武汉大学 2005－2006 学年第一学期(54 学时) 《概率论与数理统计》试题(A) 学号： 姓名： 院： 专业： 注意：所有的答题内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方的一律无效。另外，该卷答案中 若出现标准正态分布 )x(Φ ，不用查表写值。 一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 1、设事件 A、B 相互独立，如果 P(A)=0.8，P(B)=0.7，则 P(A－B)= 。 2、设随机变量 ～ Χ )5.8,5.5(N ，且 P{ 5.9X5.5 < ≤ }=0.38，则 P{ }5.1X < = 。 3、设随机变量 ,Χ Υ 的联合概率密度为 )y,x(f = 0,xy4 ⎧ ⎪ ⎨ ,0 ⎪⎩ ≤≤ 0,1x 1y ≤≤ 其它 ，则其分布函 数 )2,5.0(F 为 。 4、设 )1,0(N~iΧ （i＝1，2，3，4），并且 1Χ ， 2Χ ， 3Χ ， 4Χ 相互独立， =Χ 1 4 则 (Cov 2Χ )X, = 。 4 ∑ 1i = iX ， 5、设 ， ， ，… ， 是来自正态总体 3Χ 1Χ 2Χ nΧ ,(N 2σμ ) 的简单随机样本，其中参数 2σμ和 未知，记 =Χ 1 n n ∑ 1i = iX ， 2 Q = n ∑ 1i = )XX( − i 2 ，则假设检验 :H 0 =μ 的 t 检验使用统计量 0 T= 。 二、单项选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 1、已知随机变量 在[－1,1]上服从均匀分布， Χ 3X=Υ ，则 Χ 与 Υ （ ）。 （A）不相关且相互独立 （B）不相关且相互不独立 （C）相关且相互独立 （D）相关且相互不独立 2、设 i NΧ ~ (0,1) （i＝1，2），并且 1Χ 与 2Χ 相互独立，则 P X2X3{ − 1 ≥ }4 ≤（ ）。 2 （A）0.625 （B） 0.25 （C）13/16 （D）4/13 3、设总体 Χ ,0(N~ 2σ ) ， ， 1Χ 2Χ ，… ， 10Χ 是取自总体 X 的简单随机样本。若记 10 ∑ 1i = 2 Y = 1 10 X 2 i ，那么（ ）。 - 1 - 

（A） 2 ~X χ 2 )1( （B ） 2 ~Y χ 2 )10( （C ） X Y )10(t~ （D ） 2 2 X Y )1,10(F~ 4、设总体 X~ ,(N 2σμ ) ，且 已知，现在以置信度 2σ α−1 估计总体均值 μ ，下列做法中一 定能使估计更精确的是（ ）。 （A）降低置信度 α−1 ，增加样本容量 （B）提高置信度 α−1 ，减少样本容量 （C）提高置信度 α−1 ，增加样本容量 （D）降低置信度 α−1 ，减少样本容量 μ = 5、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平 0.05 下拒绝零假设 0 :H μ 0 ， 那么在显著水平 0.1 下，下列结论成立的是（ ）。 0H （A ）必须接受 （B）必须拒绝 0H 0H （C）可能接受也可能拒绝 （D ）不接受也不拒绝 0H 三、（本题满分 12 分） 甲、乙、丙三射手独立地用炮弹向一飞机射击，设这三人的命中率分别为 0.4，0.5，0.8。 现他们同时各发射一颗炮弹，结果有两颗炮弹击中飞机。求乙发射的炮弹没有击中飞机的概 率 。 α 四、（本题满分 12 分） 某校学生在校图书馆等待借书时间 X 服从指数分布，假设学生平均等待时间为 3 分钟。 若某一学生当借书等待时间超过 6 分钟时便离去。现知他一个月内 4 次去图书馆借书。令 Y 表示他一个月内因借书等待时间过长而离去的次数。试求 Y 的分布律及概率 P{ }。 3Y ≤ 五、（本题满分 12 分） 设随机变量（ , ）的概率密度函数为 Χ Υ )y,x(f = 量 X 与 Y 的边缘密度函数 六、（本题满分 10 分） )x(f X 与 )y(f Y 。 ≤≤ 0,1x ≤≤ y x2 0,1 ⎧ ⎨ ，0 ⎩ 其它 ，求随机变 假设每个人的生日在各季度的机会是同样的，求 3 个人中生日在第二个季度的平均人 数。 七、（本题满分 10 分） 某农业单位购进一批玉米种子，假设该批种子不能发芽的概率为 20％。现从中随机抽 取 500 粒，求这 500 粒种子发芽率超过 0.8 的概率。 八、（本题满分 14 分） Χ 设总体 在[0,θ ]上服从均匀分布, 为大于 0 的未知参数； θˆ 1Χ ， 2Χ ，… ， 为取 自 的一组简单随机样本。（1）求参数 的矩估计量θ ；（2）求 的方差 D(θ )；（3）请问： θˆ Χ 是否为θ 的一致估计？试说明理由。 θ θ nΧ ˆ ˆ - 2 - 

2005－2006 学年第一学期《概率论与数理统计》 （54 学时）试题解答 一、1. 0.24 2. 0.12 3. 0.25 4. 1/4 5. X n n ( − 1) / Q 二、1. D 2. C 3. C 4. A 5. B 三、解：设 A 表示“两颗炮弹击中飞机”；又设 ( iB i = 1,2,3) 分别表示“甲、乙、丙发射一 P B ( 发弹炮命中飞机”，则 1 ) 0.4, ( = P B 2 ) 0.5, ( = P B 3 ) 0.8 = . 从而 α = P B A ) ( | 2 = [ P B P A B ( 2 ) ( | 2 )]/[ 3 ∑ i 1 = P B P A B ( i ) ( | i )] ， 易知 P A B ( 1 | ) = P B B ( 3 2 ) = 0.5 0.8 0.4; × = P A B = ( ) | 2 P A B = ( ) | 3 0.4 0.8 0.32; = × 0.4 0.5 0.2; = × P A = ( ) 0.6 0.4 0.5 0.32 0.2 0.2 × + × + × = 0.24 0.16 0.04 + + = 0.44 , 故 α= 0.16/ 0.44 4/11 = . 四、解：（1）由题设知 E X = ( ) 3 ，所以 X 的密度函数为 f x ( ) x xe 0; /3 / 3, −⎧ > = ⎨ x 0. 0, ≤ ⎩ 从而，可知 P p X { = > 6} 1 = − 6 ∫ 0 − 1 3 x 1 e 3 dx 1 ( = + e 2 − 1) − = e 2 − ， 即 y B ∼ (4, e− 2 ) . （2） P y { ≤ 3} 1 = − P y { = 4} 1 = − e− 8 . 五、解：① 当 0 +∞ f x y dy ( , ) = 2 x ∫ 0 dy = 2 x ； Xf x ( ) 1x≤ ≤ 时， ∫ 当 0x < 或 1x > 时， ( ) = −∞ Xf x = ， 0 - 3 - 

即 f X x ( ) ⎧ = ⎨ ⎩ x 2 , 0 0, x < < 其它. 1; ② 当 0 y≤ ≤ 2 时， f y ( ) r 当 y < 0 或 1y > 时， f x y dx ( , ) +∞ −∞ = ∫ rf y = ， ( ) 0 = ∫ 1 y / 2 dx = 1 − y / 2 ； 即 f y ( ) r y 1 / 2, 0 − ⎧ = ⎨ 0, ⎩ y 其它. < < 2 ; 六、解：设 iA = { 出生在第i 季度｝ i = ( 1, 2,3, 4) ，则由题设知 iP A ( i ) 1/ 4( = = 1,2,3,4) ； 又设 {X = 出生在第二季度的人数｝，则 X B∼ (3,1/ 4) . 从而，由二项分布的期望公式，知 E X ( ) np= = × 3 1/ 4 3/ 4 = = 0.75 ， 故三个人中出生在第二季度的平均人数为 0.75. 七、解：设 {X = 500 粒种子中的发芽粒数｝，则 X B∼ (500,0.8) .于是，由题设知 P X { > = − Φ = − 500 80%} 1 = − 1 P X { × ≤ (0) 1 0.5 0.5. = 400} 1 ≈ − Φ [(400 500 0.80) / 500 0.8 0.2] − × × × 八、解：（1）因为 X U θ ] [0, ∼ ，所以 ( E X θ= ) / 2 ； θ = ，即得参数θ的矩估计量 ˆ 2Xθ= 令 / 2 X . （2）又由于 D X θ= 2 ( ) /12 ，因此，有 ˆ( ) θ D = D X (2 ) 4 = n 1 ∑i n 2 1 = k D X ( ) = 4 2 θ n 3 . （3）因易知 ˆ( ) θ E = E X 2 ( ) = 2 i E X ( ) = θ ， 从而，根据切比雪夫等不等式，有 ˆ{|P θ | } θ ε − ≥ = {|P ˆ θ ˆ( ) | E θ ε } ≥ − = E ˆ( ) / 2 θ ε θ ε / 3 = 2 2 n . 于是，知 lim {| n →∞ ˆ P θ θ ε | − ≥ } 0 = ， 故 ˆθ为θ的一致估计. - 4 -