2004 年重庆高考理科数学真题及答案
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)
1.(5 分)函数
y
log (3
1
2
x
的定义域是: (
2)
)
A.[1, )
B. 2(
3
,
)
C. 2[
3
,1]
D. 2(
3
,1]
2.(5 分)设复数 1
,则 2
Z
2
i
Z
2
Z
(
)
A. 3
B.3
C. 3i
D. 3i
3.(5 分)圆 2
x
2
y
2
x
4
y
的圆心到直线
3 0
x
y 的距离为: (
1
)
A.2
B. 2
2
C.1
D. 2
2
x
x
A. ( 1 , 0)
4.(5 分)不等式
1
(1 , )
(0 ,1)
5.(5 分) sin163 sin 223
C. ( 1 , 0)
A. 1
2
2
的解集是 (
)
B. ( , 1)
D. ( , 1)
(0
,1)
, )
(1
sin 253 sin 313
等于 (
B. 1
2
)
C. 3
2
2 ) (
a
b
6.(5 分)若向量 a
与 的夹角为 60 ,|
b
b
| 4,(
a
D. 3
2
72
,则向量 a 的模为 (
)
3 )
b
A.2
B.4
C.6
D.12
7.(5 分)一元二次方程 2
ax
2
x
1 0
, (
a 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 (
0)
)
A. 0
a
B. 0
a
C.
a
1
D. 1a
8.(5 分)设 P 是 60 的二面角 l 内一点,PA 平面,PB 平面 ,A ,B 为垂足,
PA ,
4
PB ,
2
则 AB 的长为: (
)
A. 2 3
B. 2 5
C. 2 7
D. 4 2
9.(5 分)若数列{ }na 是等差数列,首项 1
a , 2003
0
a
a
2004
, 2003a . 2004
a
0
,则使前 n 项和
0
nS 成
0
立的最大自然数 n 是 (
)
A.4005
B.4006
C.4007
D.4008
10.(5 分)已知双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
1
, (
a
0,
b
的左,右焦点分别为 1F , 2F ,点 P 在双曲线的右支上,
0)
PF
且 1
|
| 4 |
PF
2
|
,则此双曲线的离心率 e 的最大值为 (
)
A. 4
3
B. 5
3
C.2
D. 7
3
11.(5 分)某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛,其中一班有 3 位,二班有 2 位,其它班有 5
位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有 3 位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而
二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为: (
A. 1
10
)
C. 1
40
12.(5 分)若三棱锥 A BCD
B. 1
20
的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等,则动点 P
D. 1
120
的轨迹与 ABC
组成图形可能是: (
)
A.
C.
B.
D.
二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分)
13.(4 分)若在
(1
)ax
5
的展开式中 3x 的系数为 80 ,则 a
.
14.(4 分)曲线
y
与
2
21
x
2
y
31
x
4
在交点处的切线夹角是
2
.(以弧度数作答)
15.(4 分)如图 1P 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 1P 的左下端剪去一个半径为 1
2
的半圆后得到图形 2P ,
然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得圆形 3P 、 4P 、 、 nP ,记纸板 nP
的面积为 nS ,则 lim n
S
n
.
16.(4 分)直线:
y
(
k x
3) 5
与椭圆:
三、解答题(共 6 小题,满分 74 分)
x
y
3 2cos (0
1 4sin
恰有一个公共点,则 k 取值是
2 )
.
17.(12 分)求函数
y
4
sin
x
2 3sin cos
x
x
4
cos
x
的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0 , ] 上的
单调递增区间.
18.(12 分)设一汽车在前进途中要经过 4 个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 3
4
,遇到红灯(禁止
通行)的概率为 1
4
求:
.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进,表示停车时已经通过的路口数,
(Ⅰ)的概率的分布列及期望 E;
(Ⅱ)停车时最多已通过 3 个路口的概率.
19.(12 分)如图,四棱锥 P ABCD
的底面是正方形,PA 底面 ABCD ,AE
PD , / /
EF CD ,AM EF
(1)证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线;
(2)若
PA
3
AB
,求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值.
20.(12 分)设函数 ( )
f x
(
x x
1)(
, (
x a
)
a
1)
(1)求导数 ( )
f x 并证明 ( )
f x 有两个不同的极值点 1x , 2x ;
(
f x
(2)若不等式 1
)
(
f x
2
) 0
成立,求 a 的取值范围.
21.(12 分)设 0
p 是一常数,过点 (2 ,0)
Q p 的直线与抛物线 2
y
2
px
交于相异两点 A 、B ,以线段 AB 为
直径作圆 (H H 为圆心).试证抛物线顶点在圆 H 的圆周上;并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程.
22.(14 分)设数列{ }na 满足: 1
a ,
2
a
n
1
a
n
1 (
a
n
n N
.
)
*
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)令
b
n
na
a
n
n
2
n
1
对
n N 恒成立;
*
(
n N
,判断 nb 与 1nb 的大小,并说明理由.
)
*
2004 年重庆市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)
1.(5 分)函数
y
log (3
1
2
x
的定义域是: (
2)
)
A.[1, )
B. 2(
3
,
)
C. 2[
3
,1]
D. 2(
3
,1]
2)
x
,
0
【解答】解:要使函数有意义: (3
log
1
2
log (3
即: 1
2
x
2)
log 1
1
2
2 1
解得
可得 0 3
x
2(
3
故选: D .
x
,1]
2.(5 分)设复数 1
,则 2
Z
2
i
Z
2
Z
(
)
A. 3
B.3
C. 3i
D. 3i
【解答】解:复数 1
,
2
i
Z
2
Z
2
Z
(1
2
2 )
i
2(1
2 )
i
1 2 2
i
2 2 2
i
3
故选: A .
3.(5 分)圆 2
x
2
y
2
x
4
y
的圆心到直线
3 0
x
y 的距离为: (
1
)
A.2
B. 2
2
C.1
D. 2
【解答】解:圆 2
x
4
y
的圆心 (1, 2) ,
3 0
2
2
y
x
y 的距离: 2
2
1
2
它到直线
x
故选: D .
4.(5 分)不等式
A. ( 1 , 0)
2
x
x
1
(1 , )
2
的解集是 (
)
B. ( , 1)
,1)
(0
C. ( 1 , 0)
(0 ,1)
【解答】解:法一:
x
2
x
可得 (
x x
1)(
0
1)
可得 1
x
x 、 1
2
2
(1
, )
D. ( , 1)
1)
即 (
x x
1
x
0
0
x
2
2
得
2
1
1
或 1x .
0
x
x
法二:验证,
不满足不等式,排除 B 、 C 、 D .
故选: A .
5.(5 分) sin163 sin 223
A. 1
2
sin 253 sin 313
B. 1
2
等于 (
)
C. 3
2
D. 3
2
【解答】解:原式 sin163 sin 223
cos163 cos 223
cos(163
223 )
cos( 60 )
.
1
2
故选: B .
6.(5 分)若向量 a
与 的夹角为 60 ,|
b
b
a
2 ) (
a
b
3 )
b
| 4,(
72
,则向量 a 的模为 (
)
A.2
B.4
C.6
D.12
【解答】解: (
a
2 ) (
b
a
3 )
b
|
a
2
|
|
||
a b
| cos60
6 |
b
2
|
|
a
2
|
2 |
a
| 96
,
72
|
a
2
|
2 |
a
| 24 0
.
(|
a
| 6) (|
a
| 4)
0
.
a .
| 6
|
故选: C .
7.(5 分)一元二次方程 2
ax
2
x
1 0
, (
a 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 (
0)
)
A. 0
a
B. 0
a
C.
a
1
D. 1a
【解答】解:一元二次方程 2
ax
2
x
,(
1 0
a 有一个正根和一个负根的充要条件是 1
x
0)
x
2
1
a
,即
0
a ,
0
而 0
a 的一个充分不必要条件是
a
1
故选: C .
8.(5 分)设 P 是 60 的二面角 l 内一点,PA 平面,PB 平面 ,A ,B 为垂足,
PA ,
4
PB ,
2
则 AB 的长为: (
)
A. 2 3
B. 2 5
C. 2 7
D. 4 2
【解答】解:设平面 PAB 与二面角的棱 l 交于点 Q ,
连接 AQ 、 BQ 可得直线 l 平面 PAQB ,
所以 AQB
是二面角 l 的平面角,
AQB
60
,
故 PAB
中,
APB
180
60
120
,
PA ,
4
PB ,
2
由余弦定理得: 2
AB
2
PA
2
PB
2
PA PB
cos120
, 2
4
2
2
2 4 2 (
1
2
)
,
28
所以
AB
28
2 7
,
故选: C .
9.(5 分)若数列{ }na 是等差数列,首项 1
a , 2003
0
a
a
2004
, 2003a . 2004
a
0
,则使前 n 项和
0
nS 成
0
立的最大自然数 n 是 (
)
A.4005
B.4006
C.4007
D.4008
【解答】解:
解法 1:由 2003
a
a
2004
, 2003
a
0
a
2004
0
,知 2003a 和 2004a 两项中有一正数一负数,又 1
a ,则公差为负数,
0
否则各项总为正数,故 2003
a
a
2004
,即 2003
a
, 2004
a
0
.
0
S
4006
S
4007
4006(
a
1
2
a
4006
)
4006(
a
2003
2
a
2004
)
,
0
4007 (
2
a
1
a
4007
)
4007
a
2004
0
,
故 4006 为
nS 的最大自然数.
0
故选 B .
解 法 2 : 由 1
a , 2003
a
0
a
2004
, 2003
a
0
a
2004
0
, 同 解 法 1 的 分 析 得 2003
a
2003S 为 nS 中的最大值.
nS 是关于 n 的二次函数,如草图所示,
, 2004
a
0
,
0
到对称轴的距离比 2004 到对称轴的距离小,
2003
4007
2
在对称轴的右侧.
根据已知条件及图象的对称性可得 4006 在图象中右侧零点 B 的左侧,
4007,4008 都在其右侧,
nS 的最大自然数是 4006.
0
故选: B .
10.(5 分)已知双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
1
, (
a
0,
b
的左,右焦点分别为 1F , 2F ,点 P 在双曲线的右支上,
0)
| 4 |
PF
2
|
,则此双曲线的离心率 e 的最大值为 (
)
|
PF
且 1
A. 4
3
B. 5
3
C.2
D. 7
3
ex a
,
【解答】解:设 ( ,
|PF
P x y ,由焦半径得 1
)
|
ex a
|PF
, 2
|
ex a
4(
ex a
,化简得 5
a
3
x
e
)
,
p 在双曲线的右支上,