第1页 / 共16页
第2页 / 共16页
第3页 / 共16页
第4页 / 共16页
第5页 / 共16页
第6页 / 共16页
第7页 / 共16页
第8页 / 共16页
三次样条曲线插值c#源代码.pdf
三次样条曲线插值的基本原理及其 C#实现
三次样条曲线插值的基本原理及其 C#实现
作 者: simxpert
2018.5.14
I
三次样条曲线插值的基本原理及其 C#实现
作者简介：
本人长期从事结构强度仿真计算方面的学习和工作，可以为您解决各种结构强度仿真分
析以及专业计算软件定制方面的工作。
扫描二维码可添加本人微信：
II
三次样条曲线插值的基本原理及其 C#实现
目 录
1. 简介 .................................................................................................... 1
2. 三次样条插值的基本数学原理 ......................................................... 1
2.1. 插值的问题的提出 .................................................................... 1
2.2. 插值函数的待定系数变量和约束方程 .................................... 2
2.3. 插值函数的最终表达式 ............................................................ 3
2.4. 添加边界条件求解 mi ............................................................... 3
2.5. 根据插值函数进行插值计算 .................................................... 4
3. 三次样条插值函数的 C#实现 ............................................................ 4
4. SPLine 类的使用方法 ......................................................................... 6
5. 附录 1‐SPLine 类的源代码 ................................................................. 7
6. 附录 2‐Chase 类的源代码 ................................................................ 11
III
三次样条曲线插值的基本原理及其 C#实现
三次样条曲线插值的数学原理及其 C#实现
作者: simxpert
1. 简介
在工程实践中经常会用到插值，最简单的插值是在相邻的两个样本点之间线
性插值，有时候希望精度高一点，一般都会用三次样条曲线插值。
本文先从理论上讲解三次样条插值的数学原理，然后讲解使用 C#实现三次
样条插值算法的基本过程，最后以实例对算法进行验证。
2. 三次样条插值的基本数学原理
本文并不打算详细讲解完整的三次样条曲线的推导过程，只是梳理一下三次
样条曲线差值的大概的脉络，详细的推导过程可以参考随意一本数值计算教程。
2.1. 插值的问题的提出
在给定的区间[a,b]上有 N 个点，已知其横坐标为：a=x0
三次样条曲线插值的基本原理及其 C#实现
2.2. 插值函数的待定系数变量和约束方程
为了得到精度比较高而且过渡比较平滑的曲线，最常见的就是使用三次样条
插值。如果我们把前面讲的子区间的线性函数提升为 3 次多项式：
xaxaxaaxSi
)(
3
2
1
2
0
3
(1)
为了保证曲线的连续性和光滑性，必须要对每个区间的插值函数提出一些要求，
这些要求包括：
1).连续性。除了两个边界节点外，任意一个节点 xi 同时属于[xi-1,xi]和[xi,xi+1]这两
个相邻的子区间。我们必须要保证在用这两个区间上的插值函数计算出来的 xi 的
纵坐标值相等，而且要等于已知的 yi 值。即：
Si-1(xi)=Si(xi)=yi,i=1,2,…,n-1。
(2)
式(2)包含了 2n-2 个方程，再加两个边界点上 S0(x0)=y0,Sn-1(xn)=yn，共计得到 2n
个方程。
2).一阶导数和二阶导数连续。这个约束条件是为了保证插值函数的曲线足够的
光滑。除了两头的节点外，任意一个中间节点的一阶导数和二阶导数必须连续。
即：
xS
i
(
1
'
i
)
'
(
xS
ii
,i=1,2,…,n-1
)
'‘
xS
i
i
(
1
)
xS
i
'’
(
i
,i=1,2,…,n-1
)
(3)
(4)
式(3),(4)可以得到 2n-2 个方程。
由于上述约束条件总计可以得到 4n-2 个方程。从(1)式可以看出，每个插值
函数有 4 个未知的待定系数，[a,b]区间内有 n 个子区间，故一共有 4n 个未知待
定系数。未知的变量的数目比约束方程的数目多 2，也就是说我们还缺少两个约
束条件。
缺少的这两个约束条件可以由边界条件来指定。也就是在两个边界点上各施
加一个边界条件。边界条件是是人为指定的，常见的边界条件有 4 种，这个我们
2
三次样条曲线插值的基本原理及其 C#实现
在后面会提到。
2.3. 插值函数的最终表达式
根据前面的论述，我们只要求出每个子区间的插值函数的 4 个系数 a0, a1,
a2,a3 就能完全确定这 n 个插值函数。但是实际中，为了数学推导的方便，我们
并不会直接求出这 4 个变量，而是采取了间接的表达方式来描述每个插值函数。
不同的推导方法，得到的表达形式也各不相同，常见的有三转角法，三弯矩
法，B 样条基函数法等方法。本文并不打算进行详细的推导。因为没必要，任何
一本数值计算的书上都可以找到非常详细的。在这里我直接给出推导结果:
yxS
i
)(
i
(
0
xx
i
h
i
)
y
i
0
1
x
i
(
1
h
i
x
)
hm
ii
(
1
xx
i
h
i
)
(5)
hm
i
i
1
(
1
x
i
1
h
i
x
)
其中
x
,[x
i
x
i
],
xh
i
i
1
1
ix
,
i
1,0
,...,
n
。
1
(x)
(2x
1)(x
x
)(,1)-
2
1
xx
(
2
)1
(6)
式(5)就是插值函数的最终表达式。式(5)看起来比(1)复杂多了，其实仔细看，如
果全部展开，仍然是一个三次多项式。在这个公式中，只有 im 是未知的，其他都
可以根据已知条件直接算出来的。剩下的任务就是如何求出 im 。
我们把(5)所代表的插值函数代入到之前说的约束条件中(2),(3),(4)中，经过
整理，可以得到式(7)：
m
ii
1
m
2
i
m
ii
1
g
i
，i=1,2,…n-1.
(7)
其中
i
h
i
hh
i
i
1
，
i
-1
i
，
g
i
2.4. 添加边界条件求解 mi
(3
i
yy
i
i
1
i
h
i
1
y
i
1
h
i
y
i
。
)
前面讲过，我们还需要添加两个边界条件才能求解出位置系数。常见的边界
3
三次样条曲线插值的基本原理及其 C#实现
条件大概有三、四种。本文不打算涉及所有的边界条件，只选用比较常用的第二
类边界条件(又叫”自然边界条件”)：两个边界点的二阶导数为给定的值，其中最
常见给定值为 0，即在两个边界点上有：
xS
( 0
''
0'
)
0
，
nxS
(''
1n'
)
0
(8)
根据式(7)，结合边界条件(8)，可以推导出求解系数 mi 的矩阵：
2
2
1
2
3
2
2
4
3
2
2
n
2
n
1
m
1
m
2
m
3
m
n
m
n
2
1
=
1g
1
n
2
1
m
0
g
2
g
3
g
n
g
n
2
1
(9)
从上面的公式中λ, μ, g 都是可以根据已知条件算出来的，只有 mi 是未知
量。式(9)中的矩阵是一个典型的严格对角占优的对角方程组，可以用追赶法很快
得到解。
2.5. 根据插值函数进行插值计算
在根据 2.4 章中的(9)式求得 mi 之后，代入到 2.3 章中的式(5)，即得到所有
的子区间上的插值函数 Si(x)。
对于一个给定的待插值点 xt，我们先要确定 xt 落入到哪个子区间，然后调用
该子区间的插值函数 Si(x)即可求出 xt 对应的插值 yt。
3. 三次样条插值函数的 C#实现
在 C#中实现了三次样条插值函数，实现过程封装在 SPLine 类中。SPLine
类的成员变量为：
class SPLine
{
double[] Xi;//存储已知点的x值
double[] Yi;//存储已知点的y值；
double[] A;//存储追赶法矩阵中的A
4
三次样条曲线插值的基本原理及其 C#实现
double[] B; //存储追赶法矩阵中的B
double[] C; //存储追赶法矩阵中的C
double[] H;//存储前面公式中的hi
double[] Lamda;//存储前面公式中的λi
double[] Mu;//存储μi
double[] G;//存储gi
double[] M;//存储待求的未知量mi
int N;//已知点的总数
int n;//n=N-1。 n为区间数，N为点数。
}
成员函数介绍：
private void GetH()
功能是求取前文中的h。hi=xi-xi-1。
private void GetLamda_Mu_G()
功能是根据已知条件求出λ, μ, g。计算公式见第3页中间的公式。
private void GetABC()
功能是求出追赶法中的矩阵里面的A,B,C，至于追赶法里面的A,B,C是怎么回
事，这里简单给一个截图：
数组A，B，C分别保存的是上图中的a,b,c。
上图中的待求变量x对应本文中的待求变量m。上图中的d对应本文中的数组G。
private double fai0(double x)
private double fai1(double x)
这两个函数对应2.3章中的式(6)中的两个三次多项式。
5
private int GetSection(double x)
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
