第 30卷 　第 4期 2008年 8月 武 汉 理 工 大 学 学 报 ·信 息 与 管 理 工 程 版 JOURNAL OF WUT ( INFORMATION & MANAGEM ENT ENGINEER ING) Vol. 30 No. 4 A ug. 2008 文章编号 : 1007 - 144X ( 2008 ) 04 - 0624 - 04 银行排队系统数据分析及窗口设置优化研究 杨米沙 (广东金融学院 工商管理系 , 广东 广州 510521 ) 摘 　要 :利用银行叫号机实测队长系列排队数据 ,运用排队论理论 ,分析了服务窗口排队规律 。考虑顾 客到达不均衡性 ,对不同工作日和不同工作时段用修正系数计算参数值 ,建立了不同输入率下的概率分 布函数及 MMC模型 ,使计算得到的顾客等待时间和队列长度等排队指标值更接近现实情况 。所给出的 改善银行排队状况的窗口设置设想与例证 ,可以作为银行排队管理改善的依据和一种简易可行的方法 。 关键词 :银行窗口优化 ;排队论 ;实测数据 ;随机过程 ;随机模拟 中图法分类号 : F830 　　　　文献标志码 : A 　　近几年商业银行的零售业务快速发展 ,银 行大堂是重要的零售阵地 ,在完成数据大集中 后 ,“网点转 型 ”和“服 务 创 新 ”成 为 两 大 关 注 热点 。很长时间以来 ,银行柜台零售业务一直 承受着超负 荷工 作 压 力 , 排 队 现 象 屡 见 不 鲜 , 柜台服务质量下降 ,顾客反应强烈 。针对如何 解决银行排队难的问题 ,目前许多银行已经陆 续采取了一 些措 施 , 但 仅 限 于 在 营 业 时 间 、服 务态度和信息沟通等方面的改善 ,对窗口设置 是否合理缺乏研究 [ 1 ] 。事实上 ,银行柜台排队 的本质是柜台生产与客户需求的矛盾 ,是柜台 生产能力与客户需求不匹配的表现 ,需要用随 机过程理论 和优 化 方 法 进 行 深 入 系 统 地 分 析 研究 ,而广泛使用的叫号机已经为这样的研究 提供了充分的数据支持 [ 2 - 4 ] 。 笔者采集 了广 州市 某商业 银 行 2007 年 1 ～4 月的窗口自动叫号机数据 ,通过分析排队 过程 ,来研究 建立 窗 口 设 置 优 化 模 型 , 为 改 善 排队状况提供管理依据和方法 。 1 　顾客到达与服务时间的概率分布及检验 1. 1　顾客到达与服务时间的概率分布 根据排队理论 ,大部分的顾客到达间隔和服 务时间的规律 , 基本符合指数型的概率密度函 数 [ 5 ] 。采用 2007年 1～4月的银行大堂叫号机信 息及排队数据 ,拟合顾客到达时间间隔的分布如 下 : F ( t) = 1 - e - 0. 011 1 t , 即顾客到达服从参数为 0. 011 1的概率分布 。拟合银行窗口对顾客的服 务时间的分布函数为 : F ( t) = 1 - e - 0. 003 9 t ,即服务 时间服从参数为 0. 003 9的负指数函数分布 。用 队长系列实测数据拟合的函数是否可靠 ,还需要 进一步检验确认 。 1. 2　顾客到达与服务时间分布的检验 1. 2. 1　检验方法 依据排队理论对拟合函数的检验方法 : 1 /μ = ∑xi fi n (μ、xi 为频数 , fi 为频率 ) , Pi = P ( xi <ξ< xi + 1 ) = e - μx i + 1 - e - μx i (ξ为顾客到达频数 ) , fi — = 4 nPi , x2 = ∑ i = 1 — ( fi - fi ) 2 — f i ( i = 0, …, 3) 。若检验 x2 0. 05则拒绝原假设 , 认为不严格服从泊松分布 ; 0. 05则接受原假设 , 认为服从负指数 > x2 若检验 x2 < x2 分布 。 1. 2. 2　取不同的时段来检验 取某年 1月 10日的数据进行分析 ,对不同的 时间段 、服务时间间隔和到达时间间隔进行服从 负指数分布的拟合检验 ,其结果如表 1所示 。 结果表明 ,在 1～2 h的时间段内顾客的到达 间隔分布基本上服从负指数分布 ,但各时段的参 数 λ的值不同。因此 ,一天顾客时间间隔的分布并 收稿日期 : 2008 - 05 - 08. 作者简介 :杨米沙 (1955 - ) ,女 ,湖南长沙人 ,广东金融学院工商管理系副教授. 基金项目 :广东省哲学社会科学“十一五 ”科研基金资助项目 (07G004). 

第 30卷 　第 4期 杨米沙 :银行排队系统数据分析及窗口设置优化研究 526 10点 时段 分布类型 landa 9点 表 1　某年 1月 10日各时段服务间隔与到达间隔分布检验结果 chi2 合格 vchi2 结论 服务间隔 0. 001 8 12. 984 0 15. 507 0 接受 到达间隔 0. 012 7 3. 894 1 15. 507 0 接受 服务间隔 0. 001 0 11. 080 0 15. 507 0 接受 到达间隔 0. 010 2 8. 570 3 15. 507 0 接受 服务间隔 0. 001 3 10. 851 0 15. 507 0 接受 到达间隔 0. 016 7 9. 505 7 15. 507 0 接受 服务间隔 0. 001 2 33. 076 0 15. 507 0 拒绝 到达间隔 0. 011 3 10. 086 0 15. 507 0 接受 服务间隔 0. 001 2 61. 643 0 15. 507 0 拒绝 到达间隔 0. 012 2 15. 811 0 15. 507 0 拒绝 服务间隔 0. 002 2 103. 520 0 15. 507 0 拒绝 到达间隔 0. 012 0 44. 910 0 15. 507 0 拒绝 9～10点 9～11点 9～15点 11点 不服从负指数分布 ,但可以理解为其是由不同的 小时段服从不同参数 λ的负指数分布共同组成 的 。服务时间分析结果也相同 。 1. 2. 3　不同时间段的顾客到达率 通过统计全部工作日各时段顾客的到达人数 分布和全部工作日各星期日到达总人数分布两组 数据 ,计算得到每天不同时段顾客到达间隔负指 数分布的 λ值和不同工作日顾客到达间隔负指 数分布 λ的值 ,结果整理如表 2和表 3所示 。 表 2　不同时间段顾客到达时间间隔负指数分布参数 λ值及其修正系数 8 9 10 11 时段 /点 12 13 14 15 16 17 平均 0. 001 9 0. 010 2 0. 011 7 0. 009 8 0. 008 4 0. 007 7 0. 011 9 0. 011 8 0. 008 3 0. 003 0 0. 008 5 0. 218 0 1. 200 0 1. 378 0 1. 156 0 0. 988 0 0. 906 0 1. 405 0 1. 386 0 0. 973 0 0. 357 0 1. 000 0 表 3　不同星期日顾客到达时间间隔负指数分布参数 λ值及其修正系数 星期一 0. 010 6 1. 244 0 星期二 0. 009 9 1. 165 2 星期三 0. 010 0 1. 174 4 星期四 0. 009 6 1. 127 0 星期五 0. 010 4 1. 218 1 星期六 0. 004 7 0. 552 1 星期日 0. 004 2 0. 495 9 平均 0. 008 5 1. 000 0 landa 修正系数 landa 修正系数 1 2 　　各不同星期日不同时段的顾客到达的时间间 隔可用不同 λ值的负指数分布来表述 ,λ值的计 算式如下 : λ( t) = 1 ( t) × 1 为不同时段修正系数 ; 2 ( t) ×λ— 2 为不同工作日修 式中 , 正系数;λ— 为总体平均 λ值 ,这里取 0. 008人 / s。 对于服务时间 ,可以认为是不同时段服从相 同的 μ值的负指数分布 ,μ值为 0. 002 87,即服务 0. 002 87人 / s,笔者讨论如何由传统的 MMC模型 转化到顾客到达率不同的 MMC模型 。 2　模型建立及求解 2. 1　模型的建立 2. 1. 1　相同输入率下的 MMC模型 银行平行服务台排队模型是标准 MMC 类 型 ,即到达间隔为负指数分布 ,服务时间也为负指 数分布 , c个服务台 ,顾客源无限 ,系统容量也无 限 ,先到先服务排队系统 [ 6 ] 。 建立排队模型是从顾客到达率不变的简单状 态入手 ,通过顾客进入排队系统概率参数 ,求得与 实际情况接近的顾客到达率不同的状态方程 [ 7 ] 。 模型假设 : ①顾客到达的概率服从参数 λ值 不变的泊松分布 , 即顾客到达率不变 。 ②服务时 间的概率服从参数为 μ的泊松分布 ,即服务强度 不变 。 ③工作的时间足够强 ,能使服务系统达到 稳定状态 。根据状态转移方程得到稳定状态转移 方程为 : μP1 =λP0 ( n + 1)μPn + 1 +λPn - 1 = (λ + nμ) Pn 　1≤n≤c cμPn + 1 +λPn - 1 = (λ + nμ) Pn λ 其中 , ∑ cμ≤1时 ,由递推关 Pn = 1 ,且 ρ= n > c ∞ n =0 系可以求得服务系统稳定时状态的概率为 : Pn = 1 n! 1 c! ( λ μ ) n P0 　　　n < c 1 cn - c ( λ μ ) n P0 n≥c 队列长为 : ∞ Lq = ∑ 等待时间为 : n = c +1 ( n - c) Pn = ( cρ) cρ c! ( 1 - ρ) 2 P0 ( cρ) cρ ( 1 -ρ) 2λP0 2. 1. 2　不同输入率下的 MMC模型 Lq λ = w q = c! 输入率即顾客到达率不同的原因 :一是各个 时间段到达人数的概率服从不同 λ值的泊松分 布 ,即各个时间段的到达概率不同 ;二是尽管顾客 不断到达 ,但并不一定都进入排队系统接受服务 , 看到前面等待人数太多而选择离开 ,即叫号机产 生了“弃号 ”(数据研究中发现弃号率最高时可达 20% ) ,使有效到达率减少 ,从而改变 λ值 [ 8 ] 。因 此 ,根据实际情况 ,对服务系统做如下假设 : (1)顾客在不同的时间段到达数量的概率服 

626 武汉理工大学学报 ·信息与管理工程版 2008年 8月 从不同参数 λ值的泊松分布 , 但各个小时内的到 达率相同 。 (2)服务时间的概率服从参数为 μ的泊松分 布 ,即服务强度不变 。 (3)顾客看到前面队长为 n 时 , 进入系统的 概率为 ak = c / n ( n > c) 。 (4)服从相同 λ值的泊松分布的时间段较 短 ,服务系统很难达到稳定模型 ,根据状态转移方 程得到稳定状态转移方程为 : μP1 =λP0 ( n + 1)μPn + 1 +λPn - 1 = (λ + nμ) Pn 　1≤n≤c 以时段 9～10点为例 ,λ值为 0. 010 2,用计 算机模拟的方法模拟 1 000 天 ,可以得到等待时 间的概率分布 ,如表 6所示 。 表 6　某时点不同窗口下等待时间小于 5 m in的概率 窗口数量 3 4 5 6 0. 954 等待时间 < 5 m in的概率 0. 669 0. 996 1. 000 　　用计算机模拟求解平均等待时间 、平均队长 , 可为银行服务系统提供宏观调控 [ 9 ] ,但从经济意 义上说银行服务系统并未达到最佳运营状态 [ 10 ] , 为此建立窗口设置优化模型 。 c λ + cμ) Pn n n > c 3　窗口设置优化及应用 3. 1　窗口设置优化 窗口优化原则是在满足顾客容许的等待时间 的条件下使窗口数量到达最少 。可建立如下优化 模型 : m in c ( t) Pt (w q < 5) > 0. 95 c ( t) /L s ( t) > 0. 9 s. t. 　 c ( t) /Ls ( t)即在时段 t内顾客平均进入服务 系统的概率 。计算结果如表 7所示 。 表 7　各工作日不同时段的窗口数 时段 /点 12 3 5 5 5 5 5 3 13 3 5 5 5 5 5 3 14 3 5 5 5 5 5 3 15 3 6 6 6 6 6 4 11 4 6 6 6 6 6 4 16 3 6 5 5 5 5 3 17 2 2 2 2 2 2 2 星期 10 3 6 5 5 5 5 3 9 日 3 一 3 二 3 三 3 四 3 五 3 六 3 3. 2　应用举例 根据表 7,周一到周五每天安排柜员总量一 样 ,最少两人 ,最多 6 人 ,而周日最多只需 4 人 。 因此全职柜员应该为 2～4人 。在每个工作日 ,由 于不同时段需要的窗口数不同 ,因此可以依据表 7对临窗柜员进行调配 。 图 1和图 2分别是周一和周五的柜员需求的 时间分布 。黑色部分是满负荷窗口数 ,无论哪个 工作日 ,必须有两个窗口全程运行 ,而灰色部分的 长短表明 ,需要一个窗口从开门运行到下午 4点 ; 周一 10点到 11点要增开全部剩余窗口 ,而周五 在 10点可以少开一个窗口 ,如此类推其他时段乃 至其他工作日 。通过预先设计和安排 ,可以在不 降低顾客满意度的情况下 ,提高柜员的工作效率 。 cμPn + 1 + c n - 1 λPn - 1 = ( 2. 2　模型求解 2. 2. 1　公式理论解法 可以取平均到达率为 0. 008,平均服务率为 0. 002 87,计算不同 c下的平均等待时间 ,平均逗 留时间 w q 和平均队长 L q。 理论解法只能求得状态稳定时的概率分布 , 对于模型有可变输入率而没有达到稳定的服务系 统 ,因为存在一定的随机性 ,所以不能求解 。 2. 2. 2　计算机模拟求解 通过计算机来模拟顾客的到达和服务台的服 务 ,可以对实际的服务系统进行仿真 ,随着模拟次 数的增加 ,就能求得服务系统各个指标的期望和 概率分布 。其计算结果如下 : (1)当 λ值一定时 ,不同窗口数情况下达到 稳态时的平均等待时间与平均队长结果比较如表 4和表 5所示 。 表 4　不同窗口数稳态时的平均等待时间 窗口数 3 4 理论计算 /m in 147. 87 2. 79 计算机模拟 /m in 81. 81 2. 85 5 0. 64 0. 58 6 0. 18 0. 18 7 8 0. 05 0. 01 0. 05 0. 01 表 5　不同窗口数稳态时的平均队长 窗口数 3 4 5 6 7 8 0. 09 0. 09 0. 32 0. 28 理论计算 /人 75. 41 1. 40 0. 02 0. 01 计算机模拟 /人 41. 60 1. 45 0. 02 0. 01 　　 (2)当 λ值随时间改变时 ,将一天的工作时按 小时分成具有不同 λ值的工作阶段来求解。因为 每个阶段只有一小时 ,时间较短 ,可以认为 λ值在 一个小时内是不变的。在窗口较少的情况下可能 达不到稳态 ,用公式求解的结果反而不真实 ,用计 算机模拟的方法模拟的结果更符合实际情况。 因为顾客每天到达银行的时间间隔和服务时 间都是随机数 ,所以在窗口一定的情况下 ,不同工 作日各时段的平均等待时间 、平均队长也是一个 随机变量 。 

2 第 30卷 　第 4期 杨米沙 :银行排队系统数据分析及窗口设置优化研究 726 　　以叫号机实际数据为基础 ,运用排队理论及 模型计算得出的分时段窗口优化数据具有真实可 靠性 ,为银行设计柜台窗口数量 、柜员排班提供了 量化依据 ,同时也提高了叫号机信息的利用价值 。 参考文献 : [ 1 ] 　温 　彬. 商业银行核心竞争力研究 [ J ]. 国际金融研 究 , 2004 (4) : 58 - 64. [ 2 ] 　王 　勇 ,孙 　薇 ,李道华. 排队管理系统在银行管理 中的应用 [ J ]. 黑龙江大学自然科学学报 , 2006 ( 4) : 156 - 162. [ 3 ] 　刘法胜. 排队论与银行的客户服务系统 [ J ]. 山东交 通学院学报 , 2003 (1) : 83 - 86. [ 4 ] 　储庆华 ,储全胜. 电话银行排队理论的科学视角 [ J ]. 中国金融电脑 , 2005 (4) : 79 - 81. [ 5 ] 　胡运权. 运筹学 [M ]. 北京 :清华大学出版社 , 1997. [ 6 ] 　吴 　军. LH - SY证券营业部顾客服务系统排队模 型研究 [ J ]. 西安工程科技学院学报 , 2003, 17 ( 2) : 357 - 361. [ 7 ] 　黄广民 ,孙秀彬. 利用排队理论分析银行在线事务 处理系统的性能 [ J ]. 科技平台 , 2005 (8) : 76 - 77. [ 8 ] 　L ILLO R E. Op timal control of an M / G/1 queue with impatient p riority customers[ J ]. Naval Research Lo gistics, 2001 (48) : 201 - 209. [ 9 ] 　范文宇 ,苑 　辉. 基于排队论的银行客户服务系统 问题研究 [ J ]. 价值工程 , 2005 (12) : 126 - 128. [ 10 ] 　于 　由. 服务营销中的排队问题分析 [ J ]. 华东经 济管理 , 2000 (5 - 6) : 2 - 3. 4　结 　论 (1)通过统计不同工作日 、不同时段的顾客 到达率与窗口的服务强度 ,验证了排队过程服从 泊松分布 ,并且在不同时段具有不同的 λ值 。 (2)根据到达分布和服务时间分布进行计算 机模拟 ,计算不同窗口下的服务系统的各项指标 , 如平均等待时间和平均队长等 。 (3)根据客户允许等待时间最少的优化原 则 ,调整窗口数量 ,在不同的工作段 ,不同的工作 日设置不同数量的窗口数量 。以费用最小为原则 的窗口优化有待进一步研究 。 Bank Queu ing System Da ta Ana lysis and Coun ter Setting O ptim iza tion Research YAN G M isha Abstract:Based on the queuing theory, the data series recorded by bank queuing machines was used to analyze the queuing rules of service counters. Considering the fluctuation of customer arrival and modifying the data according to different work days and work hour periods, a multi - input - rate MMC model and p robability distribution function was used to make the calculation re sults of indicators such as customer waiting time and queue length closer to the reality. Some advices and examp les were p roposed on bank counter setting to imp rove the bank queuing. The evidences on the bank queuing management imp rovement and simp le - and - feasible quantify method were illustrated. Key words: bank counter op tim ization; queuing theory; measured data; YANG M isha:A ssoc. Prof. ; School of Business and Management, Guangdong University of Finance, Guangzhou 510521, China. [编辑 :王志全 ] random p rocess; random simulation