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利用matlab实现H-infinity鲁棒控制.doc

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.27M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    西安交通大学自动化系 利用 Matlab 实现 H∞控制 Prof. Dr.-Ing.F.Allgwer Institute for Systems Theory and Automatic Control http://www.ist.uni-stuttgart.de/education/courses/robust 1 引 言 H∞控制器设计原理容易理解，难点在于编程。这里简单介绍 Matlab 里面几 个相关函数的用法，希望能帮助你设计第一个 H∞控制器。 Matlab 提供了很多 H∞设计函数，与 H∞设计相关的几个重要的工具箱有： Control System Toolbox ， mu-Analysis and Synthesis Toolbox(mu-tools) ， Robust Control Toolbox（RCT）和 LMI Control Toolbox。Matlab7.0 之后的版本中，LMI 和 mu-tools 都包含在 RCT v3.0.1 中，Matlab 7.0 之前的版本中这些工具箱是独立 的。 本文中用到的函数都写在了一个 m 文件中（见附录），也可以从网站下载。 利用混合 S/KS 问题说明 H∞相关函数的用法。首先回顾这个问题。 2 回路成形传递函数 混合 S/KS 问题可用图 1 来说明。 从 w 到 z 的闭环传递函数 可以表示为 广义过程模型 P(s)（见图 2）可以表示为 原文：H∞ Control in Matlab. 2011/12/8 译
    假设上面几个状态空间变量具有如下的形式： 于是可以得到 P(s)的一个可能的状态空间实现形式： WS 和 WKS 为调整参数。一种选择方法为： 其中 A<1 为允许的最大稳态误差， 为期望带宽，M 为灵敏度峰值（一般情况 下 A=0.01，M=2）。从控制器设计的方面来说， 的倒数为回路成形期望灵敏 度的上限， 影响控制器的输出 u。 有些情况下希望对补灵敏度函数 进行回路成 形设计（在图 1 中增加一个输出 ）。一种选择方法为： 此函数与 函数成 轴对称，见图 3 所示。图中参数设置为 A=0.01 （=-40dB），M=2（=6dB）， 。 2
    3 子系统的实现 在 Matlab 中有几种方式得到 G，WS 和 WKS。例如 Control System Toolbox 提 供的 ss，tf 和 zpk 等函数。Mu-tools 也提供了诸如 pck，nd2sys，zp2sys 等函数， 也可以用 mksys 和 tree 等方法。需要注意的是，Mu-tools 提供了一种与 Control System Toolbox 不一样的表达方式：系统矩阵（system matrix）。Control System ，对 mu-tools 则不适用。 Toolbox 里面可以写成 Mu-tools： 4 广义系统 P 的实现 广义系统 P 也有多种产生方式。下面我列举了五种： （1）直接写出传递函数矩阵，见 2 节。我倾向于利用 mu-tools。如果后面需 要转化为状态空间模型，需要利用 minreal 之类的函数得到最小化实现。重要的 函数有：sbs（side-by-side），abv（above），mmult（multiply），minv（inverse）。 （2）写出状态空间系数矩阵 A,B,C,D，然后利用 3 节中的指令：P=pck （A,B,C,D）。 （3）利用 sysic 函数（system interconnect）。先在一个 m 文件中利用 mu-tools 设置了子系统，然后利用该函数将子系统互连起来。 （4）利用 sconnect 函数，这是 LMI-tools 提供的函数。子系统、输入、输出 以参数的形式传递，sconnect 返回互连的系统。 （5）利用 RCT v3.0.1 提供的 iconnect 函数，该函数功能与 sysic 类似。 这些方法中，我倾向于 sysic 和 iconnect 函数，因为它们使用灵活，能够搭 建方法 1 和方法 2 难于搭建的复杂系统。一般情况下，得到均衡实现形式以避免 数值计算问题是一个很好的想法，均衡实现形式可以利用 Control System Toolbox 3
    提供的 balreal 实现。 5 控制器设计 设计问题是寻找一控制器 K，使之稳定系统 G，并使下列的 H∞ 范数最小： 有很多种得到 H∞控制器的方法，例如 hinfsyn，hinfric，hinflmi，这些函数 将 P 作为输入，并以系统矩阵（mu-tools）方式表达。RCT v3.0.1 提供了 mixsyn 作为输入（ 函数，将 为补灵敏度函数权重），并不需要事 先得到广义系统模型 P。这些方法的主要区别在于是否用到 Riccati 方程和γ迭代 或者线性矩阵不等式来求解最优化问题。LMI 方法不需要求解 Riccati 时设定的 假设条件。 另外还有些指令：ncfsyn 和 loopsyn（对开环传递函数 L=GK 进行 H∞回路成 形设计），hinfmix 和 msfsyn（多目标）。具体请查阅手册。 6 结果分析 当控制器设计好后，需要对结果进行分析，这时可以利用 Control System Toolbox 提供的函数，例如利用 lsim，step（阶跃响应），bode（伯德图），sigma （奇异值），freqresp（频域响应）等函数对传递函数 S，KS，T，K，GK 进行分 析。Mu-tools 提供的函数有：trsp（时域响应），frsp（频域响应），vsvd（奇异值）， vplot。 7 结论 从前面可见，有很多种进行 H∞控制器设计的方法。为了避免混淆，我建议 尽可能使用 mu-tools 和 RCT。如果你知道 Control System Toolbox 存在某个函数， 那么 mu-tools 也很可能存在具有相同功能的函数，只不过名称稍有些不同。如果 你清楚自己的目的，但不知道函数的名字，那么建议你浏览帮助手册中的函数索 引。 希望此处简短的介绍能够帮助你进行 H∞控制器的设计。好运！ 附录 %下面的代码展示了如何在 Matlab 中进行 H-infinity 控制器的设计。此处举的例 子与混合 %S/KS 问题有些不同。此处用到的模型和权重函数见 Skogestad 和 Postlethwaite， 1996， %ed.1,p.60.权重函数并不是“最优”的。 % %大部分函数来自 mu-tools，一些来自 lmi-tools。mu-tools 和 lmi-tools 均包含在 RCT %v3.0.1 中。 %-Jorgen Johnsen 14.12.06 %------------------------------------------------------------------------- %建立子系统 4
    %------------------------------------------------------------------------- %Plant:G=200/((10s+1)(0.05s+1)^2) %方法 1：直接方法，利用 mu-tools G=nd2sys(1,conv([10,1],conv([0.05,1],[0.05 1])),200); %方法 2：control system toolbox s=tf('s'); Gcst=200/((10*s+1)*(0.05*s+1)^2); [a,b,c,d]=ssdata(balreal(Gcst)); G=pck(a,b,c,d); %权重：Ws=(s/M+w0)/(s+w0*A),Wks=1 M=1.5;w0=10;A=1.e-4; Ws=nd2sys([1/M w0],[1 w0*A]); Wks=1; %------------------------------------------------------------------------- %建立广义系统 P %------------------------------------------------------------------------- %方法 0：直接方法 %/z1\ %|z2| =|0 Wks | | | %\ v/ -G / \u/ /Ws -Ws*G\ /r\ \I %传递函数表达方法 Z1=sbs(Ws,mmult(-1,Ws,G)); Z2=sbs(0,Wks); V=sbs(1,mmult(-1,G)); P0=abv(Z1,Z2,V); %通常情况下 P0 并不是最小实现，所以需要降阶 [a,b,c,d]=unpck(P0); [ab,bb,cb,db]=ssdata(balreal(minreal(ss(a,b,c,d)))); P0=pck(ab,bb,cb,db); %此时得到变量为 System 类型 %------------------------------------------------------------------------- %建立广义系统 P %------------------------------------------------------------------------- %方法 1：直接方法 %/z1\ %|z2| =|0 W2 | %\ v/ | | -G / \u/ /W1 -W1*G\ /r\ \I %子系统的 ss 实现 [A,B,C,D]=unpck(G); [A1,B1,C1,D1]=unpck(Ws); 5
    [A2,B2,C2,D2]=unpck(Wks); %计算不同子系统的输入、输出变量的个数 n1=size(A1,1);[q1,p1]=size(D1); n2=size(A2,1);[q2,p2]=size(D2); n=size(A,1);[q,p]=size(D);%原文此处为[p,q]=size(D); %全系统的 ss 实现 Ap=[A1 zeros(n1,n2) -B1*C; zeros(n2,n1) A2 zeros(n2,n); zeros(n,n1) zeros(n,n2) A]; Bp=[B1 -B1*D; zeros(n2,p) B2; zeros(n,p) B]; Cp=[C1 zeros(q1,n2) -D1*C; zeros(q2,n1) C2 zeros(q2,n); zeros(q,n1) zeros(q,n2) -C]; Dp=[D1 -D1*D; zeros(q2,p) D2; eye(p) -D]; %得到均衡实现形式，以减少可能产生的计算问题 [Apb,Bpb,Cpb,Dpb]=ssdata(balreal(ss(Ap,Bp,Cp,Dp))); P1=pck(Apb,Bpb,Cpb,Dpb); %P1 与 P0 数值相近，但符号有差别 %------------------------------------------------------------------------- %建立广义系统 P %------------------------------------------------------------------------- %方法 2：利用 sysic 函数 systemnames='G Ws Wks'; inputvar='[r(1);u(1)]';%所有输入均为标量，r(2)为两维信号 outputvar='[Ws;Wks;r-G]'; input_to_G='[u]'; input_to_Ws='[r-G]'; input_to_Wks='[u]'; sysoutname='P2'; cleanupsysic='yes'; sysic %------------------------------------------------------------------------- %建立广义系统 P %------------------------------------------------------------------------- %方法 3：利用 sconnect 函数 inputs='r(1);u(1)'; outputs='Ws;Wks;e=r-G'; 6
    K_in=[];%无控制器 G_in='G:u'; Ws_in='Ws:e'; Wks_in='Wks:u'; [P3,r]=sconnect(inputs,outputs,K_in,G_in,G,Ws_in,Ws,Wks_in,Wks); %------------------------------------------------------------------------- %建立广义系统 P %------------------------------------------------------------------------- %方法 4：利用 iconnect 函数 %注意 1：不再使用 mu-tools System 表达形式 %注意 2：iconnet 函数仅适用于 Robust Control Toolbox v3.0.1 及以上版本 r=icsignal(1); u=icsignal(1); ws=icsignal(1); wks=icsignal(1); e=icsignal(1); y=icsignal(1); M=iconnect; M.Input=[r;u]; M.Output=[ws;wks;e]; M.Equation{1}=equate(e,r-y); M.Equation{2}=equate(y,ss(A,B,C,D)*u); M.Equation{3}=equate(ws,ss(A1,B1,C1,D1)*e); M.Equation{4}=equate(wks,ss(A2,B2,C2,D2)*u); [ab,bb,cb,db]=ssdata(balreal(M.System)); P4=pck(ab,bb,cb,db); %------------------------------------------------------------------------- %控制器的设计 %------------------------------------------------------------------------- %下面使用的方法均基于广义系统 P 的 System 矩阵表达形式 %选择你喜欢的控制器设计方法和广义系统 P %选择广义系统 P P=P1; %P=P0;P=P1;P=P2;P=P3;P=P4; %然后设置一些参数（测量变量个数，输入变量个数，gamma 限制） nmeas=1;nu=1;gmn=0.5;gmx=20;tol=0.001; %控制器设计：选择你喜欢的设计方法，不需要的注释掉 [K,CL,gopt]=hinfsyn(P,nmeas,nu,gmn,gmx,tol); [gopt,K]=hinflmi(P,[nmeas,nu],0,tol); CL=starp(P,K,nmeas,nu); [gopt,K]=hinfric(P,[nmeas,nu],gmn,gmx);CL=starp(P,K,nmeas,nu); 7
    %利用 RCT v3.0.1 进行控制器的设计 %通常不需要系统的传递函数表达式，但更需要 ss 类型 [a,b,c,d]=unpck(G); Gcst=ss(a,b,c,d); [a,b,c,d]=unpck(Ws); Wscst=ss(a,b,c,d); [a,b,c,d]=unpck(Wks); Wkscst=ss(a,b,c,d); [K,CL,gopt]=mixsyn(Gcst,Wscst,Wkscst,[]); [a,b,c,d]=ssdata(balreal(K)); K=pck(a,b,c,d); [a,b,c,d]=ssdata(balreal(CL)); CL=pck(a,b,c,d); %------------------------------------------------------------------------- %分析结果 %------------------------------------------------------------------------- %注意：此处使用 mu-tools 函数。也可以使用 control toolbox 指令，例如用 series 和 %feedback 进行子系统连接，sigma 或 freqresp，svd 和 bode 画奇异值，step 和 lsim 分析 %时域响应 %画(Weighted)闭环系统的奇异值 w=logspace(-4,6,50); CLw=vsvd(frsp(CL,w)); figure(1) vplot('liv,m',CLw) title('singular values of weighted closed loop system') %得到传递函数矩阵 [type,out,in,n]=minfo(G); I=eye(out); S=minv(madd(I,mmult(G,K))); %灵敏度函数 T=msub(I,S); %补灵敏度函数 KS=mmult(K,S); %G 的输入 GK=mmult(G,K); %回路传递函数 %频域的奇异值 Sw=vsvd(frsp(S,w)); Tw=vsvd(frsp(T,w)); Kw=vsvd(frsp(K,w)); KSw=vsvd(frsp(KS,w)); GKw=vsvd(frsp(GK,w)); %画奇异值 %注意：如果愿意的话，可以将 vplot 用 plot 代替，单位是 dB。 figure(2) 8
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