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2015年湖北高考理科数学真题及答案.doc
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置
（一）必考题（11—14题）
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
绝密★启用前
2015 年湖北高考理科数学真题及答案
本试题卷共 6 页，22 题，其中第 15、16 题为选考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
★祝考试顺利★
1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡
上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的
答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1． i 为虚数单位， 607
i 的共轭复数．．．．为
A． i
B． i
C．1
D． 1
2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为
A．134 石
B．169 石
C．338 石
D．1365 石
3．已知 (1
)nx 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A． 122
B． 112
C． 102
D． 92
4．设
2
X N
1
(
,
1
)
，
2
Y N
2
(
,
2
)
，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
A．
(
P Y
2
)
(
P Y
)
1
B．
(
P X
2
)
(
P X
1
)
C．对任意正数 t ， (
P X t
)
(
P Y t
)
D．对任意正数 t ， (
P X t
)
(
P Y t
)
5．设 1
,
a a
2
,
,
a R
n
， 3n . 若 p： 1
,
a a
2
,
第 4 题图
a 成等比数列；
,
n
q： 2
a
1
(
2
a
2
a
2
n
1
)(
2
a
2
2
a
3
a
2
n
)
(
a a
1 2
a a
2 3
a a
1
n
n
2
)
，则
A．p是 q的充分条件，但不是 q的必要条件
B．p是 q的必要条件，但不是 q的充分条件
C．p是 q的充分必要条件
D．p既不是 q的充分条件，也不是 q的必要条件
6．已知符号函数
sgn
x
1,
0,
1,
x
x
x
0,
0,
0.
A． sgn[ ( )]
g x
sgn
x
C． sgn[ ( )]
g x
sgn[
( )]
f x
f x 是 R 上的增函数， ( )
( )
g x
( )
f x
(
f ax
) (
a
1)
，则
B． sgn[ ( )]
g x
sgn
x
D． sgn[ ( )]
g x
sgn[
( )]
f x
7．在区间[0, 1] 上随机取两个数 ,x y ，记 1p 为事件“
x
y ”的概率， 2p 为事件“
1
2
|
x
y
|
”的概率，
1
2
3p 为事件“
xy ”的概率，则
1
2
p
A． 1
p
2
p
3
p
C． 3
p
1
p
2
p
B． 2
p
3
p
D． 3
p
2
p
1
p
1
8．将离心率为 1e 的双曲线 1C 的实半轴长 a 和虚半轴长 (
b a
b 同时增加 (
m m 个单位
0)
)
长度，得到离心率为 2e 的双曲线 2C ，则
A．对任意的 ,a b ， 1
e
C．对任意的 ,a b ， 1
e
e
2
e
2
B．当 a
e
b 时， 1
e ；当 a b 时， 1
e
2
e
2
D．当 a
b 时， 1
e
e ；当 a b 时， 1
e
2
e
2
9．已知集合
A
{( ,
x y x
)
2
2
y
1,
,
x y
Z ， {( ,
x y
B
}
) |
x
| 2 , |
y
| 2,
,
x y
Z ，定义集合
}
A B
{(
x
1
,
x y
2
1
y
2
) (
,
x y
1
1
)
, (
,
A x y
2
2
)
，则 A B 中元素的个数为
}
B
A．77
B．49
C．45
D．30
10．设 x R ，[ ]x 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t ，使得[ ] 1
t ， 2[
t ，…，[
] 2
]nt
n
同时成立．．．．，则正整数 n 的最大值是
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题：本大题共 6 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．请将答案填在答题卡对应题号
．．．．．．．
的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
（一）必考题（11—14 题）
，|
11．已知向量 OA AB
x
2
12．函数
4cos
( )
f x
OA
π
2
，则 OA OB
．
| 3
2
cos(
x
) 2sin
x
| ln(
x
1) |
的零点个数为
．
13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30 的方向
上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75 的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度 CD
m.
D
C
B
第 13 题图
A
y
B
C
N
T
x
M
A
O
第 14 题图
14．如图，圆 C 与 x 轴相切于点 (1, 0)
T
，与 y 轴正半轴交于两点 ,A B （B在 A的上方），
且
AB ．
2
（Ⅰ）圆 C 的标准．．方程为
（Ⅱ）过点 A 任作一条直线与圆
；
:
O x
2
2
y
相交于 ,M N 两点，下列三个结论：
1
①
NA MA
NB MB
； ②
NB MA
NA MB
； ③
2
NB MA
NA MB
2 2
．
其中正确结论的序号是
. （写出所有正确结论的序号）
（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的
方框用 2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第 15 题作答结果计分．）
15．（选修 4-1：几何证明选讲）
如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，
P
B
C
且
BC
3
PB
，则 AB
AC
.
16．（选修 4-4：坐标系与参数方程）
A
第 15 题图
在直角坐标系 xOy中，以 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l的极坐标方程为
(sin
3cos )
，曲线 C的参数方程为
0
|
|AB
.
x
t
y
t
1,
t
1
t
( t为参数) ，l与 C相交于 A, B两点，则
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 11 分）
某同学用“五点法”画函数
( )
f x
A
sin(
|
x
在某一个周期内的图象
0, |
) (
π
)
2
时，列表并填入了部分数据，如下表：
x
x
A
sin(
)
x
0
0
π
2
π
3
5
π
3π
2
5π
6
5
2π
0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置
．．．．．．．．．．．，并直接写出函数 ( )
f x 的解
析式；
（Ⅱ）将
y
( )
f x
象. 若
y
图象上所有点向左平行移动 (
图象的一个对称中心为 5π(
12
( )
g x
0) 个单位长度，得到
y
( )
g x
的图
, 0)
，求的最小值.
18．（本小题满分 12 分）
设等差数列{ }na 的公差为 d，前 n项和为 nS ，等比数列{ }nb 的公比为 q．已知 1
b
S ．
10
（Ⅰ）求数列{ }na ，{ }nb 的通项公式；
100
（Ⅱ）当 1
d 时，记
c
n
，求数列{ }nc 的前 n项和 nT ．
a
n
b
n
19．（本小题满分 12 分）
a ， 2
b ， q
2
1
d ，
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角
三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马 P ABCD
且 PD CD ，过棱 PC 的中点 E ，作 EF
点 F ，连接 ,
（Ⅰ）证明： PB
DE DF BD BE
平面
DEF
,
,
中，侧棱 PD 底面 ABCD ，
PB 交 PB 于
.
．试判断四面体 DBEF 是
否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π
3
，
A
求 DC
BC
的值．
20．（本小题满分 12 分）
P
D
F
E
B
第 19 题图
C
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 ,A B 两种奶制品．生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，
获利 1000 元；生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元．要求每天 B 产品
的产量不超过 A 产品产量的 2 倍，设备每天生产 ,A B 两种产品时间之和不超过 12 小时. 假定每天可获
取的鲜牛奶数量 W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W
P
12
0.3
15
0.5
18
0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 Z （单位：元）是一
个随机变量．
（Ⅰ）求 Z 的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率．
21．（本小题满分 14 分）
接，MN上的栓子 D可沿滑槽 AB滑动，且
一种作图工具如图 1 所示． O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON可绕 O转动，长杆 MN通过 N处铰链与 ON连
MN ．当栓子 D在滑槽 AB内作往复运动时，
带动．．N绕 O 转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为 C．以 O 为原点， AB 所在的
直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系．
DN ON
，
1
3
（Ⅰ）求曲线 C的方程；
（Ⅱ）设动直线 l 与两定直线 1 :
l
x
2
y
和 2 :
0
l
x
2
y
分别交于 ,P Q 两点．若直线 l
0
总与曲线 C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若
存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
N
A
D O
B
y
N
D
O
x
M
M
第 21 题图 1
第 21 题图 2
22．（本小题满分 14 分）
已知数列{ }na 的各项均为正数，
b
n
n
(1
1
n
n
)
a
n
(
n
N ，e 为自然对数的底数．
)
（Ⅰ）求函数 ( ) 1
f x
与 e 的大小；
)n
x
e x
的单调区间，并比较 1
n
b
n
a
b b
，由此推测计算 1 2
a a
1 2
b b b
， 1 2 3
a a a
1 2 3
(1
n
b
（Ⅱ）计算 1
a
1
b b
， 1 2
a a
1 2
的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令
c
n
(
a a
1 2
1
) n
，数列{ }na ，{ }nc 的前 n 项和分别记为 nS , nT , 证明：
a
n
T
n
e
S
n
.
绝密★启用前
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）试题参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）
1．A
2．B
3．D
4．C
5．A
6．B
7．B
8．D
9．C
10．B
二、填空题（本大题共 6 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
11．9
12．2
14．（Ⅰ）
(
x
2
1)
(
y
2
2)
；（Ⅱ）①②③
2
13．100 6
15． 1
2
16． 2 5
三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分）
17．（11 分）
（Ⅰ）根据表中已知数据，解得
A
2,
5,
. 数据补全如下表：
π
6
x
x
A
sin(
)
x
0
π
12
0
且函数表达式为
( ) 5sin(2
f x
x
π
7π
12
0
π
2
π
3
5
π
6
)
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
( ) 5sin(2
f x
x
，得
)
( ) 5sin(2
g x
x
2
2π
13 π
12
0
3π
2
5π
6
5
π
6
)
.
π
6
k
因为 sin
y
令
2
x
2
x
π
6
由于函数
y
( )
g x
，解得
π
k
的对称中心为 ( π, 0)
x
， k Z .
π
12
的图象关于点 5π(
12
π
k
2
, 0)
， k Z .
解得
π
k
2
18．（12 分）
π
3
， k Z . 由 0 可知，当 1
（Ⅰ）由题意有，
d
100,
45
10
a
1
2,
a d
1
2
a
即 1
a d
1
9
d
2,
20,
成中心对称，令 π
k
2
π
12
，
5π
12
k 时，取得最小值 π
6
.
解得 1 1,
a
2,
d
或
a
1
d
9,
2 .
9
故
a
n
b
n
1,
2
n
1
n
2 .
或
（Ⅱ）由 1
d ，知
na
2
n
1
，
nb
，故
12n
c
n
b
n
a
n
2
n
n
2
1 (2
n
9
29 (
9
)
79),
n
1
.
1
1
，于是
①
②
T
n
1
3
2
1
2
T
n
1
2
5
2
2
3
2
2
7
3
2
5
3
2
9
4
2
7
4
2
1
1
2
n
n
2
，
9
5
2
2
1
n
n
2
.
①-②可得
2
1
1
2
2
2
2
n
1
2n
3
6
1
n
2
2
1
n
n
2
2
3
2
3
n
n
2
，
.
1
2
T
n
故 nT
19．（12 分）
（解法 1）
（Ⅰ）因为 PD 底面 ABCD ，所以 PD BC ，
由底面 ABCD 为长方形，有 BC CD ，而 PD CD D
，
所以 BC
平面
PCD
. 而 DE
平面
PCD
，所以 BC DE
.
又因为 PD CD ，点 E 是 PC 的中点，所以 DE PC
.
而 PC BC C
，所以 DE 平面 PBC . 而 PB
平面
PBC
，所以 PB DE
.
又 PB EF ， DE EF E
，所以 PB 平面 DEF .
由 DE 平面 PBC ， PB 平面 DEF ，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，
即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 DEB
，
DEF
， EFB
，
DFB
.
（Ⅱ）如图 1，在面 PBC 内，延长 BC 与 FE 交于点 G ，则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD
的交线. 由（Ⅰ）知， PB
平面
DEF
，所以 PB DG
.
又因为 PD 底面 ABCD ，所以 PD DG
. 而 PD PB P
，所以 DG
平面
PBD
.
故 BDF
是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角，
设
PD DC
， BC ，有
1
BD
1
，
2
在 Rt△PDB中, 由 DF
PB
, 得
DPF
FDB
π
3
,
则
tan
π
3
tan
DPF
BD
PD
所以
1
DC
BC
2 .
2
1
2
3
, 解得
2
.
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