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2004年重庆高考文科数学真题及答案.doc
2004 年重庆高考文科数学真题及答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分）函数
y
log (3
1
2
x
的定义域是： (
2)
)
A．[1， )
2．（5 分）函数
( )
f x
2
2
x
x
,
)
B． 2(
3
，则 (2)
1(
)
2
1
1
f
f
C． 2[
3
,1]
D． 2(
3
,1]
(
)
A．1
B． 1
C． 3
5
D． 3
5
3．（5 分）圆 2
x
2
y
2
x
4
y
的圆心到直线
3 0
x
y 的距离为： (
1
)
A．2
B． 2
2
C．1
D． 2
2
x
x
A． ( 1 ， 0)
4．（5 分）不等式
1
(1 ， )
(0 ，1)
5．（5 分） sin163 sin 223
C． ( 1 ， 0)
A． 1
2
2
的解集是 (
)
B． ( ， 1)
D． ( ， 1)
(0
，1)
， )
(1
sin 253 sin 313
等于 (
B． 1
2
)
C． 3
2
2 ) (
a
b
6．（5 分）若向量 a
与 的夹角为 60 ，|
b
b
| 4,(
a
D． 3
2
72
，则向量 a 的模为 (
)
3 )
b
A．2
B．4
C．6
D．12
7．（5 分）已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成立的 (
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（5 分）不同直线 m ， n 和不同平面， ，给出下列命题：
①
/ /
m
/ /m
，②
/ /
m n
/ /
m
n
/ /
，③
m
n
,
m n
异面 ，④
/ /
m
m
其中假命题有： (
)
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
9．（5 分）若数列{ }na 是等差数列，首项 1
a ， 2003
0
a
a
2004
立的最大自然数 n 是 (
)
， 2003a ． 2004
a
0
，则使前 n 项和
0
nS 成
0
A．4005
B．4006
C．4007
D．4008
10．（5 分）已知双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
1
， (
a
0,
b
的左，右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P 在双曲线的右支上，
0)
|
PF
且 1
A． 4
3
| 4 |
PF
2
|
，则此双曲线的离心率 e 的最大值为 (
)
B． 5
3
C．2
D． 7
3
11．（5 分）已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需
要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第 3 次才取得卡口灯泡的概率为：
)
(
A． 21
40
B． 17
40
C． 3
10
D． 7
120
12．（5 分）如图，棱长为 5 的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为 1 的正方形孔，则这个有
孔正方体的表面积（含孔内各面）是 (
)
A．258
B．234
C．222
D．210
二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
13．（4 分）若在
(1
14．（4 分）已知 5
x
)ax
5
的展开式中 3x 的系数为 80 ，则 a
．
3
y
2,(
x
0,
y
，则 xy 的最小值是
0)
．
15．（4 分）已知曲线
y
31
x
3
，则过点 (2,4)
P
4
3
的切线方程是
．
16．（4 分）正四棱锥 S ABCD
的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点 S 、 A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，
则该球的体积为
．
三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）
17．（12 分）求函数
y
4
sin
x
2 3sin cos
x
x
4
cos
x
的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0 ， ] 上的
单调递增区间．
18．（12 分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为 0.7、0.6 和 0.5．
（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；
（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．
19．（12 分）如图，四棱锥 P ABCD
的底面是正方形，PA 底面 ABCD ，AE
PD ， / /
EF CD ，AM EF
（1）证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线；
（2）若
PA
3
AB
，求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值．
20．（12 分）某工厂生产某种产品，已知该产品的产量 x （吨 ) 与每吨产品的价格 P （元 / 吨）之间的关系
为
P
24200
，且生产 x 吨的成本为 50000 200
R
21
x
5
x
元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达
到最大？最大利润是多少？（利润 收入 成本）
21．（12 分）设 0
p 是一常数，过点 (2 ,0)
Q p 的直线与抛物线 2
y
2
px
交于相异两点 A 、B ，以线段 AB 为
直径作圆 (H H 为圆心）．试证抛物线顶点在圆 H 的圆周上；并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程．
22．（14 分）设数列{ }na 满足： 1
a ， 2
a ， 2
a
n
1
5
3
5
3
a
n
1
， (
a
n
2
3
n N
)
（1）令
b
n
a
1
n
， (
a
n
n 求数列{ }nb 的通项公式；
1,2 )
（2）求数列{
}nna 的前 n 项和 nS ．
2004 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分）函数
y
log (3
1
2
x
的定义域是： (
2)
)
A．[1， )
B． 2(
3
,
)
C． 2[
3
,1]
D． 2(
3
,1]
2)
x
，
0
【解答】解：要使函数有意义： (3
log
1
2
log (3
即： 1
2
x
2)
log 1
1
2
2 1
解得
可得 0 3
x
2(
3
故选： D ．
x
,1]
2．（5 分）函数
( )
f x
2
2
x
x
1
1
，则 (2)
1(
)
2
f
f
(
)
A．1
B． 1
C． 3
5
D． 3
5
2
2
1
1
，
x
x
1(
2
1
2
(
)
)
2
2
1
1
3
5
，
【解答】解：由题意知，
( )
f x
则 f （2） 4 1
4 1
3
5
，
f
(
1
2
)
．
1
f
f
(2)
1( )
2
故选： B ．
3．（5 分）圆 2
x
2
y
2
x
4
y
的圆心到直线
3 0
x
y 的距离为： (
1
)
A．2
B． 2
2
C．1
D． 2
【解答】解：圆 2
x
4
y
的圆心 (1, 2) ，
3 0
2
2
y
x
y 的距离： 2
2
1
2
它到直线
x
故选： D ．
4．（5 分）不等式
2
的解集是 (
)
2
x
x
1
(1 ， )
(0 ，1)
A． ( 1 ， 0)
C． ( 1 ， 0)
【解答】解：法一：
x
2
x
可得 (
x x
x
2
2
得
2
1
1
或 1x ．
0
x
x
(0
B． ( ， 1)
，1)
， )
D． ( ， 1)
1)
即 (
x x
1
x
(1
0
0
1)(
0
1)
可得 1
x
x 、 1
2
2
法二：验证，
不满足不等式，排除 B 、 C 、 D ．
故选： A ．
5．（5 分） sin163 sin 223
A． 1
2
sin 253 sin 313
B． 1
2
等于 (
)
C． 3
2
D． 3
2
【解答】解：原式 sin163 sin 223
cos163 cos 223
cos(163
223 )
cos( 60 )
．
1
2
故选： B ．
6．（5 分）若向量 a
与 的夹角为 60 ，|
b
b
a
2 ) (
a
b
3 )
b
| 4,(
72
，则向量 a 的模为 (
)
A．2
B．4
C．6
D．12
【解答】解： (
a
2 ) (
b
a
3 )
b
|
a
2
|
|
||
a b
| cos60
6 |
b
2
|
|
a
2
|
2 |
a
| 96
，
72
|
a
2
|
2 |
a
| 24 0
．
(|
a
| 6) (|
a
| 4)
0
．
a ．
| 6
|
故选： C ．
7．（5 分）已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成立的 (
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：依题意有 p
r ，
r
s ，
s
q ，
．
q
s
p
r
但由于 r 推不出 p ，
q 推不出 p ．
故选： A ．
8．（5 分）不同直线 m ， n 和不同平面， ，给出下列命题：
①
/ /
m
/ /m
，②
/ /
m n
/ /
m
n
/ /
，③
m
n
,
m n
异面 ，④
/ /
m
m
其中假命题有： (
)
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解答】解：①
/ /
m
/ /m
， m 与平面 没有公共点，所以是正确的．
②
/ /
m n
/ /
m
③
m
n
n
/ /
，直线 n 可能在 内，所以不正确．
,
m n
异面 ，可能两条直线相交，所以不正确．
④
/ /
m
m
， m 与平面 可能平行，不正确．
故选： D ．
9．（5 分）若数列{ }na 是等差数列，首项 1
a ， 2003
0
a
a
2004
， 2003a ． 2004
a
0
，则使前 n 项和
0
nS 成
0
立的最大自然数 n 是 (
)
A．4005
B．4006
C．4007
D．4008
【解答】解：
解法 1：由 2003
a
a
2004
， 2003
a
0
a
2004
0
，知 2003a 和 2004a 两项中有一正数一负数，又 1
a ，则公差为负数，
0
否则各项总为正数，故 2003
a
a
2004
，即 2003
a
， 2004
a
0
．
0
S
4006
4006(
a
1
2
a
4006
)
4006(
a
2003
2
a
2004
)
，
0
S
4007
4007 (
2
a
1
a
4007
)
4007
a
2004
0
，
故 4006 为
nS 的最大自然数．
0
故选 B ．
解 法 2 ： 由 1
a ， 2003
a
0
a
2004
， 2003
a
0
a
2004
0
， 同 解 法 1 的 分 析 得 2003
a
2003S 为 nS 中的最大值．
nS 是关于 n 的二次函数，如草图所示，
， 2004
a
0
，
0
到对称轴的距离比 2004 到对称轴的距离小，
2003
4007
2
在对称轴的右侧．
根据已知条件及图象的对称性可得 4006 在图象中右侧零点 B 的左侧，
4007，4008 都在其右侧，
nS 的最大自然数是 4006．
0
故选： B ．
10．（5 分）已知双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
1
， (
a
0,
b
的左，右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P 在双曲线的右支上，
0)
| 4 |
PF
2
|
，则此双曲线的离心率 e 的最大值为 (
)
|
PF
且 1
A． 4
3
B． 5
3
C．2
D． 7
3
ex a
，
【解答】解：设 ( ,
|PF
P x y ，由焦半径得 1
)
|
ex a
|PF
， 2
|
ex a
4(
ex a
，化简得 5
a
3
x
e
)
，
p 在双曲线的右支上，
x a
，
e ，即双曲线的离心率 e 的最大值为 5
3
5
3
故选： B ．
11．（5 分）已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需
要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第 3 次才取得卡口灯泡的概率为：
)
(
A． 21
40
B． 17
40
C． 3
10
D． 7
120
【解答】解：盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡，
从中取一只螺口的概率是 3
10
再次从中取一只螺口的概率是 2
9
，
，
有 8 只灯泡，有一只螺口和 7 只卡口灯泡，
从中取一只卡口灯泡的概率是 7
8
，
到第 3 次才取得卡口灯泡的概率为
P
故选： D ．
3
10 9
2 7
8
7
120
，
12．（5 分）如图，棱长为 5 的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为 1 的正方形孔，则这个有
孔正方体的表面积（含孔内各面）是 (
)
A．258
B．234
C．222
D．210
【解答】解：正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为 1 的正方形孔，
正方体共有 6 个直通小孔，有 6 个交汇处，
表面积等于正方体的表面积减去 12 个表面上的小正方形面积，
加上 6 个棱柱的侧面积，减去 6 个通道的 6 个小正方体的表面积．
则
S
6 25 12 6 4 5 6 6 222
全
．
故选： C ．
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