2006年福建高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2006 年福建高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一项是符合题目要求的. (1)设 a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 (2)在等差数列｛an ｝中，已知 a1 =2,a2 +a3 =13，则 a4 +a5 +a6 等于 A.40 (3)已知∈( A. 1 7  2 ,)，sin= ,则 tan(  B.42 3 5  4 C.43 )等于 B.7 C.－ 1 7 D.45 D.－7 (4)已知全集 U=R,且 A=｛x︱︱x－1︱>2｝,B=｛x︱x2 －6x+8<0｝，则( U A)∩等于 A.[－1,4] B. (2,3) C. (2,3) D.(－1,4) (5)已知正方体外接球的体积是  ，那么正方体的棱长等于 32 3 32 3 A.2 2 B. C. 24 3 D. 34 3 (6)在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出 3 个球，至少摸到 2 个黑球的概率等于 3 8 9 28 3 7 2 7 C. D. A. B. (7)对于平面和共面的直线 m、n，下列命题中真命题是 A.若 m⊥，m⊥n，则 n∥ C.若 m ，n∥，则 m∥n B.若 m∥，n∥，则 m∥n D.若 m、n与所成的角相等，则 n∥m (8)函数 y=㏒ 2 (x﹥1)的反函数是 2 x A.y= 2 x 1x x 1 1 (x>0) B.y= x 2 x 1 2 (x<0) C.y= x 2  x 2 (x>0) D. .y= 1 x 2  x 2 (x<0) (9)已知函数 f(x)=2sinx(>0)在区间[   3 ,  4 ]上的最小值是－2，则的最小值等于 A. 2 3 B. 3 2 C.2 D.3

(10)已知双曲线 2 2 x a  2 2 y b  1 (a>0,b<0)的右焦点为 F，若过点 F且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) (11)已知︱OA ︱=1，︱OB ︱= 3 , OA  OB =0,点 C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设 OC =mOA +nOB (m、n∈R)，则 m n 等于 A. 1 3 B.3 C. 3 3 D. 3 (12)对于直角坐标平面内的任意两点 A(x1 , y1 )、B(x2 ，y2 )，定义它们之间的一种 “距离”：‖AB‖=︱x1－x2 ︱+︱y1－y2 ︱. 给出下列三个命题： ①若点 C在线段 AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖ 2 +‖CB‖ 2 =‖AB‖ 2 ； ③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置. 1 (13)(x2 － x ) 2 展开式中 x2 的系数是 (用数字作答) (14)已知直线 x－y－1=0 与抛物线 y=ax2 相切，则 a= (15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数 0，两个面上标以数 1,一个面上标以数 2，将这个小正方体抛掷 2 次，则向上的数之积的数学期望是（16）如图，连结△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连结的△A1B1C1各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点 M，已知 A(0,0) ,B(3,0),C(2,2)，则点 M的坐标是 . 二、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=sin2x+ 3 xcosx+2cos2x,x R. （I）求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？（18）（本小题满分 12 分）如图，四面体 ABCD中，O、E分别 BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2 （Ⅰ）求证：AO⊥平面 BCD；（Ⅱ）求异面直线 AB与 CD所成角的大小；（Ⅲ）求点 E到平面的距离. （19）（本小题满分 12 分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y（升）关于行驶速度 x（千米 /小时）的函数解析式可以表示为：y= 1 128000 2 x  3 80 x  8 (0

若存在，求出 m的取值范围；，若不存在，说明理由。（22）（本小题满分 14 分）已知数列｛an ｝满足 a1=1,a 1n =2an +1(n∈N  ) （Ⅰ）求数列｛an ｝的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足 4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),证明:{bn}是等差数列; （Ⅲ）证明: n 2  1 3 ＜ a 1 a 2  a a 2 3  a a n ＜ 1 n  n 2 (n∈N*). 2006 年福建高考理科数学真题参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分. (1)D (7)C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分，满分 16 分. (5)D (11)B (6)A (12)B (4)C (10)C (2)B (8)A (3)A (9)B (13)10 (14) 1 4 (15) 4 9 (16)( 5 3 2, 3 ) 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)本小题主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本识，以及推理和运算能力，满分 12 分. 解:（1）f(x)= 1  2 x  cos 2 3 2 2sin x 1(  cos )2 x = 3 2 2sin x  1 2 cos 2 x  3 2 =sin(2x+ .  6 3 ) 2 2 2  6 ∴f(x)的最小正周期 T= =π. 由题意得 2kπ-  2 ≤2x+ ,k∈Z, ∴f(x)的单调增区间为［kπ- (2)方法一：  3 ］,k∈Z. 先把 y=sin 2x 图象上所有的点向左平移个单位长度，得到 y=sin(2x+ 所得图象上所有的点向上平移方法二： 3 2 个单位年度，就得到 y=sin(2x+ 的图象.  6 )+ 3 2  12  6 )的图象，再把

把 y=sin 2x 图象上所有的点按向量 a=(-  12 2, 3 )平移，就得到 y=sin(2x+  6 )+ 3 2 的图象. (18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分. 方法一: (1)证明：连结 OC. ∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD. ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD. 在△AOC 中，由已知可得 AO=1,CO= 3 . 而 AC=2, ∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC. ,0OC BD  ∴AB 平面 BCD. （Ⅱ）解：取 AC的中点 M,连结 OM、ME、OE，由 E为 BC的中点知 ME∥AB,OE∥DC. ∴直线 OE与 EM所成的锐角就是异面直线 AB与 CD所成的角. 在△OME中， EM  1 2 AB  2 2 , OE  1 2 DC  ,1 OM 是直角△AOC斜边 AC上的中线，∴ OM  AC 1 2  ,1 ∴ cos OEA  2 4 , ∴异面直线 AB与 CD所成角的大小为 arccos 2 4 . （Ⅲ）解：设点 E到平面 ACD的距离为 h.   V A   ACD A V 1 3 ∴ h ·S△ACD = ·AO·S△CDE. , CDE 1 3

在△ACD中，CA=CD=2,AD= 2 , ∴S△ACD= 1 2  2  2 2     2 2 3    7 2 , 而 AO=1, S△CDE= 1 2  3 4  2 2  3 2 , ∴h= AO  S  S  CDE  ACD 1  3 2 7 2  21 7 , ∴点 E到平面 ACD的距离为 21 7 . 方法二：（Ⅰ）同方法一：（Ⅱ）解：以 O为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(-1，0，0)， C(0， 3 ，0)，A(0,0,1),E( 1 2 , 3 2 ∴ cos , BA CD  CD BA  BA CD  2 4 , ,0), BA  ),1,0,1( CD ,1(  ).0,3 ∴异面直线 AB与 CD所成角的大小为 arccos 2 4 . （Ⅲ）解：设平面 ACD的法向量为 n=(x,y,z),则     )1,0,1( ,0   )1,3,0( ,0     n n ∴ x      AD AC ,( ), zyx ,( ), zyx ,0 z  3 y z  .0 令 y=1，得 n=(- 3,1,3 )是平面 ACD 的一个法向量. 又 1(EC 2 3, 2 ),0, ∴点 E 到平面 ACD 的距离 h= n |  | · EC | n | 3 7  21 7 .

(19)本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 12 分. 解: (1)当 x=40 时，汽车从甲地到乙地行驶了要耗油( 1 128000  3 40  3 80  40  8 ）  5.2  5.2 100  小时, 40 (5.17 ) 升 . 答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升. (2)当速度为 x 千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了 100 小时 , x 设耗油量为 h(x)升，衣题意得 h(x)=( 1 128000 3 x  h’(x)= x 640  800 2 x x  3 80 x  640 3  80 2 x 3 (0＜x≤120＝ 8 )· 100 x  1 1280 2 x  800 x  15 4 0( ＜＜x 120 ) , 令 h’(x)=0，得 x=80. 当 x∈(0,80)时，h’(x)＜0,h(x)是减函数; 当 x∈(80,120)时，h’(x)＞0,h(x)是增函数. ∴当 x=80 时，h(x)取到极小值 h(80)=11.25. 因为 h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值. 答：当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升. (20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合能力.满分 12 分. 解(1) ∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2. ∵圆过点 O、F. ∴圆心 M 在直线 x=- 1 上 . 2 设 M(- r=|(- 1 2 1 2 t, ),则圆半径 )-(-2)|= 3 2 1(  2 ) . 2 2  t  3 2 . 由|OM|=r,得解得 t=± 2 ,

∴所求圆的方程为(x+ 9 4 (2)设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k≠0), )2+(y± 2 ) 2= 1 2 . 代入 2x 2 +y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. ∵直线 AB 过椭圆的左焦点 F, ∴方程有两个不等实根. 记 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 N(x0,y0), 则 x1+x1=- 2 4 k 2 k 2 , 1 x0= 1 2 1 ( x  2 x )  k 2 2 k 2 2  1  y 0  ( xk 0 )1   AB垂直平分线 NG的方程为 y  y 0  令 y=0，得 k 2 2 k (1 k x ,  1  x 0 ). xC  x 0  ky 0  k 2 2 k 2 2  1  k 2 k 2 2  1  k 2 k 2 2  1  1 2 1 2  . 2 4 k ∵ k  ,0 1 2 x 0  .0 ∴点 G横坐标的取值范围为（ 1 2 0, ）。（21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分 12 分。解：（I）f(x)=－x2+8x=－(x－4)2+16, 当 t+1<4，即 t<3 时，f(x)在[t，t+1]上单调递增， h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t2+6t+7; 当 t≤4≤t+1 时,即 3≤t≤4 时，h(t)=f(4)=16; 当 t>4 时，f(x)在[t，t+1]上单调递减， h(t)=f(x)=－t2+8t . 6 t  ,7  t<3, 3≤t≤4, t>4 综上，h(t)= 2  t   ,16   2 t    ,8 t （II）函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数 x g(x)－f(x)的图象与 x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 ∴ x x －8x+16ln x+m, ∵ ′ x x－8+ 6 x  2 2 x 8  x x  6  (2 x  x  ()3 x  ),0 )(1 x

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