2019年广东暨南大学高等代数考研真题A卷.doc

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2019 年广东暨南大学高等代数考研真题 A 卷招生专业与代码：070101 基础数学、070102 计算数学、070103 概率论与数理统计、070104 应用数学、070105 运筹学与控制论考试科目名称及代码：810 高等代数（A 卷）考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。一、（10 分）设 n 为给定正整数， a 为给定常数，计算对角线上元素均为 a 、其它位置元素均为 1 的 n 阶矩阵 A 的行列式 | A a 1 1 1 1 a | 1 1 a  1 1 1 1 1 1      1 1 1 1 1 1 1 a 1 a . 二、（10 分）设 ( ), ( ) f x g x  [ ], F x [ ] F x 其中表示数域上一元多项式集合. 证明： F (1) 如果 ( ) | ( ) ( ), f x g x h x ( ( ), f x g x ( )) 1,  那么 ( ) | ( ); f x h x (2) 如果 ( ) | ( ), f x h x ( ) | ( ), x h x g ( ( ), f x g x ( )) 1,  那么 ( ) ( ) | ( ). f x g x h x 三、（15 分）设是 n 阶方阵 A 的一个特征值，证明： (1) (3) 2  是矩阵的一个特征值 2 A ; (2) (2  )  是矩阵 2 E  A 的一个特征值；若可逆，则是的伴随矩阵的一个特征值 . A A  A * A 四、（20 分）设线性方程组 3 x 1 2 x x x      4 3 2  2 2 x x x     4 2 3   2 3) ( x x x     4 3 2  x x x x      4 1 3 2 1   1  0  讨论参量 ,取何值时，上述方程则有唯一解？无解？有无穷多解？有解时写出所有解. 五、（20 分）已知矩阵 A  2 2 2       2 5 4  2  4  a      B 与矩阵 = b      1      10 相似，求

,a b 的值，并求一正交矩阵 P 使得 1  P AP B  . 六、(20 分) 已知二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 ) (1   2 ) a x 1 (1   ) a x 2  2 2 x 3 2  2(1  ) a x x 1 2 的秩为 2. (1)求 a 的值; (2) 求一正交变换，将其化为标准型. 七、(15 分) 设数域上的矩阵为 3 4  F A A 1   = 3    0 1 1 1 4 7 1 1 0 3      ，定义线性变换 ( )Q a  Aa ，   a F 4 . 分别求 ImQ KerQ和的一个基和维数. 八、(10 分)设 3 维线性空间 V 的线性变换        1 2 2 2 1 2 2 2 1      在基 1   ，， 3 2 下的矩阵为 L 证明：由 1 ,     3    生成的子空间 2 1 W L     ）是 的不变子空 3 ，- 2 （-    1 1 间. 九、（10 分）设    ,2, i ，，， ,1   ( i i  , i n ) ( T i  1, 2,..., r ; r  n ) 是 n 维实向量，且向量，，，线性无关. 已知  =  r   2 组 1    2 ，，，是线性方程组 1 n T    x 1,1 1 x 2,1 1              r x ,1 1  r x 1,2 2 x 2,2 2 x ,2 2 ...   ...   ...... ...    1,  2, x n n x n n   0 0  x , r n n  0 的非零解向量.试判断向量组 1   2 ，，，，的线性相关性.    r 十、（10 分）设 n 级方阵 , A B C D 两两可交换，且满足 AC BD E   , , .记 ABx  的解 0

空间为W , Bx  的解空间为 1W , 0 Ax  的解空间为 2W . 证明 0 W W W   . 2 1 十一、（10 分）证明 n 阶实对称矩阵 A 是正定的充分必要条件是：存在 n 阶可逆实对称矩阵C 使得 A C 2 .

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