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2005年云南高考理科数学真题及答案.doc
2005 年云南高考理科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟.
第 I 卷
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件 A、B 相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么
n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn(k)=C k
n Pk(1－P)n－k
一、选择题：
（1）已知为第三象限角，则
2
所在的象限是
球的表面积公式
2R
S=4
其中 R 表示球的半径，
球的体积公式
3
V=
4 R ，
3
其中 R 表示球的半径
（A）第一或第二象限
（C）第一或第三象限
（B）第二或第三象限
（D）第二或第四象限
（2）已知过点 A(-2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为
（A）0
（B）-8
（C）2
（D）10
（3）在
(
x
1)(
x
8
1)
的展开式中
5x 的系数是
（A）-14
（B）14
（C）-28
（D）28
(4)设三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V，P、Q 分别是侧棱 AA1、CC1 上的点，且 PA=QC1，则四棱锥
B-APQC 的体积为
V
（A）
1
6
(
iml
3
x
1
x
1
2
ln 2
2
(A)a
2
x
2
y
2
（9）已知双曲线
到 x 轴的距离为
的焦点为 F1、F2，点 M 在双曲线上且 1
1
MF MF
2
0,
则点 M
（A）
4
3
（B）
5
3
（C）
2 3
3
（D） 3
（10）设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
（A）
2
2
（B）
2 1
2
（C） 2
2
（D） 2 1
（11）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有
（A）3 个
（B）4 个
（C）6 个
（D）7 个
（12）计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0～9 和字母 A～F 共 16 个计
数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
0
0
16 进
制
10 进
制
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则 A×B=
（A）6E
（B）72
（C）5F
（D）B0
二．填空题（16 分）
第Ⅱ卷
（13）已知复数
23
i
Z
0
OA
,复数 Z 满足 Z=3Z+ 0Z ,则复数 Z=_________________
OB
OC
(4,5),
k
，且 A、B、C 三点共线，则 k=
（14）已知向量
,10)
（ 15 ） 高 l 为 平 面 上 过 (0,1) 的 直 线 ,
( ,12),
k
(
l 的 斜 率 等 可 能 地 取
,22
,3
5
2
5,0,
2
望 E=___________
22,3,
,用表示坐标原点到 l 的距离,由随机变量的数学期
（16）已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是 AB 上的点，则点 P 到 AC、BC 的距
离乘积的最大值是
三.解答题：
(17) (本小题满分 12 分)
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要
照顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概率为 0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
（18）(本小题满分 12 分)
在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面
VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD．
（Ⅰ）证明 AB⊥平面 VAD．
（Ⅱ）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小．
V
D
A
C
B
(19)在 ABC
,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.
3
4
.
已知 a,b,c 成等比数列，且 cosB=
①求 cotA+cotB 的值。
②设
BA
BC
3
2
，求 a + c 的值。
（20）(本小题满分 12 分)
在等差数列
在等差数列 中 公差
已知数列
a a a a
,
,
3
,
1
k
1
k
2
d
0,
a
} ,
n
a
a
{
与 的等差中项,
1
a 成等比数列,求数列{
}nk 的通项
是
2
nk
a
,
4
k
n
(21) (本小题满分 14 分)
设
(
A
x
,
1
By
),
1
(
（Ⅰ）当且仅当
y
,
2
)
2
两点在抛物线
x
x x 取何值时，直线l 经过抛物线的焦点 F？证明你的结论；
上，l 是 AB 的垂直平分线，
x
22
y
1
2
（Ⅱ）当
x
1
x
1,
2
时，求直线l 的方程.
3
（22）已知函数
)(
xf
7
4
x
2
2
x
,
x
]1,0[
①求 )(xf 的单调区间和值域。
②设 1a
,函数
)(
xg
3
x
3
ax
,2
xa
]1,0[
,若对于任意
1 x
]1,0[
，总存在
0 x
]1,0[
，
使得
(
xg
0
)
(
xf
1
)
成立，求 a 的取值范围。
参考答案
一.DBBCA，CCBCD，BA
二.13、
31 ，14、
i
，15、
，16、3
2
3
4
7
2
三.解答题：
（17）解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A、B、C，……1 分
则 A、B、C 相互独立，
由题意得：
P（AB）=P（A）P（B）=0.05
P（AC）=P（A）P（C）=0.1
P（BC）=P（B）P（C）=0.125…………………………………………………………4 分
解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5
所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是 0.2、0.25、0.5……6 分
（Ⅱ）∵A、B、C 相互独立，∴ A B C、、 相互独立，……………………………………7 分
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
(
P A B C
)
(
(
P A P B P C
)
(
)
) 0.8 0.75 0.5 0.3
……………………………10 分
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为 1
p
（18）证明：（Ⅰ）作 AD 的中点 O，则 VO⊥底面
ABCD．…………………………1 分
建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为
1，…………………………2 分
1
2
，0，0），B（
1
2
，1，0），C（-
1
2
，1，0），
，0，0），V（0，0，
3
2
），
则 A（
D（-
1
2
(
P A B C
) 1 0.3 0.7
……12 分
V
Z
D
O
A
X
C
Y
B
AB
∴
(0,1,0),
AD
(1,0,0),
AV
(
1
2
,0,
3
2
)
………………………………3 分
AB AD
由
(0,1,0) (1,0,0) 0
AB AD
……………………………………4 分
AB AV
(0,1,0) (
1
2
,0,
3
2
) 0
AB AV
……………………………………5 分
又 AB∩AV=A
∴AB⊥平面 VAD…………………………………………………………………………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
AB
(0,1,0)
是面 VAD 的法向量………………………………7 分
n
设 (1,
, )
y z
是面 VDB 的法向量，则
n VB
n BD
0
0
(1,
, ) (
y z
,1,
1
2
(1,
, ) ( 1, 1,0) 0
y z
3
2
) 0
x
z
1
3
3
n
(1, 1,
3
3
)
……9 分
∴
cos
,
AB n
3
3
)
21
7
(0,1,0) (1, 1,
1
21
3
，……………………………………11 分
又由题意知，面 VAD 与面 VDB 所成的二面角，所以其大小为
arccos
21
7
…………12 分
（19）（I）由 cosB=
于是
3
4
得
sin
B
3(1
4
)
2
7
4
，
cot
A
cot
B
1
tan
A
1
tan
B
sin
B
B
C
cos
cos
A
C
sin
sin
A
C
1
4
7
sin
7
b
ca
即
B
,2
2
sin
A
2
可得
cos
sin
sin(
sin
,
由
A
A
CA
2
B
cos
3
2
cos
C
sin
C
)
sin
2
sin
3
,
4
B
a
c
2
2
2
a
2
c
2
ac
cos
B
得
2
b
2
ac
cos
B
5
(II)由
BA
BC
由余弦定理
a+c=3
得
3
2
b
2
（20）解：由题意得：
=
ca
cos
B
1
2
2
a a a
3 )
d
……………………………………………………1 分
4
即
又
又
1
2
a a
(
1
1(
d
a
0,
d ∴
……………………………………………………………3 分
)
1 da …………………………………………………………………………4 分
a a a a
,
a 成等比数列,
,
3
,
1
,
k
k
k
n
1
2
∴该数列的公比为
q
a
a
3
1
3
d
d
，……………………………………………………6 分
3
n
1
…………………………………………………………………………8 分
所以
n
ka
1 3
a
k
(
n
1
nk
d
∴
又
1)
a
nk
a
13n
}nk 的通项为
所以数列{
k a
n
1
…………………………………………………………10 分
nk
13n
…………………………………………………………12 分
（21）解：（Ⅰ）∵抛物线
y
x
22
，即
2
x ，∴
y
2
p ，
1
4
∴焦点为
F
1(0,
8
)
………………………………………………………………1 分
（1）直线l 的斜率不存在时，显然有
x x
2
（2）直线l 的斜率存在时，设为 k，截距为 b
即直线l ：y=kx+b
由已知得：
1
=0………………………………3 分
y
1
2
y
2
k
y y
x x
1
1
2
2
2
b
1
x x
2
1
k
……………………………………………………5 分
2
x
2
1
2
2
2
x
2
2
k
2
x
x
x x
2
1
1
2
2
2
2
b
1
x x
2
1
k
2
b
………………………………………………7 分
1
x x
2
1
2
k
2
1
2
2
k
x
x x
1
4
2
2
1
2
x
x
x
b
2
1
1
4
b
0
即l 的斜率存在时，不可能经过焦点
F
1(0,
8
)
……………………………………8 分
所以当且仅当
（Ⅱ）当
x
1
1
x x
x
1,
2
时，
3
=0 时，直线 l 经过抛物线的焦点 F…………………………9 分
2
直线l 的斜率显然存在，设为l ：y=kx+b………………………………10 分
则由（Ⅰ）得：
x
2
1
k
2
2
x
x x
1
2
2
b
1
x x
2
1
2
k
k
1
x x
2
1
2
k
2
b
10
2
………………………………………………11 分
k
b
1
4
41
4
………………………………………………………………13 分
所以直线l 的方程为
y
x
1
4
，即 4
y
x
41
4
41 0
………………14 分
(22)解：(I)对函数 )(xf 求导，得
f
`(
x
)
4
2
x
2(
7
2(
)7
x
2(
2)(1
)
x
x
2
x
2
16
)
x
7x
2
或
令
f
`(
)
x
0
解得
1x
2
当 x 变化时。
f
`(x
)
， )(xf 的变化情况如下表：
x
0
f
`(x
)
)(xf
所以，当
1,0(x
2
)
7
2
时，
)(xf 是减函数；当
)
(0,
1
2
_
1
2
0
-4
()
1,
1
2
+
1
-3
1(x
2
)1,
时， )(xf 是增函数。
当
)1,0(x
时， )(xf 的值域为[-4，-3]。
（II）对函数 )(xg 求导，得图表 1
`(
xg
)
2
(3
x
2
a
)
当,1a
)1,0(x
时，
`(
xg
)
1(3
a
2
)
0
因此当
)1,0(x
时。 )(xg 为减函数，从而当
]1,0[x
时有
)(
xg
),1([
g
g
)]0(
又
g
)1(
21[
a
3
a
2
,2,
ga
)0(
2
a
,即当
]1,0[x
时有
)(
xg
21[
a
3
a
2
]2,
a
任给
1 x
]1,0[
，
( 1
xf
]3,4[
)
，存在
0 x
]1,0[
，使得
(
xg
0
)
(
xf
1
)
，则
21[
a
3
a
2
]2,
a
]3,4[
即
21
2
a
3
a
a
3
2
4
解得
3a
2
又 1a ，所以 a 的取值范围为
1
a
3
2
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