自动控制原理一阶倒立摆全解.pdf

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书资料大小：1.43M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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倒立摆系统的控制器设计 1. 建立倒立摆系统数学模型 1.1 倒立摆系统简介支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。相反，支点在上而重心在下的则称为顺摆。在日常生活中，摆以不同的形式存在着。倒立摆的种类：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。由倒立摆和其它元件组成的元件称为倒立摆系统。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。此为倒立摆控制器的设计目标。倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力 u 平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。 1.2 建立倒立摆系统数学模型。系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。故控制器的设计采用机理建模。机理建模——机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。 1.2.1 摆杆和小车系统受力分析对摆杆和小车单独进行受力分析，并且对摆杆、小车、导轨组成的系统整体进行受力分析。 1

倒立摆系统的控制器设计图 1-1 一级倒立摆系统模型图 1-2 小车及摆杆受力分析 1.2.2 数学模型的建立小车水平方向的合力：摆杆水平方向的合力： 2 NbxFx""M)sin(22lxdtdmNsin)(cos'2""mlmlmx

水平方向运动方程：倒立摆系统的控制器设计对摆杆垂直方向上的受力进行分析，可得垂直方向的运动方程：用 u 来代表被控对象的输入力 F，线性化后两个运动方程如下：如果令，进行拉普拉斯变换，得到摆杆角度和小车位移的传递函数：摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：其中实验系统实际参数： • M 小车质量 1.096 Kg • m 摆杆质量 0.109 Kg • b 小车摩擦系数 0.1N/m/sec 3 Fmlmlbxxmsin)(cosM'2"'"）（cossin)(""2mlxmglmlI＝""2)(mlxmglmlIumlbxxmM"'")(""2)(mlxmglmlIumlbxmM"'")("xvmglsmlImlssXs222)()()(mglsmlImlsVs22)()()(sqbmglsqmglmMsqmlIbssqmlsUs23)242)(()()(])())([(22mlmlImMq

倒立摆系统的控制器设计 l 摆杆转动轴心到质心长度 0.25m I 摆杆惯量 0.0034 kg·m2 F 加在小车上的力 x 小车位置 • • • • • φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 • θ 摆杆与垂直向下方向的夹角 N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。得到带入实际参数的传递函数： a.摆杆角度和小车位移的传递函数。 b.摆杆角度和小车加速度的传递函数。 c.摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数。 2．使用 MATLAB 进行开环系统的时域分析。 2.1 当输入为小车加速度时摆杆角度的单位阶跃响应已知摆杆角度和小车加速度的传递函数为：在 matlab 中建立 m 文件 oloop1.m 内容如下： m=[0.02725]; n=[0.0102125 0 -0.26705]; t=0:0.1:20; step(m,n,t) axis([0 4 0 100]) 4 26705.00102125.002725.0)()(22sssXs26705.00102125.002725.0)()(2ssVs30942.29169.270883167.035655.2)()(23ssssUs26705.00102125.002725.0)()(2ssVs

阶跃响应曲线：倒立摆系统的控制器设计系统阶跃响应曲线上升的斜率几乎趋近于无穷，且持续上升不能达到稳定状态，因此系统是不稳定的。 2.2 当输入为小车加速度时摆杆角度的单位脉冲响应已知传递函数为：在 matlab 中建立 m 文件命名为 oloop2.m 内容如下： m=[0.02725]; n=[0.0102125 0 -0.26705]; t=0:0.1:20; impulse(m,n,t) axis([0 4 0 100]) 5 26705.00102125.002725.0)()(2ssVs

倒立摆系统的控制器设计与单位阶跃响应同理，系统的单位脉冲响应也不能达到稳定，其曲线和单位阶跃响应曲线有相似的趋势。无论是单位阶跃响应还是单位脉冲响应，系统都是不稳定的。 3 根轨迹法控制器设计 3.1 根轨迹法分析建立 m 文件，命名为 rootlocus.m num=[0.02725]; den=[0.0102125 0 -0.26705]; rlocus(num,den) 从而得到传递函数对应的根轨迹 6 26705.00102125.002725.0)()(2ssVs

倒立摆系统的控制器设计由根轨迹图像可知，闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左到位于原点处，并且沿着虚轴延伸到无穷远处，因此无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即直线一级倒立摆系统系统总是不稳定的。 3.2 根轨迹校正及仿真 3.2.1 根轨迹校正对于以上不稳定的情况，需要设计控制器满足如下条件：最大超调量调整时间根轨迹法控制器设计步骤： a. 确定系统的希望闭环主导极点由公式得到：可取由于所以 7 21%10%pe0.5911550.6cos53.13010235453.13%10%p误差带）%2(5.0sts

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