)tq(#)d#1d#2d#3=1ln(p(y))=yq(#)lnp(y;#)q(#)d#1d#2d#3yq(#)lnp(#jy)q(#)d#1d#2d#3(5)ln(p(y))=L(q(#))+KL(q(#)jjp(#jy))L(q(#))=yq(#)lnp(y;#)q(#)d#1d#2d#3KL(q(#)jjp(#jy))=yq(#)lnp(#jy)q(#)d#1d#2d#3KL(q(#)jjp(#jy))q(#)p(#jy)p(#jy)q(#)ln(p(y))yx0q(#)p(#jy)L(q(#))p(#jy)q(#)p(#jy)p(#jy)q(#)p(y;#)L(q(#))x0q(#)x0q(#)=q(x;;0)=q(x)q()q(0)q(x)=N(xju;)q()=N∑m=1(mjam;bm)q(0)=(0jc;d)u=0Ty(6)=(diag(m)+0T)1(7)am=a+1=2(8)bm=b+juj2+¯mm2(9)c=c+(N+1)=2(10)d=d+jjyjj2+tr(T)2(11)m=am=bm0=c=dmq()0q(0)mummmma=b=c=d=106L(q(x;;0))L(q(x;;0))=⟨lnp(yjx;0)⟩+⟨lnp(xj)⟩+⟨lnp()⟩+⟨lnp(0)⟩⟨lnq(x)⟩⟨lnq()⟩⟨lnq(0)⟩L(q(x;;0))L(q(x;;0))L(q(x;;0))L(q(x;;0))=12lnjjamM∑m=1lnbm+12N1∑m=0lnmmclnd+Lconst(12)Lconst=N2ln2π+M+N2(M+N+1)ln(a)+(M+N+1)alnb+(M+N)ln(am)+ln(c)Lconstx0

第 6 期 郜丽鹏，等：基于变分稀疏贝叶斯学习的 DOA 估计 ·35· 输入：观测向量 、测量矩阵 和收敛条件 。 输出：重构信号 。 1)初始化 、 、 、 、 、 ； 2)利用式(6)和(7)更新 、 ； 3)利用式(8)~(11)更新 、 、 、 ； 4)利用式(12)更新 ， 为当前更新 次数； 5)如果： ，则停 止迭代，输出重构信号 ，否则重返步骤2)，进行 下一次迭代。 3 仿真结果 为评估基于稀疏变分贝叶斯学习的DOA估 计算法的性能，本文通过MATLAB仿真比较在单 快拍条件下基于VSBL的DOA估计算法和基于 SBL的DOA估计算法分别在不同信噪比、不同阵 元数下的DOA估计误差及其成功率以及算法运 行时间。 3.1 不同信噪比下的DOA估计结果比较 假设空间中存在由20个阵元组成的均匀线 阵，同时有2个信号分别以入射角10°和20°入射 到 该 阵 列 中 ， 信 号 的 信 噪 比以2 dB为 步 进 ， 从 −10 dB到10 dB变化。用2种算法比较不同信噪 比下的DOA估计结果，如果所估计出角度在误差 允许范围内，则认为本次实验是成功的，每个条 件下的实验进行500次，并统计各条件下的DOA 估计误差及其成功率，如图1、2所示。由图1、2 可以得出，随着信噪比的增加，基于VSBL的DOA 估计算法和基于SBL的DOA估计算法的DOA估 计 精 度 和 成 功 率 会 一 直 提 高 ， 而 且 在 高 信 噪 比 下，2个算法的DOA估计精度以及成功率相差不 大，但是在低信噪比下，基于VSBL的DOA估计 算 法的DOA估 计 精 度 以 及 成 功 率 要 高 于 基于 SBL的DOA算法。 图1 不同信噪比下的DOA估计误差 图2 不同信噪比下的DOA估计成功率 3.2 不同阵元数下的DOA估计结果比较 假 设 空 间 中 存 在 一 个 均 匀 线 阵 ， 且 同 时有 2个 信 号 分 别 以 入 射角10°和20°入 射 到 该 阵 列 中，阵元数以2为步进从6阵元到20阵元变化， 信 噪 比为15 dB，用2种 算 法 比 较 不 同 阵 元 数 下 的DOA估计结果。如果所估计出角度在误差允 许范围内，则认为本次实验是成功的，每个条件 下的实验进行500次，并统计各条件下的DOA估 计 误 差 及 其 成 功 率 ， 如图3、4所 示 。 由图3、4 可以得出，在不同的阵元数下，基于VSBL的DOA 估计算法的DOA估计精度要明显高于基于SBL 的DOA估计算法。而且基于VSBL的DOA估计 算法在阵元数为10时就能以接近100%的重构概 率估计出信号的DOA，而基于SBL的DOA估计 算法在阵元数为20时才能以接近100%的重构概 率估计出信号的DOA。 图3 不同阵元数下的DOA估计误差 图4 不同阵元数下的DOA估计成功率 yxuambmcduambmcdLt(q(x;;0)tLt(q(x;;0))Lt1(q(x;;0))Lt1(q(x;;0))

·36· 应 用 科 技 第 45 卷 3.3 算法运行时间比较 仿 真 条 件 ： 阵 元 数为20， 信 噪 比 比为15 dB， 蒙特卡罗仿真次数为500次。仿真所用CPU为：Intel (R) Core(TM) i5-4570，运行内存为4 GB，MATLAB 版本为R2014。 基于BCS的DOA估计算法运行时间为212 s。 而基于VBCS的DOA估计算法的运行时间为92 s。 由 算 法 运 行 时 间 结 果 可 知 ， 基 于 VBCS的 DOA估 计 算 法 的 运 行 时 间 要 小 于 基 于BCS的 DOA估 计 算 法 的 运 行 时 间 。 因 此 基于VBCS的 DOA估 计 算 法 的 收 敛 速 度 要 快 于 基 于BCS的 DOA估计算法收敛速度。 4 结论 本 文 提 出 了 一 种 基于VSBL的DOA估 计 算 法。首先建立了基于稀疏表示的DOA估计模型， 并在此基础上建立了稀疏贝叶斯模型。然后通过 变分贝叶斯学习算法的引入，简化了稀疏贝叶斯 模型中最大后验概率的求解，并总结出该DOA估 计算法的求解步骤。最后通过仿真比较了基于 VSBL的DOA估计算法和基于SBL的DOA估计 算法的性能，并得出以下结论： 1)本文算法在低信噪比下具有更高的DOA 估计精度以及成功率，更有利于在复杂电磁环境 下DOA估计的应用； 2)本文算法可通过更少的振元数高精度、高 成功率估计出信号到达角，从而减轻硬件对大量 数据存储、传输和处理的压力； 3)本文算法具有更低的算法复杂度，大幅度 减少了算法的运行时间，更有利于DOA估计实时 性要求的实现； 4)本文算法只适用于单快拍下的DOA估计 问题，将该思想引用到多快拍下的DOA估计问题 是下一步的研究方向。 参考文献： SCHMIDT R. [1] 本文引用格式： Multiple emitter location and signal [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] KAILATH T. parameter estimation[J]. IEEE transactions on antennas and propagation, 1986, 34(3): 276–280. ROY R, ESPRIT-estimation of signal parameters via rotational invariance techniques[J]. IEEE transactions on acoustics, speech, and signal processing, 2002, 37(7): 984–995. 李鹏飞, 张旻, 钟子发. 基于稀疏表示的宽带DOA估计 [J]. 电子测量与仪器学报, 2011, 25(8): 716–721. 赵永红, 张林让, 刘楠, 等. 一种新的基于稀疏表示的宽 带 信 号 DOA估 计 方 法 [J]. 电 子 与 信 息 学 报 , 2015, 37(12): 2935–2940. 燕学智, 温艳鑫, 刘国红, 等. 基于稀疏表示和近似范数 约束的宽带信号DOA估计[J]. 航空学报, 2017, 38(6): 320705. 李鹏飞, 张 旻, 钟子发. 基于空间角稀疏表示的二维 DOA估计[J]. 电子与信息学报, 2011, 33(10): 2402–2406. 刘 永 花 , 周 围 . 基 于 协 方 差 矩 阵 稀 疏 表 示 的 相 干 源 DOA估计算法[J]. 电子世界, 2017(6): 118–120. 庞慧, 陈俊丽. 基于稀疏贝叶斯的二维DOA估计算法研 究[J]. 工业控制计算机, 2017, 30(10): 90–91, 94. YANG Jie, LIAO Guisheng, LI Jun. An efficient off-grid DOA estimation approach for nested array signal processing by using sparse Bayesian learning strategies[J]. Signal processing, 2016, 128: 110–122. SI Weijian, QU Xinggen, QU Zhiyu, et al. Off-grid DOA estimation via real-valued sparse bayesian method in compressed sensing[J]. Circuits, and signal processing, 2016, 35(10): 3793–3809. 高阳, 陈俊丽, 杨广立. 基于酉变换和稀疏贝叶斯学习的 离格DOA估计[J]. 通信学报, 2017, 38(6): 177–182. 孙磊, 王华力, 许广杰, 等. 基于稀疏贝叶斯学习的高效 DOA估 计 方 法 [J]. 电 子 与 信 息 学 报 , 2013, 35(5): 1196–1201. BISHOP C M, TIPPING M. Variational relevance vector machines[C]//Proceedings of the 16th Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence. San Francisco, USA, 2000: 46−53. systems, [11] [12] [13] 郜丽鹏, 杜旭华. 基于变分稀疏贝叶斯学习的DOA估计[J]. 应用科技, 2018, 45(6): 32–36. GAO Lipeng, DU Xuhua. Direction-of-arrival (DOA) estimation based on variational sparse Bayesian learning[J]. Applied science and technology, 2018, 45(6): 32–36.