2014年湖南高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2014 年湖南高考文科数学真题及答案一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设命题 p :   , x R x 2 1 0   ，则 p 为（） . A x   0 C x   . 0 , R x 2 0 1 0   , R x 2 0 1 0   . B x   0 , R x 2 0 1 0   D x   . 0 , R x 2 0 1 0   2. 已知集合 { | x x A   2}, B  { |1 x   ，则 A B  （） 3} x A.{ | x x  2} B.{ | x x  1} C. { | 2 x x  3} D. { |1 x x  3} 3. 对一个容器为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 1 p p p ，则（） , 3 , 2 .A p 1  p 2  p 3 .B p 2  p 3  p 1 .C p 1  p 3  p 2 .D p 1  p 2  p 3 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间 (  上单调递增的是（） ,0) . ( ) A f x  1 2 x . ( ) B f x 2 x  1 ( ) C f x . 3 x ( ) D f x . 2 x  5. 在区间[-2,3]上随机选取一个数 X ，则 1X  的概率为 A. 4 5 1 : C x 6. 若圆 B. 3 5 1  与圆 2 2 y C. 2 5 2  D. 1 5 8 y m  2 y  6 x   ，则 m  （） 0 2 : C x .21A .19B .9C D  . 11 7. 执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的  t   2,2 ，则输出的 S 属于（） A. 6, 2    B.  5, 1   C. 4,5 D. 3,6

8. 一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（） A.1 B.2 C.3 D.4 9. 若 0  x 1  x 2 1  ，则（） A. x 2 e x 1  e  ln x  ln x 1 2 B. x 2 e x 1  e  ln x  ln x 1 2 C. x 1 x e 2 x e 1 x 2 D. x 1 x e 2 x e 1 x 2 10. 在平面直角坐标系中， O 为原点，  A  1,0 ，   B ， , 0 3 3 0C ，，动点 D 满足    ,则 OA OB OD     CD  1 A. 4 6，  C. 2 3 2 7 ，   的取值范围是（） B. D.      19-1 19+1 ，  7-1 7+1 ，二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11.复数 3 i  2 i （i 为虚数单位）的实部等于_________. 12.在平面直角坐标系中，曲线 C : x 2         1 y  2 2 2 2 t t （t 为参数）的普通方程为___________.

13.若变量 yx，满足约束条件 x      x y  1 y  y  4 ，则 z  2 x  y 的最大值为_________. 14. 平面上以机器人在行进中始终保持与点  01，F 的距离和到直线 1x 的距离相等.若机器人接触不到过点  15.若   xf   ln 3 e 01，P  ax 1  x 且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是___________. 是偶函数，则 a ____________. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 16.（本小题满分 12 分）已知数列 na 的前 n 项和 Sn  2 n n  2 ，  Nn . （I）求数列 na 的通项公式；（II）设 b n  a n 2   n  1 a n ，求数列 nb 的前 n2 项和. 17.（本小题满分 12 分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年     ba   ba 研发新产品的结果如下：       ba ba ba ba ，，，，，，，，，，，，，，，，       ba ba ba ba ，，，，，，，，，，，，，  其中 aa ，分别表示甲组研发成功和失败； bb     ba    ba   ba     ba    ba      ，分别表示乙组研发成功和失败. （I）若某组成功研发一种新产品，则给改组记 1 分，否记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（II）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率. 18.（本小题满分 12 分）如图 3，已知二面角 MN   的大小为60 ，菱形 ABCD 在面内， ,A B 两点在棱 MN  上， BAD  60  ， E 是 AB 的中点， DO  面，垂足为O . （1）证明： AB  平面ODE ；（2）求异面直线 BC 与OD 所成角的余弦值.

19.（本小题满分 13 分）如图 4 ，在平面四边形 ABCD 中， DA  AB , DE  ,1 EC  ,7 EA  ,2 ADC  2  3 , BEC   3 CEDsin （1）求的值；（2）求 BE 的长 20.（本小题满分 13 分）如图 5 ， O 为坐标原点，双曲线 C 1 : 2 x a 1 2  2 2 y b 1  1( a 1  0, b 1  0) 和椭圆 C 2 : 2 x a 2 2  2 2 y b 2  1( a 2  b 2  均过点 0) P ( 2 3 3 ,1) ，且以 1C 的两个顶点和 2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形. （1）求 1 ,C C 的方程； 2 （2）是否存在直线l ，使得l 与 1C 交于 ,A B 两点，与 2C 只有一个公共点，且|   OA OB  | |   AB | ？证明你的结论.

图 5 21.（本小题满分 13 分）已知函数 ( ) f x  x cos x  sin x  1( x  0) . （1）求 ( ) f x 的单调区间；（ 2 ）记 ix 为 ( ) f x 的从小到大的第 ( i i N *) 个零点，证明：对一切 n N * ，有 1 2 x 1  1 2 x 2    1 2 x n  2 3

参考答案 1-5 BCDAB 6-10 CDBCD 11. -3 12. x y   1 0 13. 7 14. ( 16. 解：（Ⅰ）当 1n  时， 1 a S 1 1  ；     , 1) (1, ) 15.  3 2 当 2 n  时， a n  S n  S n 1   n  2 n  2 ( n 2  1) ( n  1)  n  2 故数列 na 的通向公式为 na n （Ⅱ）由（Ⅰ）知， nb  n 2     1 n n ，记数列{ }nb 的前 2n 项和为 2nT ，则 nT 2  1 (2  2 2   n ... 2 ) 2        ( 1 2 3 4 ... 2 ) n 记 A  1 2  2 2   ， 2 ... 2 n B        ，则 1 2 3 4 ... 2 n A  n 2(1 2 ) 2  1 2  2 n 1   2  2 B    ( 1 2)    ( 3 4)    [ (2 ... n 1) 2 ] n    n 故数列{ }nb 的前 2n 项和为 nT 2    A B 2 2 n 1    n 2 17. 解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为 1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1 其平均数为方差为 X  甲 10 15  2 3 2 s 甲  1 15 [(1  2 3 2 )  10 (0   2 3 2 )  5]  2 9 乙组研发新产品的成绩为 1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1 其平均数为

X  乙 9 15  3 5 方差为 s 乙因为 X 甲 X 乙 2  1 15 ， 2 s 甲 [(1  3 5 2 s 乙 2 ) 9 (0    3 5 2 )  6]  6 25 ，所以甲组的研发水平优于乙组。（Ⅱ）记 } E  恰有一组研发成功 { 在所抽得的 15 个结果中，恰有一组研发成功的结果是    a b a b ，，，，，，，，，，，，，  a b     a b a b a b a b       共 7 个，故事件 E 发生的频率为 7 15 将频率视为概率，即得所求概率为 ( P E  ) 7 15 18. （Ⅰ）如图 a，因为 DO AB 连接 BD ，由题设知， ABD ，   ，所以 DO AB 是正三角形，又 E 是 AB 的中点，所以 DE AB 而 DO DE D  ，故 AB   平面 ODE 图 a （Ⅱ）因为 //BC AD ，所以 BC 与OD 所成的角等于 AD 与OD 所成的角，即 ADO 是 BC 与OD 所成的角。由（Ⅰ）知， AB  平面 ODE ，所以 AB OE ，又 DE AB ，于是 DEO 是二面角 MN   的平面角，从而  DEO   60 不妨设 AB  ，则 2 AD  ，易知 2 DE  3

在 Rt DOE  中， DO DE  sin 60  3 2 连接 AO ，在 Rt AOD 中， cos  ADO  故异面直线 BC 与OD 所成角的余弦值为 3 4 3 2 2  3 4 DO AD  19.  解：如图 4，设 CED  （Ⅰ）在 CDE   中，由余弦定理，得 2 EC  2 CD DE  2  2 CD DE   cos  EDC 于是，由题设知， 7  2 CD 1   CD ，即 2 CD CD   6 0 解得 CD  （ 2 CD   舍去） 3 在 CDE  于是， sin    sin EC EDC  中，由正弦定理，得 CD sin  2  3 CD 2    sin EC  3 3 2 7  21 7 ，即 sin CED  21 7 （Ⅱ）由题设知， 0   ，于是由（Ⅰ）知 cos   1 sin  2   1  21 49  2 7 7 而  AEB  2  3 cos  ，所以   AEB  cos( 2  3  )   cos 2  3 cos   sin 2  3 sin    1 2 cos   3 2 sin  1 2 7    2 7  3 2 21 7  7 14 在 Rt EAB  中， cos  AEB  EA BE  2 BE ，故

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