2014年湖南高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2014 年湖南高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、满足 1z  z  （i 的虚数单位）的复数 z= i A、 1 2 1 i 2 B、 1 2 1 i 2 C、   1 2 1 2 i D、   1 2 1 2 i 2、对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 1p 、 2p 、 3p ，则 p        p C、 1 p D、 1  p 3 p A、 1 p 2 p B、 1 p 2 p 3 p 3 p 3 p 2 2 3、已知 f（x），g（x）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f（x）-g（x）= 3 x x  ，则 (1) 2 1 f g (1)  4、 A、 3 1( 2 A、-20 x 2 ) y 5 B、 1 C、1 D、3 的展开式中 2 3 x y 的系数是 B、-5 C、5 D、20 5、已知命题 p：若 x>y，则-x<-y ：命题 q：若 x>y，在命题 ① p q ② p q 中，真命题是 ③ (   p q ) ④ (   )p q A、①③ B、①④ C、②③ D、②④ 6、执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 [ 2,2] t   ，则输出的 S 属于 A、[-6,-2] B、[-5,-1] C、[-4，5] D、[-3,6] 7、一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于 A、1 B、2 C、3 D、4 8、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为

A、 p q 2 C、 pq ( p  B、 D、 ( p 1)( q 2 1)(  1) 1   q 1) 1   9、已知函数发 ( ) f x  sin(x )   ，且 A、 5x=  6 B、x= 2 x 3  0 7  12 ( ) f x dx  0 ，则函数 ( ) f x 的图象的一条对称轴是 C、x=  3 D、x=  6 10、已知函数 ( ) f x  x 2  e x - 1 2 的取值范围是 ( x  与 0) ( ) g x  x 2  ln( x a  的图象在存在关于 y 轴对称点，则 a ) A、 （，） - 1 e B、 - e（，） C、 1- （，） e e D、（，） - e 1 e 二、填空题，本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分（一）选做题(请考生在第 11，12，13 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．在平面直角坐标系中，倾斜角为  4 的直线 l 与曲线 C : x       y  2 cos a 1 sin a （a 为参数）交于 A，B 两点，且 AB  2 .以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_________。 12. 如图 3，已知 AB ， BC 是 O 的两条弦， AO BC , AB  3 , BC  2 2 ，则 O 的半径等于________。    ax   的解集为 2 3 13．若关于 x 的不等式 x |    x 5 3 1 3    ，则 a=________. (二)必做题(14-16 题) 14. 若变量 x, y 满足约束条件则 k  _______。 , y x     x y    , y k 4, 且 z  2 x  的最小值为-6， y 15. 如图 4 正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a

16 ．在平面直角坐标系中， O 为原点 A( 1,0),B(0, 3),  C(3 0) 动点 D 满足  CD  1 ，则    OA OB OD   的最大值是__________。三、解答题：本大题共 6 小题．共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 .(本小题满分 l2 分) 某企事业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 2 3 和 3 5 ，现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B，设甲、乙两组的研发相互独立。 (Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率； (Ⅱ)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望 18．（本小题满分 l2 分）如图 5 ，在平面四边形 ABCD 中， AD  1, 2, AC CD  （Ⅰ）求 cos CAD  7 的值（Ⅱ）若 cos  BAD   7 14 ,sin  CBA  21 6 ，求 BC 的长 19. （本小题满分 l2 分）如图 6，四棱柱 ABCD A B C D 1 1 1  1 的所有棱长都相等， AC BD O AC 1 1   ,  B D O 1 1  ，四 1 边形 ACC A 和四边形 1 1 BDD B 均为矩形。 1 1 （Ⅰ）证明： 1O O  底面 ABCD；（Ⅱ）若 CBA  60  ，求二面角 1 C OB D  的余弦值。  1 20. （本小题满分 13 分）已知数列 na 满足 1 a a （Ⅰ）若 na 是递增数列，且 1 1,  n 2 3  a n 1   n . p n N   , a ,2a ,3a 成等差数列，求 p 的值；（Ⅱ）若 p  ，且 1 2 12na  是递增数列， 2na 是递减数列，求数列 na 的通项公式。 21、如图 7，O 为坐标原点，椭圆 1C : 2 2 x a 2 2 y+ b =1 （a>b>0）的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，离心率

为 1e ：双曲线 2C ： 2 2 x a 2 2 y- b =1 的左、右焦点分别为 3F ， 4F ，离心率为 2e 。已知 1 2e e = 3 2 ，且 2 F F 4 = 3-1 。（Ⅰ）求 1C 、 2C 的的方程；（Ⅱ）过 1F 做 1C 的不垂直于 y 轴的弦 AB，M 为 AB 的中点，当直线 OM 与 2C 交于 P，Q 两点时，求四边形 APBQ 面积的最小值 ( ) f x 22、已知常数 a>0，函数 2 x 2 x  （Ⅰ）讨论 f（x）在区间 0 +（，）上的单调性；（Ⅱ）若 f（x）存在两个极值点 1x 、 2x ，且 f（ 1x ）+f（ 2x ）>0，求 a 的取值范围 ln(1 。   ax ) 

1-5 BDCAC 6-10 DBDAB 11.   sin      4    2 2 12. 3 2 16. 2 3 参考答案 13.-3 14.-2 15. 2 1 17. 解：（1）设至少有一组研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对立事件,则事件 B 为一种新产品都没有成功，因为甲、乙成功的概率分别为 2 3, 3 5 ，则 ( P B )  1     2 3        1  3 5       1 2 3 5 2 15 ，再根据对立事件概率之间的公式可得 ( P A ) 1   ( P B )  ，所以至少一种产品研发成功的概 13 15 率为 13 15 （2）由题可得，设该企业可获得利润为，则的取值有 0，120+0，100+0，120+100，即=0， 120，100，220 由独立试验的概率计算公式可得： ( P   0)  1     2 3        1  3 5     2 15 3 5      2 3     ( P   120) 100) ( P        3 5 2 5 所以的分布列如下：  1   2  1  3  2 3 3 5    ( P  220)  ( )P  4 15 1 5 0 2 15 100 1 5 120 4 15 220 2 5 则数学期望 0 E   2 15  120  4 15  100   1 5 220  2 5  18.解： 32 20 88 130    .

（1）在 ADC  中，由余弦定理可得 cos  CAD 2  AC 2 AD CD   2 AC AD  ，则   BAD  （2）设 BAC     CAD 2  7 1 4   2 7  2 7 7 因为 cos CAD  2 7 7 ， cos BAD   7 14 所以 sin  CAD  1 cos  2  CAD  1      2 7 7 2      21 7 sin  BAD  1 cos  2  BAD  1       7 14 2      3 21 14 于是sin      sin( sin  BAD BAD   cos ) CAD CAD   cos  BAD sin  CAD 3 21 2 7 7 14        7 14      21 7 3 2 在 ABC 中，由正弦定理，得  sin AC  CBA BC sin  3 2 21 6 3   故 BC  AC sin sin   CBA   7 19. （1）证明：因为四边形 ACC A 为矩形，所以 1CC 又因为点O 是 AC 的中点，点 1O 是 1 1 1 AC 1AC 的中点，所以 1 //OO CC ，所以 1OO 1 AC 同理，在矩形 BDD B 中，可得 1OO BD 1 1 BD 和 AC 是平面 ABCD 的两条相交的直线，故可得， 1O O  底面 ABCD （2）方法一：如图（a），过 1O 做 1 由（1）知， 1O O  底面 ABCD ，所以 1O O  底面 1 1 于 H ，连接 1HC O H OB 1 A B C D ，于是 1 O O AC 1 1 1 1

又因为四棱柱 ABCD A B C D 1  的所有棱长都相等，所以四边形 1 1 A B C D 是菱形， 1 1 B D 1 因此 1 OB 进而 1 AC 1 1 C H 1 1 1 1 1AC  平面 C HO 1 ，从而 1 BDD B ，所以， 1 AC OB 1 1 1 1 ，于是 1OB  平面 1 O HC 1 ，故 1  是二面角 1 C OB D  的平面角。  1 不妨设 AB  ，因为 2 CBA  60  ，所以在 Rt OO B 1 1  中，易知 O H 1  OO O B 1 1  1 OB 1 3, OC  1, OB 1  7 ，  OB 32 7  而 1 O C  ，于是得 1 1 C H 1  2 O C 1 1  O H 1 2  1  12 7  19 7 故 cos  C HO 1 1  O H 1 C H 1  32 7 19 7  2 57 19 即二面角 1 C OB D  的余弦值为  1 2 57 19 方法二：因为四棱柱 ABCD A B C D 1 1 1  1 的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 是菱形，因此 AC BD 1O O  底面 ABCD ，从而 OB OC OO 两两垂直。，又 , , 1 如图（b），以O 为坐标原点， OB OC OO 坐在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz 。 1 , , 设 OB  2 AB  ，因为 3,  ， OC 1 CBA  60  ，所以

于是相关各点的坐标为 O (0,0,0), B 1 ( 3,0,2), C 1 (0,1,2) ，易知 1 n  (0,1,0) 是平面 BDD B 的一个法向量 1 1 n 设 2  ( , , ) x y z 是平面 1 1OB C 的一个法向量，则     0 3 x  2 z  2 z  0  y 取 z   ，则 2, 3  x y  2 3 ，所以 2 n  (2,2 3,  3) ，设二面角 1 1 C OB D 的大小为，易知是锐角，于是 cos   n n  2 1 | | n n  1 2 | |  2 3 19  2 57 19 故二面角 1 C OB D  的余弦值为  1 2 57 19 20.解：（1）因为数列{ }na 是递增数列，所以 1 n   a  ，令 1,2 n  ，得到 a |   a |  a n 1   a n  n p  2 p   p 1 而 1 1 a 又因为 1 ,2 ,3 a 2 因而 23 p p  2 a p n 31, a 4 a 是等差数列，所以 2 a 3 0  a 1  3 a 3 解得 p  或 0 p  1 3 当 p  时， 1n   ，这与{ }na 是递增数列矛盾，故舍去， 0 a a n 所以 p  1 3 1 }na  是递增数列，因而 2 { a （2）由于 2 1 n  ) 0 ( a  于是 2 1 2 n 2 a ，所以 2 2 1 1 2 n 因为      a a a a 1  ) n 1  ( 2 n 1  2 n 2 n | n n 2 a 由①②知， 2  a  2 1 n n  0 因此 a 2 n  a 2 n 1   2 n 1      1 2    n 2 ( 1)  2 1 n 2   a 2 n 1   ， 0 | |  a 2 n  a 2 n 1  | ① ② ③ 因为 2{ }na 是递减数列，同理可得， 2 a   1 n a 2 n  0

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