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2004年重庆高考理科数学真题及答案.doc

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2004 年重庆高考理科数学真题及答案 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)函数 y  log (3 1 2 x  的定义域是: ( 2) ) A.[1, ) B. 2( 3 ,  ) C. 2[ 3 ,1] D. 2( 3 ,1] 2.(5 分)设复数 1   ,则 2 Z 2 i Z 2 Z  ( ) A. 3 B.3 C. 3i D. 3i 3.(5 分)圆 2 x  2 y  2 x  4 y   的圆心到直线 3 0 x y  的距离为: ( 1 ) A.2 B. 2 2 C.1 D. 2 2  x x  A. ( 1 , 0) 4.(5 分)不等式  1 (1 , ) (0 ,1) 5.(5 分) sin163 sin 223 C. ( 1 , 0)  A. 1  2 2 的解集是 ( ) B. ( , 1) D. ( , 1) (0   ,1)   , ) (1 sin 253 sin 313   等于 (   B. 1 2 ) C. 3 2   2 ) ( a b   6.(5 分)若向量 a 与 的夹角为 60 ,|  b  b | 4,(   a D. 3 2   72 ,则向量 a 的模为 ( )  3 ) b  A.2 B.4 C.6 D.12 7.(5 分)一元二次方程 2 ax 2 x 1 0   , ( a  有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 ( 0) ) A. 0 a  B. 0 a  C. a   1 D. 1a  8.(5 分)设 P 是 60 的二面角 l   内一点,PA  平面,PB  平面 ,A ,B 为垂足, PA  , 4 PB  , 2 则 AB 的长为: ( ) A. 2 3 B. 2 5 C. 2 7 D. 4 2 9.(5 分)若数列{ }na 是等差数列,首项 1 a  , 2003 0 a a 2004  , 2003a . 2004 a 0  ,则使前 n 项和 0 nS  成 0 立的最大自然数 n 是 ( ) A.4005 B.4006 C.4007 D.4008 10.(5 分)已知双曲线 2 2 x a  2 2 y b 1  , ( a 0, b  的左,右焦点分别为 1F , 2F ,点 P 在双曲线的右支上, 0) PF 且 1 | | 4 |  PF 2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为 ( )
A. 4 3 B. 5 3 C.2 D. 7 3 11.(5 分)某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛,其中一班有 3 位,二班有 2 位,其它班有 5 位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有 3 位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而 二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为: ( A. 1 10 ) C. 1 40 12.(5 分)若三棱锥 A BCD  B. 1 20 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等,则动点 P D. 1 120 的轨迹与 ABC 组成图形可能是: ( ) A. C. B. D. 二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 13.(4 分)若在 (1 )ax 5 的展开式中 3x 的系数为 80 ,则 a  . 14.(4 分)曲线 y   与 2 21 x 2 y 31 x 4  在交点处的切线夹角是 2 .(以弧度数作答) 15.(4 分)如图 1P 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 1P 的左下端剪去一个半径为 1 2 的半圆后得到图形 2P , 然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得圆形 3P 、 4P 、 、 nP  ,记纸板 nP 的面积为 nS ,则 lim n S n   . 16.(4 分)直线: y  ( k x  3) 5  与椭圆: 三、解答题(共 6 小题,满分 74 分)   x   y  3 2cos (0   1 4sin    „ „ 恰有一个公共点,则 k 取值是 2 )   .
17.(12 分)求函数 y  4 sin x  2 3sin cos x x  4 cos x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0 , ] 上的 单调递增区间. 18.(12 分)设一汽车在前进途中要经过 4 个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 3 4 ,遇到红灯(禁止 通行)的概率为 1 4 求: .假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进,表示停车时已经通过的路口数, (Ⅰ)的概率的分布列及期望 E; (Ⅱ)停车时最多已通过 3 个路口的概率. 19.(12 分)如图,四棱锥 P ABCD  的底面是正方形,PA  底面 ABCD ,AE PD , / / EF CD ,AM EF (1)证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线; (2)若 PA  3 AB ,求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值. 20.(12 分)设函数 ( ) f x  ( x x  1)(  , ( x a ) a  1) (1)求导数 ( ) f x 并证明 ( ) f x 有两个不同的极值点 1x , 2x ; ( f x (2)若不等式 1 )  ( f x 2 ) 0 „ 成立,求 a 的取值范围. 21.(12 分)设 0 p  是一常数,过点 (2 ,0) Q p 的直线与抛物线 2 y  2 px 交于相异两点 A 、B ,以线段 AB 为 直径作圆 (H H 为圆心).试证抛物线顶点在圆 H 的圆周上;并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程.
22.(14 分)设数列{ }na 满足: 1 a  , 2 a n   1 a n  1 ( a n n N  . ) * (Ⅰ)证明: (Ⅱ)令 b n  na a n n  2 n 1  对 n N 恒成立; * ( n N  ,判断 nb 与 1nb  的大小,并说明理由. ) *
2004 年重庆市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)函数 y  log (3 1 2 x  的定义域是: ( 2) ) A.[1, ) B. 2( 3 ,  ) C. 2[ 3 ,1] D. 2( 3 ,1] 2) x … , 0 【解答】解:要使函数有意义: (3 log 1 2 log (3 即: 1 2 x  … 2) log 1 1 2 2 1  „ 解得 可得 0 3 x 2( 3 故选: D . x  ,1] 2.(5 分)设复数 1   ,则 2 Z 2 i Z 2 Z  ( ) A. 3 B.3 C. 3i D. 3i 【解答】解:复数 1   , 2 i Z 2   Z 2 Z (1   2 2 ) i  2(1  2 ) i    1 2 2 i   2 2 2 i 3  故选: A . 3.(5 分)圆 2 x  2 y  2 x  4 y   的圆心到直线 3 0 x y  的距离为: ( 1 ) A.2 B. 2 2 C.1 D. 2 【解答】解:圆 2 x 4 y   的圆心 (1, 2) , 3 0 2 2 y   x  y  的距离: 2 2 1  2 它到直线 x 故选: D . 4.(5 分)不等式 A. ( 1 , 0) 2  x x   1 (1 , ) 2 的解集是 ( ) B. ( , 1)   ,1) (0
C. ( 1 , 0) (0 ,1) 【解答】解:法一: x  2  x 可得 ( x x  1)( 0 1)   可得 1 x x   、 1 2 2 (1   , ) D. ( , 1) 1) 即 ( x x  1 x  0 0   x  2 2 得   2 1 1     或 1x  . 0 x x 法二:验证, 不满足不等式,排除 B 、 C 、 D . 故选: A . 5.(5 分) sin163 sin 223  A. 1  2 sin 253 sin 313    B. 1 2  等于 ( ) C. 3 2  D. 3 2 【解答】解:原式 sin163 sin 223      cos163 cos 223    cos(163   223 )   cos( 60 )    . 1 2 故选: B . 6.(5 分)若向量 a 与 的夹角为 60 ,|  b  b  a    2 ) ( a b  3 ) b  | 4,(    72 ,则向量 a 的模为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.12 【解答】解: ( a  2 ) ( b a  3 ) b |  a 2 |  | || a b | cos60   6 | b 2 | |  a 2 | 2 |  a | 96    , 72 |   a 2 | 2 | a | 24 0   .  (| a | 6) (|   a | 4)   0 . a  . | 6 | 故选: C . 7.(5 分)一元二次方程 2 ax 2 x 1 0   , ( a  有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 ( 0) ) A. 0 a  B. 0 a  C. a   1 D. 1a  【解答】解:一元二次方程 2 ax 2 x   ,( 1 0 a  有一个正根和一个负根的充要条件是 1 x 0)  x 2  1 a  ,即 0 a  , 0 而 0 a  的一个充分不必要条件是 a   1
故选: C . 8.(5 分)设 P 是 60 的二面角 l   内一点,PA  平面,PB  平面 ,A ,B 为垂足, PA  , 4 PB  , 2 则 AB 的长为: ( ) A. 2 3 B. 2 5 C. 2 7 D. 4 2 【解答】解:设平面 PAB 与二面角的棱 l 交于点 Q , 连接 AQ 、 BQ 可得直线 l  平面 PAQB , 所以 AQB 是二面角 l   的平面角, AQB  60  , 故 PAB 中, APB  180   60   120  , PA  , 4 PB  , 2 由余弦定理得: 2 AB  2 PA  2 PB  2 PA PB  cos120  , 2 4   2 2 2 4 2 (      1 2 )  , 28 所以 AB  28  2 7 , 故选: C . 9.(5 分)若数列{ }na 是等差数列,首项 1 a  , 2003 0 a a 2004  , 2003a . 2004 a 0  ,则使前 n 项和 0 nS  成 0 立的最大自然数 n 是 ( ) A.4005 B.4006 C.4007 D.4008 【解答】解: 解法 1:由 2003 a a 2004  , 2003 a 0  a 2004  0 ,知 2003a 和 2004a 两项中有一正数一负数,又 1 a  ,则公差为负数, 0 否则各项总为正数,故 2003 a a 2004 ,即 2003 a  , 2004 a 0  . 0
 S 4006  S 4007   4006( a  1 2 a 4006 )  4006( a 2003 2  a 2004 )  , 0 4007 (  2 a 1  a 4007 )  4007  a 2004  0 , 故 4006 为 nS  的最大自然数. 0 故选 B . 解 法 2 : 由 1 a  , 2003 a 0 a 2004  , 2003 a 0  a 2004  0 , 同 解 法 1 的 分 析 得 2003 a 2003S 为 nS 中的最大值. nS 是关于 n 的二次函数,如草图所示,  , 2004 a 0  , 0 到对称轴的距离比 2004 到对称轴的距离小, 2003  4007 2 在对称轴的右侧. 根据已知条件及图象的对称性可得 4006 在图象中右侧零点 B 的左侧, 4007,4008 都在其右侧, nS  的最大自然数是 4006. 0 故选: B . 10.(5 分)已知双曲线 2 2 x a  2 2 y b 1  , ( a 0, b  的左,右焦点分别为 1F , 2F ,点 P 在双曲线的右支上, 0) | 4 |  PF 2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为 ( ) | PF 且 1 A. 4 3 B. 5 3 C.2 D. 7 3 ex a  , 【解答】解:设 ( , |PF P x y ,由焦半径得 1  ) | ex a |PF  , 2  |    ex a 4( ex a  ,化简得 5 a 3 x e )  , p 在双曲线的右支上,
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