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2018年江苏南通中考数学真题及答案.doc
2018 年江苏南通中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题所给出的的四个选项中，
恰有一项是符合题目要求的）
1．6 的相反数是（
）
B．6
）
B． 5x
1-
C． 6
C． 6x
A．—6
3
x
2．计算
2
x 结果是（
A． 52x
3．若代数式
A． 1x
1x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（
B． 1x
C． 1x
1
D． 6
D． 8x
）
D． 1x
4．2017 年国内生产总值达到 827000 亿元，稳居世界第二．将数 827000 用科学记数法表示
为（
）
A．82.7×104
B．8.27×105
C．0.827×106
D．8.27×106
5．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（
A．3，4，5
B．2，3，4
D．5，11，12
6．如图，数轴上的点 A，B，O，C，D 分别表示数－2，—1，0，1，2，则表示数
P 应落在（
5-2
的点
）
C．4，6，7
B．线段 BO 上
D．线段 CD 上
）
A．线段 AB 上
C．线段 OC 上
7．若一个凸多边形形的内角和为 720°，则这个多边形的边数
为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
8．一个圆锥的主视图是边长为 4cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（
）
A．16πcm2
B．12πcm2
C．8πcm2
D．4πcm2
9．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，按下列步骤作图：
步骤 1：分别以点 C 和点 D 为圆心，大于
1
2
CD 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点；
步骤 2：作直线 MN，分别交 AC，BC 于点 E，F；
步骤 3：连接 DE，DF．
若 AC＝4，BC＝2，则线段 DE 的长为（
3
2
4
3
5
3
C． 2
A．
B．
D．
）
10．如图，矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，将△BCE 沿 CE 翻折，点 B
．设 AB＝ x ，△ABF 的面积为 y ，则 y 与
落在点 F 处，tan∠DCE=
4
3
x 的函数图像大致为（
）
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．不需写出解答过程）
11．计算 3a2b－a2b＝
12．某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为 2：7：3，绘制成如图所示的扇形统计
图，则甲地区所在扇形的圆心角度数为
度．
．
度．
cm．
13．一个等腰三角形的两边长分别为 4cm 和 9cm，则它的周长为
14．如图，∠AOB＝40°，OP 平分∠AOB，点 C 为射线 OP 上一点，作 CD⊥OA 于点 D，在∠POB
的内部作 CE∥OB，则∠DCE＝
15．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先
行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走
150 里．慢马先走 12 天，快马几天可追上慢马？若设快马 x 天可追上慢马，则由题意，可
列方程为
16．如图，在△ABC 中，AD，CD 分别平分∠BAC 和∠ACB，AE
∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝
BC 中，选择一个作为已知条件，则能使四边形 ADCE 为菱形的
是
17．若关于 x 的一元二次方程
（填序号）．
01
有两个
mx
m
．
4
2
1 2
x
2
(2
mm
相等的实数根，则
18．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（2t，0），B（0，一 2t），C（2t，4t）三点，其
的值为
．
(
m
2
)2
)1
中 t＞0，函数
y
的图像分别与线段 BC，AC 交于点 P，Q．若 S△PAB－S△PQB＝t，则 t 的值
2
t
x
．
为
三、解答题（本大题共 10 小题，共 96 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分 10 分）
计算：（1）
)2(
2
3
64
)3(
0
2
1
3
；
2
a
9
6
a
a
3
a
．
（2）
2
a
9
20．（本题满分 8 分）
2
x
3
x
21．（本题满分 8 分）
解方程
x
1
x
1
．
3
一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把他们分别标号为 1，2，3．随机摸取一
个小球然后放回，再随机摸出一个小球．用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球标号
相同的概率．
22．（本题满分 8 分）
如图，沿 AC 方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从 AC
上的一点 B 取∠ABD＝120°，BD＝520m，∠D＝30・那么另一边开挖点 E 离 D 多远正好使 A，
C，E 三点在一直线上（ 3 取 1.732，结果取整数）？
23．（本题满分 9 分）
某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营
业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某
月的销售额（单位：万元），数据如下：
18
17
32
16
16
23
13
19
17
17
22
15
对这 30 个数据按组距 3 进行分组，并整理、描述和分析如下．
28
16
28
26
14
28
18
15
16
24
32
15
15
30
15
19
26
19
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝
；
（2）若将月销售额不低于 25 万元确定为销售目标，则有
（3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说
位营业员获得奖励；
，b＝
，c＝
明理由．
24．（本题满分 8 分）
如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，且
交⊙O 于点 E．连接 OC，BE，相交于点 F．
（1）求证：EF＝BF；
（2）若 DC＝4，DE＝2，求直径 AB 的长．
25．（本题满分 9 分）
小明购买 A，B 两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：
根据以上信息解答下列问题
（1）求 A，B 两种商品的单价；
（2）若第三次购买这两种商品共 12 件，且 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 2
倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
26．（本题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线
y
2
x
(2
k
)1
x
k
2
5
2
k
（ k 为常数）．
（1）若抛物线经过点（1， 2k ），求 k 的值；
（2）若抛物线经过点（ k2 ， 1y ）和点（2， 2y ），且 1y ＞ 2y ，求 k 的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线，当
x 时，新抛物线对应
2
1
的函数有最小值
3- ，求 k 的值．
2
27．（本题满分 13 分）
如图，正方形 ABCD 中，AB＝ 52 ，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE＝2，
连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得 DF，连接 AE，CF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若 A，E，O 三点共线，连接 OF，求线段 OF 的长；
（3）求线段 OF 长的最小值．
28．（本题满分 13 分）
【定义】
如图 1，A，B 为直线l 同侧的两点，过点 A 作直线l 的对称点 A＇，连接 A＇B 交直线l 于
点 P，连接 AP，则称点 P 为点 A，B 关于直线l 的“等角点”．
【运用】
如图 2，在平面直坐标系 xOy 中，已知 A（2， 3 ），B（－2，－ 3 ）两点．
（1）
3,4C
2
，
2,4D
2
，
1,4E
2
等角点；
三点中，点
是点 A，B 关于直线 4x 的
（2）若直线l 垂直于 x 轴，点 P（m，n）是点 A，B 关于直线l 的等角点，其中 m＞2，∠
APB＝a，求证：
tan
a ；
2
n
2
（3）若点 P 是点 A，B 关于直线
y
ax
(
ab
)0
的等角点，且点 P 位于直线 AB 的右下
方，当∠APB＝60°时，求 b 的取值范围（直接写出结果）．
2018 年江苏南通中考数学真题参考答案
1．A
2．B
3．D
4．B
5．A
6．B
7．C
8．C
9．D
10．D
11．2a2b
12．60
14．130
15．240x＝150（x＋12）
16．②
合四边形 ADCE 是平行四边形可证其是菱形．故答案为②．
14
2
7 由题意得△＝b2－4ac＝0，即
2
2
m
13．22
17．
2
m
m
2
2
根据②AB＝BC，可以推出△ABC 是等腰三角形，由角平分线可推出 AD＝DC，再结
4
m
0
1
，整理得：
．
1
2
2
4
1
2
原式＝
将
2
m
m
2
m
m
24
m
2
2
m
m
4
代入，即原式＝
，故答案为
2
m
4
1
2
2
7
2
4
m
，
2
2
m
7 ．
2
18．4
解：设 BC 交 x 轴于点 D，BQ 交 x 轴于点 G，过 P 作 PE
⊥y 轴于点 E，并延长 EP 交 AC 于点 H，过点 Q 作 QD⊥y 轴于点 D．由
B（0，-2t），C（2t，4t），易得 BC 的解析式为 y＝3x-2t．令 y
2
＝0，得 x＝ t
3
2
，即 F 的坐标为（ t
3
，0）．与
y
2
t
x
t 2
x
，解得 x＝t，
x
1
3
t
（舍），∴P 点坐
联列，可得 3x－2t＝
标为（t，t）．
由 A（2t，0），C（2t，4t），易得 Q 点的横坐标为 2t，代入
y
2
t
x
中，即
y
t
，
2
t
2
t
1
2
1
∴Q 点坐标为（2t， t
2
y
易得 BQ 的解析式为
由图可知，
S PAB
1
2
1
）．由 B（0，－2t），Q（2t， t
2
5
8
．令 y＝0，得得 x＝ t
x
5
4
AF
BE
2
t
2
t
AC
t
2
3
OA
），
8
，即 G 的的坐标为（ t
5
，0）．
22
t
．
2
t
1
2
BD
AG
1
2
1
t
2
CQ
PH
2
7
4
2
t
7
4
2
t
t
1
2
4
t
1
2
1
2
2
t
2
7
t
4
S
PQB
S
ACB
S
ABQ
S
CPQ
BD
AG
4
t
2
t
1
2
t
2
t
1
2
8
5
t
1
2
1
2
t
2
t
t
2
4
t
∵
S
PQB
PAB
，∴
2
2
t
t
，解得：t1=4，t2=0（舍去）．∴t=4．
1
2
S
t
19．解：（1）原式＝4－4＋1－9＝一 8．
a
3
3
a
2
3
a
a
3
a
a
3
a
．
（2）原式
20．解：去分母可得 3x＝2x＋（3x＋3），化简可得 2x＝－3，解得
3x
2
．经检验
3x
2
是原方程的解．
21．解：画树状图如下：
或列表如下：
根据树状图或列表可知满足情况的有 3 种，∴P＝
3 ．
9
1
3
22．解：∵∠ABD＝120°，∴∠CBD＝60°，∵∠CED＝90°，
∴ED＝BD・sin∠EBD＝520×
3
2
＝260 3 ≈450m．
答：当开挖点 E 离 D450m 时正好使 A，C，E 三点在同一直线上．
23．解：（1）3，4，15；（2）8；（3）根据中位数为 18 可得，可把营业额定在 18 万元，就
可以让一半左右的人达到销售目标．
24．（1）根据切线的性质，易证四边形 CDEF 是一个矩形，即可推出 OC 与 EB 相互垂直，再
根据垂径定理即可证明结论；
（2）由题意易得 DC＝EF＝FB＝4，CF＝DE＝2，设半径为 r，则 OF＝r－2，在 Rt△OBF 中，
利用勾股定理即可得到半径的长，从而求出直径 AB 的长．
解：（1）由于 CD 为圆的切线，可得 OC⊥CD，∠OCD＝90°，又∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，
∵AB 是直径，∴∠AEB＝90°，可证四边形 CDEF 是矩形，∴OC⊥EB，EF＝FB．
（2）由（1）得 DC＝EF＝FB＝4，CF＝DE＝2，设半径为 r，则 OF＝r—2，在 Rt△OBF 中，
OF2＋FB2＝OB2，
r
25．（1）列二元一次方程组，用代入法或加减法解方程即可；（2）将题目转化为一元一次不
等式，利用一元一次不等式解即可．
，解得得 r＝5，所以 AB＝10．
4
2
r
2
2
2
y
y
x
3
解：（1）设 A，B 两种商品的价格分别为 x，y，由题意可得
2
x
（2）设购买的 A 商品 a 件，则 B 商品为 12－a 件，所花钱数为 m．
由于 a≥2（12－a），可得 8≤a≤12，
,20
,15
,55
,65
所以 A，B 两种商品的价格分别为 20，15；
解得
x
y
∵m＝20a+15（12-a）=5a+180，
∴当 a＝8 时所花钱数最少，即购买 A 商品 8 件，B 商品 4 件．
26． （1）把（1，k2）代入抛物线解析式中并求解即可；（2）将点分别代入抛物线解析
式中，由 y1＞y2 列出关于 k 的不等式，求解即可；（3）先求出新抛物线的解析式，然后分
1≤k≤2，k＞2 以及 k＜1 三种情况讨论，根据二次函数的顶点及增减性，分别确定三种情
况下各自对应的最小值，然后列出方程并求出满足题意的 k 值即可．
解：（1）∵抛物线
y
2
x
∴
2
k
2
1
(2
k
)1
k
2
k
)1
x
k
2
，解得 k＝
（2）∵抛物线
y
2
x
(2
k
x
∴
y
1
2
4
k
(2
k
2)1
k
2
经过点（1，k2），
5
k
2
2 ．
3
经过（2k，y1）、点（2，y2），
3
2
k
k
，
8
，
2
k
5
2
k
k
2
2
k
5
2
k
13
2
(2
5
2
)1
k
k
5
2
2
k
2
k
y
2
2
2
(2
k
∵
y ，∴
1
y
2
2
2)1
3
2
)1
(2
k
k
k
（3）∵
y
2
x
x
2
k
k
k
13
2
5
2
k
8
，解得 k＞1．
x
(
k
)1
2
1
2
k
1
，
∴将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线为
y
x
(
k
1)1
2
1
2
k
(1
x
2
k
)
1
2
k
1
，
当 k＜1 时，1≤x≤2 对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大，
1(
k
2
1)
2
k
1
k
2
5
2
k
，∴
2
k
5
k
2
3
2
，
∴x＝1 时，y 最小＝
解得
11 k
，
2 k
3
2
当 1≤k≤2 时 y 最小＝
，都不合题意，舍去；
1
k ，∴
2
1
1
k
2
1
，
3
2
解得 k＝1；当 k＞2 时，1≤ x ≤2 对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y 随 x 的增大而
减小，
∴x＝2 时，y 最小＝
2(
2
k
)
1
2
k
1
k
2
9
2
k
3
，∴
2
k
9
k
2
3
3
2
，
解得 k1＝3，k2＝
3
2
（舍去），综上可知 k＝1 或 3．
27．
解：（1）∵线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得 DF，
∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠CDE+∠CDF＝90°，
在正方形 ABCD 中，AD＝CD，∠ADC＝90°．
∴∠CDE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE 与△CDF 中，
AD
∠
DE
∴△ADE≌△CDF，∴AE=CF
ADE
CD
，
∠
DF
，
CDF
，
（2）如图，过 F 点作 OC 的垂线，交 OC 的延长线于 G 点，过 E 点作 EK⊥AB 于点 K，
，
AK
AB
EK
BO
若 A ， E ， O 三 点 共 线 ， 可 得 △ AEK ∽ △ AOB ， ∴
AE
AO
已知 AB＝2 5 ，BO＝ 5 ，∴AO＝5，AE＝3，
53
5
AK
52
55
6
EK
5
， AK＝
，EK＝
3
5
∴
，
∵∠DAE＝∠DCF，∴∠EAK＝∠FCG，
∵AE＝CF，∠AKE＝∠FGC＝90，
∴△AEK≌△CFG，FG＝
53
5
，CG＝
55
6
，
在 Rt△OGF 中，由勾股定理得 OF＝ 26 ．
（3）如图，由于 OE＝2，所以 E 点可以看作是在以 O 为圆心，2 为半径的半圆上运动，
延长 BA 至 P 点，使得 AP＝OC，连接 PE，
∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，
∴△PAE≌△OCF，PE＝OF．
当 PE 最小时，为 O，E，P 三点共线，
)53(
＝ 25 ，
2 PB
OB
)5(
2
2
2
OP＝
∴PE＝OP－OE＝ 25 －2，∴OF 最小值为 25 －2．
＝
28．
解：（1）C；
（2）如图，过点 A 作直线l 的对称点 A＇，连接 A＇B，交直线l 于点 P，作 BH⊥l 于点 H．
∵点 A 和点 A＇关于直线l 对称，∴∠APG＝∠A＇PG．
∵∠BPH＝∠A＇PG，∴∠APG＝∠BPH．
∵∠AGP＝∠BHP＝90°，∴△AGP∽△BHP．
∴
AG
BH
GP
HP
，即
∴
32mn
，即
m
2
2
m
m
32
n
3
n
3
n
．
．
∵∠APB＝，AP＝A＇P，∴∠A＝∠A＇＝
在 Rt△AGP 中，
tan
2
PG
AG
3
n
2
m
n
2
．
．
2
3
32
n
n
2
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