基于灰色模型GM(1,1)的中国国内生产总值预测分析 .pdf

发布时间：2022-06-14 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.21M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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基于灰色模型 GM(1,1)的中国国内生产总值预测分析 http://www.paper.edu.cn 徐长寿，张国雯，蔡丽勤，赵东方华中师范大学数学与统计学学院，武汉 (430079) E-mail：xuchangshou0604@foxmail.com 摘要：我们知道国内生产总值、人民币与美元汇率等数据的变动受不同时段国家宏观政策等诸多方面的影响，为了得到与当今宏观经济政策环境相匹配的预测结果，我们收集 1994 年以来的 GDP、人民币与美元汇率、银行存贷款利率等数据进行分析。一方面，根据数据建立了三次累加模型Ⅰ，然后根据模型Ⅰ预测 2000 年到 2007 年的数据，再把这些得到的数据与现实生活中的真实数据比较，发现结果有一定的局限性。但建立灰色预测模型Ⅱ并且通过检验知道灰色模型Ⅱ很适合该问题的解决。然后运用灰色模型Ⅱ来预测出 2008 年至 2020 年汇率、存贷款利率等数据值。另一方面，我们将收集到的 1994 年到 2007 年的数据（国内生产总值 GDP、汇率、存款利率、贷款利率）以 GDP 作为因变量，而其它作为自变量拟合出一个方程Ⅲ。最后，运用灰色模型Ⅱ得到的数据以及拟合方程Ⅲ来预测 2008 年到 2020 年的国内生产总值。我们得到两个结论：到 2057 年人民币很可能比美元更加值钱，2020 年中过的 GDP 可能达到 71 万亿元。关键词：中国经济形势；国内生产总值 GDP；三次累加模型；灰色模型 GM(1,1)；数据拟合中图分类号：01 文献标识码：A 1. 问题提出与分析 2009 年是世界了解中国的一年,也是中国经济面临全球化挑战的一年.随着全球经济受到石油等能源的价格不断走高的影响，我国经济形式日趋严峻。这也就使得研究中国的经济形势十分必要。我们课题组收集历年美元对人民币汇率、国内生产总值 GDP、银行存贷款利率等资料，研究分析美元对人民币平均汇率给出 2008 年至 2020 年的美元对人民币平均汇率的变化情况。综合考虑人民币存贷款利率以及美元对人民币汇率，对 2008 至 2020 年中国经济作出预测。在分析美元汇率与中国经济的关系时，我们拿每年的 GDP 作为衡量中国该年的经济指标。在分析人民币利率与中国经济的关系时，由于资料很多，而且考虑到活期利率的影响作用相对较小，于是不把其作为预测 GDP 的指标，而贷款在一定程度上能够反映国家经济情况，因而我们选取 5 年以上贷款利率和半年的存款利率作为预测的标量指标。建立预测模型常用的方法有拟合方程与灰色模型，我们可以尝试两个模型。用 1994-1999 数据做分析预测，并从网上搜索 2000 至 2007 年数据做误差检验，据此评判两个模型的优劣，进一步得到 2008 至 2020 年美元对人民币汇率、存款利率、贷款利率等预测值。最后分析 2000 至 2007 年的数据可拟合出 GDP 与各个指标的回归方程，最后利用该方程与上述得到的数据对 2008 年至 2020 年的经济情况预测分析。 2. 模型假设与符号说明 2.1 模型假设 1）我们假设得到的数据均为准确无误，与实际相差不大； 2）在分析美元汇率与中国经济的关系时，我们假设 GDP 足以作为衡量中国经济的指标； 3）在分析人民币利率与中国经济的关系时，假设选取的标量指标——取 5 年以上贷款利率和半年的存款利率足以反映经济的发展，可以作为预测的指标。 - 1 -

http://www.paper.edu.cn 变量意义国内生产总值 GDP（亿元）人民币对美元的汇率银行的存款利率银行贷款利率 2.2 符号说明变量符号 Yt X1 X2 X3 3. 模型建立及求解 3.1 拟合汇率过程以及汇率预测 3.1.1 三次累加模型Ⅰ 我们可以知道，数据的变动遵循一定的阶段性，受不同时段宏观政策及各方面的影响，不同阶段的数据变化浮动较大。我们将改革开放作为一个分界点，采取将前面的数据去掉后分析。我们在 Mathematica 4.1 中编程[1]可以得到 3 次累加的数据图像以及拟合得到的图像： 400 300 200 100 2 3 4 5 6 1750 1500 1250 1000 750 500 250 2 4 6 8 10 图 1 3 次累加数据图与拟合图以及 3 次多项式 0.0383333+ 2.83871x + 4.36169x2 + 1.38037x3 两图合并起来为： - 2 -

1750 1500 1250 1000 750 500 250 2 4 http://www.paper.edu.cn 6 8 10 图 2 3 次累加数据图与拟合图的合并对比上图可以看出拟合的效果还不错。接下来我们对 2000 年汇率进行预测。在 Mathematica 4.1 【1】可以得到结果 aa = {8.28221,8 8.2822 为预测的下一年（也就是 2000 年）的汇率，将 8.2800 加入到　中重复上述步骤， 21,8.28221 8221,8.282 ,8.28221,8 .28221,8.2 .28221} 我们可以依次得到 2001 年到 2020 年的汇率数据依次为：表 1 3 次累加模型Ⅰ预测值预测模型Ⅰ 2001 8.2816 2002 8.2814 2003 8.28137 2004 8.28137 2005 8.28137 2006 8.28138 2007 8.28138 但是模型对所得到的数据无法进行检验，只是通过数据间的迭代关系得到的数据，且对后来的年份进行预测，得到的数据基本稳定于一个固定的数字，我们觉得该模型不太完美。 3.1.2 灰色模型Ⅱ以及预测 2008 至 2020 汇率等各值我们可以知道，数据的变动遵循一定的阶段性，受不同时段宏观政策及各方面的影响，不同阶段的数据变化浮动较大。而灰色模型[4]立足于有限信息空间，遵循新信息的作用大于老信息的原则，因而非常适合该问题的预测。下面为 GM（1，1）模型[3]预测美元对人民币走势情况：设 (0) X = { X (0) (1), X (0) (2),......, X (0) } n ( ) 为原始的美元对人民币汇率的时间序列， X (1)( ) t 为累加生成序列： X (1) t ( ) = i ∑ m 1 = (0) X m t ), ( = 1,2,......, n . 1 （） GM（1，1）模型的白化微分方程为： dX (1) dt 2 aX + = u (1) （）式（2）中， a 为待辨识参数（发展系数），u 为待辨识内生变量（灰作用量）。设待辨识向量 a ⎛ = ⎜ ⎝ a u ⎞ ⎟ ⎠ ，按最小二乘法求得 = a ( B B B y T T 1 − ) ，式中 - 3 -

)1( )1( + X )1( ))2( 1 B = )1( )2( + X )1( ))3( 1 …… ( X X 1 − 2 1- ( 2 …… 1 2 X − ( y = )0( )0( X X … X )0( )2( )3( n )( )1( ( n )1 +− X )1( ( n )) 1 ；于是可得到灰色预测的离散时间响应函数为： u a u a X X X )1( t ( + )1 = ( X )0( )1( − ) e − at + (3) t + 为所得累加的预测值，将预测值还原即为： (1)( t ( )0( 1) )1 + t (), X t ( = n )1( )1( X t ( ( ) ( ) i 0 3,2,1 = ( ) 0 − Δ < 0.6745 计算小误差概率： (4) ) } S 1 令: ie = Δ 0 ( ) ( ) i = 0.6745 S 1 ；则： { P P e i = < S }0 P P )1 −+ { S − Δ ， 0 ( ) 0 = Δ 以及下表拟合好坏的评价指标：表 2 GM(1,1)拟合评价指标 P >0.95 >0.80 >0.70 70.0≤ C <0.35 <0.50 <0.65 ≥ 0.65 我们查找了 1994 年至 2007 年的美元对人民币平均汇率。对 1994 年至 2000 年做 GM（1，1）拟合预测[3]： http://www.paper.edu.cn 拟合情况好合格勉强合格不合格美元对人民币汇率灰色模型预测拟合曲线实测值预测值 8.7 8.65 8.6 8.55 8.5 8.45 8.4 8.35 8.3 率汇币民人对元美 8.25 1994 1995 1996 1998 1999 2000 图 3 1994-2000 美元对人民币汇率的灰色模型拟合曲线 1997 时序 - 4 -

其中指标为 c=0.1013，p=1，可见拟合得很好。表 3 灰色模型Ⅱ对 1994-2000 年汇率预测值与实际值对比预测值实测值残差 1994 8.6187 8.6187 0 1995 8.3327 8.3507 -0.018 1996 8.3190 8.3142 0.0048 1997 8.3054 8.2898 0.0156 1998 8.2918 8.2791 0.0127 http://www.paper.edu.cn 1999 8.2782 8.2796 -0.0014 2000 8.2646 8.2784 -0.0138 同样的，从上表我们可以知道灰色模型Ⅱ相对于模型Ⅰ而言更能刻画实际情况。于是我们利用灰色模型Ⅱ可以对 2001 年至 2020 年进行预测。预测结果为下表：年份 2001 2002 2003 2004 2005 预测值 8.2511 8.2375 8.224 8.2106 8.1971 表 4 灰色模型Ⅱ对 2001-2020 年汇率预测值年份 2006 2007 2008 2009 2010 预测值 8.1837 8.1702 8.1568 8.1435 8.1301 年份 2011 2012 2013 2014 2015 预测值 8.1168 8.1035 8.0902 8.0769 8.0637 年份 2016 2017 2018 2019 2020 预测值 8.0505 8.0373 8.0241 8.0109 7.9978 从上表可见汇率递减但降幅不大。但我们通过收集 2003 年至 2007 年数据观察到 2003 年以后美元对人民币平均汇率降幅明显，与 1994 年至 2000 年的汇率走势明显不同，于是有下面对 2003 年至 2007 年的平均汇率进行 GM（1，1）预测：美元对人民币汇率灰色模型预测拟合曲线实测值预测值 8.6 8.4 8.2 8 7.8 7.6 7.4 率汇币民人对元美 7.2 2003 2003.5 2004 2004.5 2005.5 2006 2006.5 2007 图 4 2003-2007 年美元对人民币汇率的灰色模型拟合曲线其中，c=0.2048，p=1，可见拟合得很好。 2005 时序 - 5 -

http://www.paper.edu.cn 表 5 灰色模型Ⅱ对 2003-2007 年汇率预测值与实际值对比 2006 2003 7.7004 8.2767 8.2767 7.8087 -0.1083 预测值实测值残差对 2008 年至 2020 年进行预测并预测美元与人民币等值的年份： 2005 8.0153 8.0702 -0.0549 2004 8.3431 8.2765 0.0666 0 2007 7.3979 7.3046 0.0933 年份 2008 2009 2010 2011 预测值 7.1072 6.828 6.5597 6.302 表 6 灰色模型Ⅱ对 2008-2020 年汇率预测值年份 2012 2013 2014 2015 预测值 6.0544 5.8166 5.588 5.3685 年份 2016 2017 2018 2019 预测值 5.1576 4.955 4.7603 4.5733 年份 2020 2055 2056 2057 预测值 4.3936 1.0804 1.0380 0.9972 根据此模型的预测，在 2057 年，人民币利率会超过美元汇率。同理可得，银行的存款利率（仅以存款 6 个月）以及贷款利率（仅拿贷款 5 年以上）的预测值结果如下：表 7 灰色模型Ⅱ对 2008-2020 年汇率、存贷款利率预测值年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 汇率 7.1072 6.828 6.5597 6.302 6.0544 5.8166 5.588 5.3685 5.1576 4.955 4.7603 4.5733 4.3936 存款利率（6 个月）贷款利率（5 年以上） 3.53 3.57 3.68 3.76 4.01 5.05 5.95 6.31 6.82 7.21 7.82 8.03 8.6 7.7191 7.8196 8.2418 8.6868 9.1558 9.6501 10.1712 10.7203 11.2991 11.9092 12.5521 13.2298 13.9441 3.2 GDP 与经济指标的拟合方程以及用拟合方程预测 2008-2020 年 GDP 我们利用 2000 年至 2008 年的国内生产总值 Y、人民币对美元的汇率 1X 、银行的存款利率 2X （仅以存款 6 个月）以及银行贷款利率 3X （仅拿贷款 5 年以上）各个数据来做拟合方程[2]可以得到拟合方程Ⅲ: 168649 1592918 18907 59. 15209 37. 62. X 79. − Yt − = 3 X 1 + X 2 - 6 -

设 XXX 3,2,1 的权重分别为 3,2,1 ρρρ ，通过回归方程比例系数，我们定义权重表达 http://www.paper.edu.cn 式： ρ i b i ∑= b i 则可得： ρ 1 = ,83.0 ρ 2 = ,08.0 ρ 3 = 09.0 。所以美元对人民币的汇率对 GDP 的影响是存款利率的 10.375 倍，是贷款利率的 9.222 倍，而且与 GDP 呈负相关关系，因此要保证我国 GDP 的发展，必须缩小美元对人民币的汇率，其次要提高存款利率和降低贷款利率。然后根据拟合方程Ⅲ以及用灰色模型Ⅱ预测得到的数据我们可以给出 2008 年至 2020 年的中国 GDP 的大致情况：年份 2008 2009 2010 2011 2012 表 8 拟合方程Ⅲ对 2008-2020 年 GDP 预测值 Yt 302031.7 347826.8 386765.7 423029.6 459721.9 年份 2013 2014 2015 2016 2017 Yt 506298.5 548687.4 580799.2 613180.5 641745 年份 2018 2019 2020 Yt 671703.1 693620.8 719090.8 4. 模型评价与结果分析 4.1 灰色模型的评价灰色模型是针对既无经验，数据又少的不确定性问题，即“少数据不确定性”这类问题提出的。它立足于有限信息空间，遵循新信息的作用大于老信息的原则。特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析具有十分独特的功效，从而得到了广泛的应用。通过对利率的拟合过程中，我们可以知道灰色模型 GM(1,1)较三次累加模型而言优越。但由于数据的利用率相对来说比较少，从而可能导致结果与将来的实际差距较大，因此提高数据的利用率便是该模型的改进方向。 4.2 结果分析我们用 1994 年到 2007 年的数据建立数学模型并预测在 2008 年达到 302031.7 亿元。十一届全国人大二次会议的政府工作报告指出 2008 年 GDP 超过 30 万亿元[5]，这与我们的预测是一致的。在上面建立数学模型的过程中，并且我们得到以下结论： 1）在 2057 年，人民币利率很可能会超过美元汇率，也就是说人民币比美元更加值钱； 2）中国国内生产总值 GDP 在 2008 年到 2020 年将会继续快速增长，并且预测在 2020 年达到 71 万亿元。 - 7 -

http://www.paper.edu.cn 参考文献 [1] 赵东方.数学模型与计算[M].北京:科学出版社,2007 [2] 王兵团.数学建模基础[M].北京:清华大学出版社,2004 [3] 谢乃明，刘思峰.离散 GM(1,1)模型与灰色预测模型建模机理[J].系统工程理论与实践,2005,25(1):93-99 [4] 刘思峰，党耀国，方志耕.灰色系统理论及其应用（第三版）[M].北京:清华大学出版社,2004 [5] 央视国际.视屏:2008 年 GDP 超过 30 万亿元比上年增长 9%［EB/OL］. http://video.sina.com.cn/news/c/v/2009-03-05/092432058.shtml，2009-3-5 Analysis of Chinese GDP Prediction Based On GM(1,1) Changshou Xu, Guowen Zhang, Liqin Cai, Dongfang Zhao Department of Mathematics and Statistics,Huazhong Normal University, Wuhan, (430079) E-mail：xuchangshou0604@foxmail.com Abstract We know the datas of GDP, dollar exchange rate with RMB are affected by national policies of different periods.To get the best results matching the real world,we collect the datas of China’s GDP, dollar exchange rate with RMB, saving and lending rate of the bank from the year of 1994,and analyse them.On one hand, we build a thrice summation model ,and predict the exchange rate between 2000 and 2007,but when comparing with the real number,we find the model isn’t very good,so we build GM(1,1) is well adapted to solve this problem.Then we perdict the data of saving and lending rate of the bank.On the other hand, we refer GDP as dependent variable and other targets as independent variables,then we can get a fitted equation .At last,with these data based on GM(1,1) and the fitted equation ,we can predict the chinese GDP.we can get two conclusions:till 2057 RMB will values more than dollar;In 2020 Chinese can reach over 71 tril.. Keywords:Chinese Economic Situation;GDP;Thrice Summation Model; GM(1,1); Data Fitting ,and through checkout we find GM(1,1) Ⅱ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅲ - 8 -

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