南航江驹线性系统理论习题及答案.pdf-资料库

第一章习题（Exercises） 1-1 设有矩阵 A        试证，A 的特征多项式为 0 0 1 0 0 1 0 0    a n   a n  1      a a   1 n  2        ( ) det(    I A )   n n    a 1 1   a n  2  2    a n   1  a n 若 i是 A 的特征值，试证 1,  T 是对应于 i的特征向量。 , 2 i n 1       i i )i f  是矩阵 ( 1-2 若 i是 A 的一个特征值，试证 ( f A 的一个特征值。 ) 1-3 试求下列矩阵的特征多项式和最小多项式 1  1            1     1                1            1      1-4 给定试求 101A Ate 和 1-5 若 D 可逆，证明 A       1 1 0 0 0 1 0 0 1      det A B C D        det D  det   A BD C 1     1-6 若 A R p q  , B R  q p  ，试证 det I   p  AB    det I   q  BA  1-7 求下列齐次方程的基本解阵和状态转移矩阵（1） x      t 0 0 0    x ，（2） x  t 0 cos 0 0        x

（3） x      0 0 te  0  x  ，（4）  x  0         0  x 1-8 已知 ,A B 为常值方阵，且 AB BA ，试证明 x  At e Be x At 的状态转移矩阵为  t t ( , 0 )  e  At e ( A B t )(   t 0 ) At 0 e 1-9 求下列系统的脉冲响应阵和传递函数阵 x   3  0 0      1  1  0 1 1 2       x  1 0 0 1 1 1           u , y     1 0 0 0 0 1    x 1-10 求下列传递函数阵的极点和零点 G s ( )  1 s 1        s 1 s 1 2  s s 1) (  s 1 2  s s 1) (  2       1-11 若系统的系统矩阵 ( )S s 为 S s ( )  1 0 0 0       2 s ( 1) 0 s  0 0 0 s s ( 2)  s 2) (  1  0 s  1 0       求系统的极点和零点。 1-12 若线性时不变系统 ( A B C D 1 1 , , , 1 1 ) 和 ( A B C D 2 2 , , , 2 2 ) 存在着关系 C A B C A B k ( 1  k 2 1 2 2 k 1  0,1,2, ),  D D 2 1 试证明这两个系统零状态响应等价。 1-13 若常值方阵 A 具有两两相异的特征值，试证明 det e At n   e t i i 1  1-14 若图 1-11 两个反馈链接的子系统，其传递函数阵分别为

G s ( ) 1 1 s 1  0        1   2   1    2  s s s , G s ( ) 2 s 1      1   s  3 1 4 s 1  0       试求组合系统的闭环传递函数阵 ( )G s 。 1-15 对给定的系统，已知   t ( ) t  e 0    0 2  t e ,    b  1     1   , x (0)  2     3   求当 u t ( )  sin t 和 u t t ( ) 1[ ] 时的状态响应 ( )x t 。 1-16 已知某系统的状态转移矩阵 ( )t 为 t ( )         1 2 ( 1 4 1 2        t ( e  3 t e ) (  t  e  3 t e )   t e  3 t e )  t ( e  3 t e ) 试求系统的系数阵 A 。 1-17 已给定矩阵微分方程为 X   AX XA T  , X (0)  P 0 其中 X 为 n n 变量矩阵。试证明，此矩阵微分方程的解为 X t ( )  e P e At 0 T A t 1-18 给定人口流动的状态方程为 x k ( 1 x k ( 2      1) 1)      1.01(1 0.04)   1.01(0.04)  1.01(0.02) 1.01(1 0.02)  x k ( ) 1 x k ( ) 2          x 1 (0) 10 , 7  x 2 (0) 9 10   7 其中， 1x 表示城市人口， 2x 表示乡村人口，令 0 k  表示 1992 年，用计算机分析 1992~2010 的城市和城乡人口的分布态势，并绘出响应的分布曲线。 1-19 判别下列系统是否等价 a) A 1  0 2     1 3     , B 1  0     1   , C 1  1 1   0 1     , D 1  1 0      

A 2  1   0  1 2     , B 2  0     1   , C 2  1 0   1 1      , D 2  1     0   1 0 2 0  3   1 ,    0 1 2 0  1   3 ,    B 1  B 2  1 2   0 0 ,  1 0        1 2   1 0 ,  0 0        C 1  1 0 0 0 0 1    ,    D 1  1 0    1    2  C 2  1 0 0 0 0 1    ,    D 2  0 1    2    1  b) A 1  A 2  0 1 0      1 0 0      第二章习题（Exercises） 2-1 检验下列系统的可控性和可观测性（1） x   （2） x             0 0 2  1 0 4  0 1 3       1 1 0 0 1 0 0 0 1      x       x       1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1  u ,      u , y 0 1 1 2     1    1  x      y C C C 3  1 2   x （3） x   0 1   t 0     x  0     1   u , y    0 1 x （4） x   1  0    0 2     x     t  e e 2  t u ,    y  1    t e x   2-2 证明在所有能够将 0 ( x t 转移到 1 (0, ) , 0 )t 的输入中，控制函数 u t ( )   B t ( ) T  T t ( , ) 0 t W t ( 1  c , t x t ) ( 1 0 0 ), t  t [ , t ] 1 ，所消耗的能量最小，即有 0 t 1  t 0 2 u t ( ) dt  min 2-3 若线性动态方程在 0t 可控，则对于任何初态，能将它转移到零，并使它在以后的所有t 保持不变。现问是否有可能将它转移到 1 x  ，并在其后一直保持 1x ？ 0 2-4 若系统的状态方程为  At e Be x At   At e bu  x 

其中 A  0 2   2 0     , B  3 0  0 1       , b 1      1   问是否可使系统由 t  0 的任意状态向 1t  的零状态转移。 2-5 给定系统的动态方程为 x   1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 5 1 0 0 0 6             x  0     0   0     1   u , y    1 0 0 1 x 将系统进行标准结构分解。 2-6 判断下列系统的输出可控性，输出函数可控性和输入函数可观测性（1） A  0 0 3       1 0 2  0   1 ,  1    （2） A （3） A （4） A 0   1    0   0   1    0   0   1    0   0 1   2 0 ,   0   3 0 1   2 0 ,   0   3 0 1   2 0 ,   0   3 0     0 ,   1     0 0   1 0 ,  0 1   B  B       B  B  1 0   0 1 ,  0 0        1 0   0 1 ,  0 0        C     2 4 0 1 2 0    C 1 0 0 0 0 1     C 1 0 0 0 0 1     C 1 0 0 0 1 0              2-7 确定系统参数 , a b c d ，使系统完全可控、完全可观测 , , （1） x   a b c d       x  1     1   u , y   1 0  x （2） x k ( 1)      0  0   1  0 0   1     x k ( )  a     b u k ( ),   c     2-8 计算如下系统的可控性指数和可观测性指数 y k ( )   d x k 0 0 ( ) 

x   0 1 0 0 0 3      0   1  1    x  0 1 1 0 0 0           u , y     1 0 1 0 1 0    x 2-9 设时变系统 x A t x B t u ( )  ( )   在 0t 时刻完全可控，现知 t 1  t 0 , t 2  t ，试证此系统在 0 1t 时刻和 2t 时刻是否也一定完全可控？ 2-10 给定离散时间系统 x k ( 1)   1 1 0  e    T  e T     x k ( )   T e 1    T   e T   1    u k ( ) 其中 T  0 ，试论证：此系统有无可能在不超过的时间内使任意的一个非零初态转 2T 移到零。 2-11 若单输入线性定常系统， x Ax bu    完全可控，现取线性非奇异变换 x Px ，其中 A b n 1   ，试确定变换后的状态方程，并证明变换后的状态方程仍然完 b Ab , , 1  P   全可控。 2-12 对下列系统分别进行可控结构分解和可观测性结构分解 x   1 1   0 0     x  1     1   u , y    0 1 x 2-13 给定单变量线性定常系统 x Ax bu y ,     cx 已知 ( , )A b 为可控，问是否存在C 使得 ( )A C 总是可观测。请加以论证，并举例说明 , 之。 2-14 已知系统的传递阵为（1） G s ( )  1  1        s s 1 ( s 1 ( s (  (  s  2)( s  3)( 3) s  2) s  1) 1)       （ 2） G s ( ) 1     s 2    s 1     s 2  试判断此两系统是否输出可控？是否输出函数可控？ 2-15 证明 ( , )A b 可控的充要条件是 ( A bk b , )  对所有 k 可控。 2-16 证明 ( , )A b 可控的充要条件是满足 AX XA 和 Xb  的唯一的 n n 矩阵 0 0X  。

2-17 给定系统为 x Ax   , y Cx Ce x At 0)   ( 现拟由 t   0, ,  ,( n 1)   的 ( )y t 计算 (0)x ，试证明（1 ）可以算出 (0)x 的充要条件是 ( )AC e  可观测； , （ 2）证明或给出一个反例来说明： ( )AC e  可观测是否意味着 ( , )C A , 可观测；或 )C A ( , 可观测是否意味着 ( )AC e  可观测。 , 2-18 设两子系统为 ( A B C i  i ), , , i i 1,2 ，且完全可控、可观测， G s ( ) i  C sI A i i  ( ) B 1 i 为它们相应的传递函数阵。若它们满足串联和并联的条件，问这两个子系统串联或并联后的组合系统是否可控、可观测? 2-19 试选择采样周期T ，使下列完全可控可观连续系统化为离散系统，并使离散系统保持系统的可控可观测性不变。 x   j 0    1 j    x  0     1   u , y   1 0  x 第三章习题（Exercises） 3-1 化动态方程（1） x   （2） x             1  0 0 2  1  0 2    1  1    x  2     0   1     u , y   1 1 0  x 0 0 1 1 0 0 1 1 1      x  1     1   2     u , y    1 1 3 x 为可控标准形和可观测标准形，并求其传递函数。 3-2 化下列动态方程（1） x   1 0 1 0 2 1 0 1 1 0 2 0 0 2 0 3             x  0 1 1 0 0 1 1 0             u , y     1 0 0 1 0 1 1 0    x

x         （2） 1 0 1 2 3 2 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1       为龙伯格第二可控形、第二可观形。 1 0 1 1 0 1 1 0             x  u , y     1 0 2 2 0 1 1 0    x 3-3 求下列传递函数的最小实现（1） g s ( )  s 3 s 2 3 1  s 3  4 s  1 ，（ 2） g s ( )  5 s  4 s 2 s  s 1   s s 3 2    s 1 3-4 求 g s ( )  1  ) 的不可简约实现，不可控实现，不可观测实现，以及既不可控又不可 1 3 ( s 观实现。 3-5 用第五节所介绍的各种方法求下列传递函数阵的最小实现（1） G s ( ) s   s   s     s 2 1 1 1    3 1 2) s s s (    ，（2 ）    G s ( ) 1 2 s 2    s 3   s   s 2  3 s  s 2 2 s 1       （3） G s ( )        3-6 判断下列系统 ( 1  1  2 s 1 2 s s 3 2 s s 2 s 5  4  s 7   s  4 1 2 ，（ 4） G s ( )              s 1 2  s 3 2  s 5 4  s 2  s 2 s s 3 s 2 s 4 6   s 1 2   s 4 1   s 7 1 2   2       A B C 是哪一个传递函数阵的实现和最小实现 , ) , x   1 2 1 0 1 0 0 3 2           x  0 1 1 0 1 1           u , y 1 0 1      1 1 1   x （1） G s ( ) 1    1  （2） G s ( )  1   1  0 s 0 s  1)  1)               2(  2(  0 2(  s 2  1) ( s  2) 2 s  4 s  4 1 2 1       0  ( s 2) 1  2 s 1) (  s ( 2) 2     3-7 求下列右矩阵分式传递函数阵的控制器形实现，并判断是否是最小实现 G s ( )  2  s s    0 s 2       ( s 0 2)  2 3 s  4 s  s s 2 5  2  1 2    

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