2006年福建高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2006 年福建高考文科数学真题及答案一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知两条直线 y ax  和 (  2 y a  2) x 1  互相垂直，则 a 等于（A）2 （B）1 （C）0 （2）在等差数列 na 中，已知 1 a  2, a 2  a 3 （D） 1 13, a a  则 4 5   等于 a 6 （C）43 （D）45 （B）必要不而充分条件（D）既不充分也不必要条件（3）"tan  的（A）40 1" 是" （B）42  " 4 （A）充分而不必要条件（C）充要条件  , (   2 ),sin   3 5 （4）已知（A） 1 7  则 tan( ,  等于（B） 7 （C）  ) 4  （5）已知全集 U R 且 , A   | x x 1    2 , B 1 7  （D） 7  | x x 2  6 x    8 0 , 则 ( )UC A B 等于（A）[ 1,4)  （B） (2,3) （C） (2,3] （D） ( 1,4)  （6）函数 y  （A） y  （C） y  x x x x  x   x ( x   1) 的反函数是 1 ( 1 1( x  1) 方 x  0) （7）已知正方体外接球的体积是（A） 2 2 （B）（B） y  （D） y  x 1 x   x 1 x ( x  1) ( x  0) 32 3 2 3 3 ，那么正方体的棱长等于（C） 4 2 3 （D） 4 3 3 （8）从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三项不同的工作，若这 3 人中至少有 1 名女生，则选派方案共有（A）108 种  （9）已知向量 a  与b （B）186 种的夹角为120o ，  a  （C）216 种   a b   3, 13, （D）270 种等于  则 b （A）5 （D）1 （10）对于平面和共面的直线 m 、 ,n 下列命题中真命题是（B）4 （C）3 （A）若（C）若 m m m n  则 n ∥ , ,  ∥ ,则 m∥n n  , （B）若 m   ∥ ,n∥ ,则 m∥n （D）若 m 、 n 与所成的角相等，则 m∥n

（11）已知双曲线 2 2 x a  2 2 y b  1( a  0, b  的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60o 的直线 0) 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A） (1,2] （B） (1,2) （C）[2, ) （D） (2, ) （12）已知 ( ) f x 是周期为 2 的奇函数，当 0 1x  时， ( ) f x  lg . x 设 a  f ( 6 5 ), b  f ( 3 2 ), c f 则 ), 5( 2 （A） a b c   a b 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。（C） c b （B）b （D） c       a a c （13） 2 x (  展开式中 4x 的系数是＿＿＿＿＿（用数字作答）。 51 ) x （14）已知直线 x y   与抛物线 1 0 y （15）已知实数 x 、 y 满足 1, y     y x  1 , 2 ax 相切，则 ______. a  则 2x y 的最大值是＿＿＿＿。（16）已知函数 ( ) f x  2sin x  (  在区间 0)        3 4  , 上的最小值是 2 ，则的最小值是＿＿＿＿。三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) f x  2 sin x  3 sin cos x x  2cos 2 , . x x R  （I）求函数 ( ) f x 的最小正周期和单调增区间；（II）函数 ( ) f x 的图象可以由函数 sin 2 ( x x R  y  的图象经过怎样的变换得到？ ) （18）（本小题满分 12 分）每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I）连续抛掷 2 次，求向上的数不同的概率；（II）连续抛掷 2 次，求向上的数之和为 6 的概率；（III）连续抛掷 5 次，求向上的数为奇数恰好出现 3 次的概率。（19）（本小题满分 12 分）如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点， A O D

      2, AB AD CA CB CD BD （I）求证： AO  平面 BCD；（II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；（III）求点 E 到平面 ACD 的距离。 2. （20）（本小题满分 12 分） y 已知椭圆 2 x 2 2 y  的左焦点为 F，O 为坐标原点。 1 （I）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II）设过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点，并且线段 AB 的 l 中点在直线 x y  上，求直线 AB 的方程。 0 F O x （21）（本小题满分 12 分）已知 ( ) f x 是二次函数，不等式 ( ) 0 f x  的解集是 (0,5), 且 ( ) f x 在区间 1,4 上的最大值是 12。（I）求 ( ) f x 的解析式；（II）是否存在实数 ,m 使得方程 , 的实数根？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由。  在区间 ( ( ) f x 0  37 x m m  内有且只有两个不等 1) （22）（本小题满分 14 分）已知数列 na 满足 a 1  1, a 2  3, a n 2   3 a n 1   2 ( a n N n  * ). （I）证明：数列 a   是等比数列； 1n a n  （II）求数列 na 的通项公式；（II）若数列 nb 满足 1 4 b b 2 1  4 1  ...4 b n 1   ( na b n  1) ( n N  * ), 证明 nb 是等差数列。 2006 年福建高考文科数学真题参考答案一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。（1）D （7）D （2）B （8）B （3）B （9）B （4）A （10）C （5）C （11）C （6）A （12）D

二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 4 分满分 16 分。（13）10 （14） 1 4 （15）4 （16） 3 2 三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分 12 分。解：（I） ( ) f x  1 cos 2  x 2  3 2 sin 2 x   (1 cos 2 ) x ( ) f x 的最小正周期 T .  sin 2 x  3 2 sin(2   1 2  3 2 cos 2 x  3 2 . x      ) 6 2  2   6  , k Z  6    k   2 . k    , 2 k Z  ,  3 , k      6  , k Z  . 由题意得 2 k   即 k    3  2   x  2 x k   ( ) f x 的单调增区间为（II）方法一：  12  ) 6  ) 6 3 2 先把 sin 2  y x 图象上所有点向左平移个单位长度，得到 sin(2  y x  的图象，再把所得图象上所有的点向上平移 3 2 个单位长度，就得到 y  sin(2 x   的图象。方法二：把 sin 2  y x 图象上所有的点按向量  a (   3  12 2 , ) 平移，就得到 y  sin(2 x   ) 6  3 2 的图象。（18）本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力。满分 12 分。解：（I）设 A 表示事件“抛掷 2 次，向上的数不同”，则 ( ) P A  6 5  6 6   5 6 . 答：抛掷 2 次，向上的数不同的概率为 5 . 6 （II）设 B 表示事件“抛掷 2 次，向上的数之和为 6”。 向上的数之和为 6 的结果有 (1,5) 、 (2,4) 、 (3,3) 、 (4,2) 、(5,1) 5 种， ( P B )  5 6 6   5 36 .

答：抛掷 2 次，向上的数之和为 6 的概率为 5 . 36 （III）设 C 表示事件“抛掷 5 次，向上的数为奇数恰好出现 3 次”，即在 5 次独立重复试验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现 3 次，  ( P C )  P 5 (3)  C 3 5 ( 1 2 3 ) ( 1 2 2 )  10 32  5 16 . 答：抛掷 5 次，向上的数为奇数恰好出现 3 次的概率为 5 . 16 （19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分 12 分。方法一：（I）证明：连结 OC   BO DO AB AD AO BD ,     , . BO DO BC CD CO BD ,     , . 在 AOC 中，由已知可得 AO  1, CO  3. 而 AC  2,  2 AO CO  2  AC 2 ,  AOC  90 ,o 即 AO OC . B A O M D E C , BD OC O  平面 BCD   AO （II）解：取 AC 的中点 M，连结 OM、ME、OE，由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角在 OME 中，  EM  1 2 AB  2 2 , OE  1 2 DC  1, OM 是直角 AOC 斜边 AC 上的中线，  OM  1 2 AC  1,   cos OEM  2 4 , 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos （III）解：设点 E 到平面 ACD 的距离为 .h 2 4 .

   V E ACD 1 3 . h S  ACD  V , A CDE  1 3 .  . AO S .  CDE 在 ACD 中， CA CD   2, AD  2, S ACD   1 2 2  2 2  ( 2 2 2 )  7 2 . 而 AO  1, S CDE   1 2 3 4 2  2  3 2 ,   h . AO S S  ACD  CDE  1  3 2 7 2  21 7 . 点 E 到平面 ACD 的距离为 21 . 7 方法二：（I）同方法一。（II）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 (1,0,0), B D  ( 1,0,0), C (0, 3,0), (0,0,1), A E (  BA ,0), 1 3 , 2 2 ( 1,0,1),    CD ( 1,    3,0). cos     BA CD   BACD   BA CD 异面直线 AB 与 CD 所成角  . ,  2 4 , 的大小为 arccos 2 4 . （III）解：设平面 ACD 的法向量为 ( , , ), x y z   n 则  , ).( 1,0, 1) 0, , ).(0, 3, 1) 0,          . ( , n AD x y z     . ( , n AC x y z    0, z   3 z y    y  得 ( n   令 1, 0. x 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量。 x B z A O D E y C

 ( EC   又 1 3 , 2 2 ,0),   . EC n 点 E 到平面 ACD 的距离 21 . 7 3 7    h  n （20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。满分 12 分。解：（I） 2 a   22, b    1, c 圆过点 O、F， 圆心 M 在直线 x   上。 1 2 设 M ( r   1(  2 1 2 ) , ), t 则圆半径   ( 2)  3 2 . 1, F ( 1,0),  : l x   2. y B N F O l A x 由 OM r 得 , (  1 2 2 )  2 t  3 2 , 解得 t   2. 所求圆的方程为 ( x  1 2 2 )  ( y  2 2) （II）设直线 AB 的方程为 y  ( k x  1)( k  . 9 4 0),  代入 2 x 2 2 y  整理得 1, 2 (1 2 )  k 2 x  4 2 k x  2 k 2   2 0. 直线 AB 过椭圆的左焦点 F，方程有两个不等实根， ( A x y B x y AB 中点 ), ), ( , , 记 1 1 2 2 , N x y ( 0 ), 0 则 x 1  x 2   4 k 2 k 2 2  1 , x 0  1 2 ( x 1  x 2 )   k 2 2 k 2 2  1 , y 0  ( k x 0 1)   k 2 ,  1 2 k 线段 AB 的中点 N 在直线 x y  上， 0  x 0  y 0   2 k 2 k 2  2  1 2 k k 2  1  0,

k  ，或 0 k  1 . 2 当直线 AB 与 x 轴垂直时，线段 AB 的中点 F 不在直线 x y  上。 0 直线 AB 的方程是 0, y  或 2 y x 1 0.   （21）本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分 12 分。（I）解： ( ) f x 是二次函数，且 ( ) 0 f x  的解集是 (0,5), 可设 ( ) f x  ( ax x  5)( a  0). ( ) f x 在区间 1,4 上的最大值是 ( 1) 6 . a   f 由已知，得 6 a  12, 2, a   ( ) f x   2 ( x x  5) 2 2 x  10 ( x x R  ). （II）方程 ( ) f x  设 ( ) h x  3 2 x  10 x  等价于方程 3 x 0 2  10 x 2  37  0. 37,  37 x 2  则当当 2    20 x  x  10). 2 (3 x x '( ) 6 x h x 10 3 ,  时， '( ) 0, ( ) h x 时， '( ) 0, ( ) h x h x h x x    ) ) 是减函数；是增函数。 (0, 10( 3    h (3) 1 0, ( h 10 3 )   1 27 10 3    0, (4) 5 0, h 10 3 ,4) ),( 方程 ( ) 0 h x  在区间内没有实数根， (3, 内分别有惟一实数根，而在区间 (0,3), (4, ) 所以存在惟一的自然数 m  使得方程 3, ( ) f x  37 x  在区间 ( 0 m m  内有且只有两 1) , 个不同的实数根。（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分 14 分。（I）证明：  a n  2  3 a n 1   2 , a n

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