2010年陕西高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2010 年陕西高考理科数学真题及答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）。 1.集合 A= x    ，B= | 1  2 x | x x  ，则  1 A  ( C B R ) =【D】（A）  | x x   1 （B） x x  （C） |  1 x |1 x   2 （D） x |1 x   2 解析：本题考查集合的基本运算 BC R   xX |  ,1  BCA  R   x 1|  x 2 z  2.复数 1 i  在复平面上对应的点位于【A】 i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：本题考查复数的运算及几何意义 1 2 1(  2 ，所以点（ i i 1 2 1 2 i ) 1 i  1, 2   i ) 位于第一象限 3.对于函数 f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是【B】  A.f(x)在（ 4  ， 2 ）上是递增的 B. f(x)的图象关于原点对称 C. f(x)的最小正周期为 2 D. f(x)的最大值为 2 解析：本题考查三角函数的性质 f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数 4. x    5a   x   x R   A.-1 B. 1 2 展开式中 3x 的系数为 10，则实数 a 等于【D】 C.1 D.2 解析：本题考查二项展开式的通项公式 T r 1   r xC 5 5  r    a x r    r r xCa 5 25  r 25, 由  r  3 得 r  ,1 有 aC 1 5  ,10 a 2 x 2     2 x   1 ， ax x  x ， 1  1 5.已知函数 f(x)= 若 f（f（0））=4a，则实数 a 等于【C】 1 2 A. 4 5 B. C.2 D.9

解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以 a=2 6.右图是求样本 1x ， 2x ，…， 10x 平均数 x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】 A.S=S+ nx nx n B.S=S+ C.S=S+n 1 n D.S=S+ 7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】 A. 1 3 B. 2 3 C.1 D.2 解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为 1 2 1  2  2  1 2 2 1 8.已知抛物线 2 y  2 ( px p  的准线与圆 2 x 0)  y 2 6  x A. 1 2 B. 1 C.2 D.4   相切，则 p 的值为【C】 7 0 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线 y2＝2px（p>0）的准线方程为 x  p 2 ，因为抛物线 y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16 相切，所以 3  p 2  ,4 p  2 法二：作图可知，抛物线 y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16 相切与点（-1,0）所以  p 2  ,1 p  2 9.对于数列 na ，“ 1   a n a n ( n  ，2， ”是“ na 为递增数列”的【B】 1 ...) A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：由 1 n a   a n ( n  ，2，知 na 所有项均为正项， 1 ...) 且 a 1  a 2  a n  a n 1  ，即 na 为递增数列

反之， na 为递增数列，不一定有 1   a n a n ( n  ，2，，如-2，-1,0,1,2，…. ...) 1 10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于．．6．时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]( [x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为【B】 A. y x   10     B. y 3 x    10     C. y 4 x    10     D. y 5 x    10     解析：法一：特殊取值法，若 x=56，y=5,排除 C、D，若 x=57，y=6，排除 A，所以选 B 法二：设 x  10 m 0(    )9 ， 0    ,6 时 3 x    10     m    10 3   m   x 10  ，  6 当  ,9  时  3 x    10     m    10 3   m  1  x 10   1 ，所以选 B 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）. 11.已知向量 a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则 m=-1 解析： ba  ,1( m  ),1 ( 由 ba  //) c 得 (21  m )1  )1( 0 ，所以 m=-1 12.观察下列等式： 3 1  3 2  ， 3 1 2 3  3 2  3 3 2  ， 3 1 6  3 2  3 3  3 4 2 10  ，…，根据上述规律，第五个等式．．．．．为 3 1  3 2  3 3  3 4  3 5  3 6  。 2 21 解析：第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和，右边为 1+2+...+（i+1）的平方所以第五个等式．．．．．为 3 1  3 2  3 3  3 4  3 5  3 6  。 2 21 13.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)，则点 M 取自阴影部分部分的概率为 1 3 解析：长方形区域的面积为 3，阴影部分部分的面积为所以点 M 取自阴影部分部分的概率为 1 3 1  0 3 2 x dx  1 ， 14.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a ，冶炼每万吨铁矿石的的 2CO 排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表： a B(万吨) C（百万元）

A B 50％ 70％ 1 0.5 3 6 某冶炼厂至少要生产 1.9（万吨）铁，若要求 2CO 的排放量不超过 2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为 15（万元）解析：设购买铁矿石 A 和 B 各 x，y 万吨，则购买铁矿石的费用 z  3  x 6 y x,y 满足约束条件 5.0 x  7.0 y  9.1 x  5.0 y  2 x  ,0 y  0 表示平面区域为则当直线 z  3  x 6 y 过点 B（1,2）时，购买铁矿石的最少费用 z=15 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A．（不等式选做题）不等式 x 3     的解集为 2 3 x x x  1 解析：法一：分段讨论 x  3 时，原不等式等价于  3 ， 5 x  3 x 2 时，原不等式等价于 2 x 31  ， x  11 x 2  2 时，原不等式等价于 x 综上，原不等式解集为 x x  5 1  3 ， x 2 法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究法三：借助函数 y  x  3 x 2 的图像研究 B. (几何证明选做题)如图，已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3cm,4cm，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D，则 BD DA  16 9

解析：  CD  AB ,由直角三角形射影定理可得 2 BC  BC  BD , 又BA  9AD 5 BA4, BD DA 所以 5,   16 9 BD  16 5 C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的参数方程为    cos x  1 sin y     （a 为参数）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin   ，则直线 l 与圆 C 的 1 交点的直角坐标系为__(-1,1).(1,1)_____ 解析：直线 l 的极坐标方程为 sin   化为普通方程为 y=1， 1 所以直线 l 与圆 2 x (  y 2  )1  1 的交点坐标为(-1,1).(1,1) 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分） 16.（本小题满分 12 分）已知 na 是公差不为零的等差数列， 1 1 a  且 1 a a a 成等比数列 , , 3 9 （1）求数列 na 的通项公式（2）求数列的前 n 项和 nS 解：（1）由题设知公差 d≠0 由 1 1 a  且 1 a a a 成等比数列得 , , 3 9 1 2d  1  1 8d  1 2d  解得 d=1,d=0（舍去）故 na 的通项 na 1 (   n 1) 1    n （2）由（1）知 2 na n ，由等比数列前 n 项和公式得 2 nS   2 2 2  3 2   ... 2 n  n 2(1 2 )  1 2  n 1   2  2 17. （本小题满分 12 分如图，A，B 是海面上位于东西方向相距  5 3 3  海里

的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？解：由题意知 AB=5(3+ 3) 海里，  DBA  90   60   30 ,   DAB  45 ,   ADB  105  在 DAB  中，由正弦定理得   DB AB DAB sin   sin  ADB  DB  AB ADB   sin 5(3  sin DAB 3) sin 45   sin105   sin 45  5(3 cos60  3) sin 45   sin 60    cos 45  = 3)  3) 5 3(1  2 (1  10 3 （海里），又  DBC   DBA   ABC  30   (90   60 ) 60 ,    BC  20 3 海里，在 DBC  中，由余弦定理得 2 CD  = 2 BD BC  2  2 BD BC   cos  300 1200 2 10 3 20 3     900 DBC 1   2 30 1 30 CD  30（海里），则需要的时间 t  答：救援船到达 D 点需要 1 小时。  （小时）。注：如果认定 DBC  为直角三角形，根据勾股定理正确求得 CD，同样给分。 18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AP=AB=2,BC= 2 2 ,E,F 分别是 AD,PC 的中点。（Ⅰ）证明：PC⊥平面 BEF；（Ⅱ）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。解法一：（Ⅰ）如图，以 A 为坐标原点，AB,AD,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系。

∵ AP AB   2, BC AD   2 2 ，四边形 ABCD 是矩形 ∴ A,B,C,D,P 的坐标为 (0,0,0), A B (2,0,0), C (2,2 2,0), D (0,2 2,0), P (0,0,2 ) 又 E,F 分别是 AD,PC 的中点， ∴ (0, 2,0), F     (2,2 2, 2), (1, 2,1)  BF E  PC   PC BF        PC BF PC EF    PC BF PC EF BF EF F    ( 1, 2,1),   PC EF 2 4 2 0,      , , , , ,    EF  (1,0,1) ,      2 0 2 0, ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ PC  平面 BEF （Ⅱ） n 由（Ⅰ）知平面 BEF 的法向量 1  PC  (2,2 2, 2)  , n 平面 BAP 的法向量 2  AD  (0,2 2,0) ， ∴ 1 n n 2 =8 设平面 BEF 与平面 BAP 的家教为θ，则 cos  | cos( , n n 1 2 ) |  | | n n  2 1 || n n 1 2 | |  8 4 2 2   2 2 ， ∴ 45  ，∴ 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45 解法二：（Ⅰ）连接 PE,EC，在 Rt PAE  和 Rt CDE  中， PA=AB=CD,AE=DE, ∴ PE=CE,即 PEC 是等腰三角形，又 F 是 PC 的中点，∴EF⊥PC，又 BF  2 AP  2 AB  2 2  BC F , 是 PC 的中点， ∴ BF PC 又 BF EF F    平面 PC  , BEF

（Ⅱ）∵ PA⊥平面 ABCD, ∴ PA⊥BC, 又 ABCD 是矩形，∴ AB⊥BC, ∴ BC⊥平面 BAP，BC⊥PB, 又由（Ⅰ）知 PC⊥平面 BEF, ∴ 直线 PC 与 BC 的夹角即为平面 BEF 与平面 BAP 的夹角，在 PBC 中，PB=BC, PBC  90  , PCB  45  所以平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45 19. （本小题满分 12 分）为了解学生升高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在 165~180cm 之间的女生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在 170~18cm 之间的概率。解：（Ⅰ）样本中男生人数为 40，由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400 人。（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在 170~185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人，样本容量为 70，所以样本中学生身高在 170~180cm 之间的概率 p=0.5 （Ⅲ）样本中女生身高在 165~180cm 之间的人数为 10，身高在 170~180cm 之间的人数为 4，设 A 表示事件“从样本中身高在 165~180cm 之间的女生中任取 2 人，至少有 1 人身高在 170~180cm 之间”，则 ( P A ) 1   2 C 6 2 C 10  （或 2 3 ( ) P A  20. （本小题满分 13 分） C C C  1 6  1 4 2 C 10 2 4  ） 2 3

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