2010年陕西高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2010 年陕西高考文科数学真题及答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）. 1.集合 A   x x 2  B    ，  1  1 x x  (A)  (C)  x 1    x  1 x x   1 ,则 A∩B= （B） （D） x 1    x x 1    x  2  1 2.复数 z= i i (A)第一象限 1 在复平面上对应的点位于（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 3.函数 ( ) f x  2sin cos x x 是 (A)最小正周期为 2π的奇函数（B）最小正周期为 2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D）最小正周期为π的偶函数 x 4.如图，样本 A和 B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 A x和 ,样本标 B 准差分别为 As 和 Bs ,则 (A) Ax ＞ Bx ， As ＞ Bs (B) Ax ＜ Bx ， As ＞ Bs (C) Ax ＞ Bx ， As ＜ Bs ( D) Ax ＜ Bx ， As ＜ Bs 5.右图是求 x1,x2，…，x10 的乘积 S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 (A)S=S ( n  1) (B) S S   mx  1 (C)S S n   (D)S S   mx 6.“ 0 a  ”是“ a ＞0”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件  ，函数 ( ) f x 满足 0 7. 下列四类函数中，具有性质 “ 对任意的 x  0, y ( f x  y )  ( ) f x f y ( ) n ”的是（A）幂函数（B）对数函数（C）指数函数（D）余弦函数 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A）2 2 3 （C） 9.已知抛物线 2 y  2 ( px p （A） 1 2 （D）（B）1 1 3 (  的准线与圆 0) x  3) 2  2 y 16  相切，则 p的值为（B）1 （C）2 （D）4 10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 1 0 的余数大．于．6．时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数   x 10 x （[x]表示不大于 x 的最大整数）可以表示为 x  10 x  10 x  10 （C）y＝[ （D）y＝[ （A）y＝[ （B）y＝[ 3 4 5 y ] ] ] ] 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）. 11.观察下列等式： 3 1  3 2   3 (1 2) ,1 2  3 2  3 3    2 (1 2 3) , 3 1  3 2  3 3  3 4      根据上述规律，第四个等式 2 (1 2 3 4) , ．．．．．为 , 12.已知向量 (2, 1),   a b ( 1,   ), m c   ( 1,2) 若 ( a b  ∥ ，则 m＝ c ) . . 13.已知函数 ( ) f x x 2 3    x    1, 2, x  , 1, ax x  若 ( f f (0)) a ，则实数 a ＝ 4 . 14.设 ,x y 满足约束条件  2 4, x y      1, y x     2 0, x  ，则目标函数 3  z x  的最大值为 y . 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A.（不等式选做题）不等式 2 x   的解集为 1 3 . B.（几何证明选做题）如图，已知 Rt△ABC的两条直角边 AC，BC的长分别为 3cm，4cm，以 AC为直径的圆与 AB交于点 D，则 BD＝ cm. C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程 cos , x      1 sin y  （为参数）  化成普通方程为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分）. 16.（本小题满分 12 分）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且 a1，a3，a9 成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列 2 na 的前 n项和 Sn. 17.（本小题满分 12 分）在△ABC 中，已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求 AB 的长. 18.(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P—ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD，AP=AB， BP=BC=2，E，F分别是 PB,PC的中点. (Ⅰ)证明：EF∥平面 PAD； (Ⅱ)求三棱锥 E—ABC的体积 V. . 19 （本小题满分 12 分）为了解学生身高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：

（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在 180~190cm 之间的男生．．中任选 2 人，求至少有 1 人身高在 185~190cm 之间的概率. 20.（本小题满分 13 分）如图，椭圆 C : 2 2 x a  2 2 y b 1  的顶点为 1 A A B B ，焦点为 1 ,F F ， , , 2 , 1 2 2 A B 1 1  7, S B A B A  1 1 2 2  2 S B F B F  1 1 2 2 . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)设 n 为过原点的直线， l 是与 n 垂直相交于 P 点，与椭圆相交于 A, B 两点的直线，  OP  成立？若存在，求出直线l 的方程；并说出； .是否存在上述直线l 使   OA OB 1 0  若不存在，请说明理由. 21、(本小题满分 14 分) 已知函数 ( ) f x x ， ( ) g x  a ln x ， a R （Ⅰ）若曲线 y  ( ) f x 与曲线 y  ( ) g x 相交，且在交点处有相同的切线，求 a 的值及该切线的方程；（Ⅱ）设函数 ( ) h x  ( ) f x  ( ) g x ,当 ( )h x 存在最小值时，求其最小值 ( )a 的解析式；（Ⅲ）对（Ⅱ）中的 ( )a ，证明：当 (0, a   时， ( ) 1 a  . )

参考答案一、选择题 1-5 DACBD 6-10 ACBCB 二、填空题 11．13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2（或 152） 12．－1 14. 5 13 2 15. A{x|-1

∴VE-ABC = 1 3 S⊿ABC·EG 1 3 × 2  2 2 1 = 3 , 19 解：（Ⅰ）样本中男生人数为 40 ，由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400. （Ⅱ）由统计图知，样本中身高在 170~1 85cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人，样本容量为 70 ，所以样本中学生身高在 170~185cm 之间的频率学生身高在 170~180cm 之间的概率 p  0.5. f  35 70  0.5, 故有 f 估计该校（Ⅲ）样本中身高在 180~185cm 之间的男生有 4 人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在 185~190cm 之间的男生有 2 人，设其编号为⑤，⑥，从上述 6 人中任取 2 人的树状图为：故从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人的所有可能结果数为 15，至少有 1 人身高在 185~190cm 之间的可能结果数为 9，因此，所求概率 2 p  9 15  3 . 5 20 解 : (Ⅰ)由 1 1 A B  知 a2+b2=7, 7 由 S A B A B  2 1 1 2  2 S B F B F  2 1 1 2 知 a=2c, 又 b2=a2-c2 由 ①，②，③解得 a2=4,b2=3, 故椭圆 C的方程为 2 x 4 2 y 3  1. ① ② ③ (Ⅱ) 设 A,B 两点的坐标分别为  （）, , x y 1 1 , x y 2 2  假设使   OA OB   0 成立的直线 l存在， (i) 当 l不垂直于 x轴时，设 l的方程为 y  kx m  , 由 l与 n垂直相交于 P点且  OP  1 得 | 1 | m  k 2  1 ,即 m2=k2+1 由 OA 0OB 得 x1x2+y1y2=0

由求根公式可得 x1+x2= 将 y=kx+m 代入椭圆方程,得 (3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0, 8 km  243 k  2 12 4 m  2 43 k  x1+x2= 0  x x 1 2  y y 1 2  x x 1 2  ( kx m kx m )(   1 2 ○4 ○5 )  x x 1 2  2 k x x 1 2  ( km x 1  x 2 )  2 m (1   k 2 ) x x 1 2  ( km x 1  x 2 )  2 m , 将④，⑤代入上式并化简得 (1  k 2 )(4 m 2  12) 8  2 2 k m m  2 (3 4 ) 0,   k 2 ⑥ 将 1m   代入⑥并化简得 k 2 25( k 1) 0   ，矛盾. 即此时直线l 不存在. （ii）当l 垂直于 x 轴时，满足  OP  1 的直线l 的方程为 1  x  或 x 1 ， 3 2 ), 3 2 (1, (1, ),(1, 则 A,B 两点的坐标为   3 OA OB   2   ( 1, OA OB   当 1x  时， x   时，当 1     或 ),( 1, 3 2  ), 3 2 ) ( 1,    3 2    ( 1,  5 4 )    ) 0; 5 4 3 2 ) (1,  3 2 0; ∴ 此时直线l 也不存在. 综上可知，使   OA OB   0 成立的直线l 不存在. 21 解：（Ⅰ）  x f  = 1 2 x , g x ( ) = a x (x>0), 由已知得      x 1  a  2 x ln , x a x , 解得 a= e 2 ，x=e2, 1 ∴两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为 k=f’(e2)= 2e ∴切线的方程为 y－e= 1 2e (x－e2) (II)由条件知 h(x)= x –aln x(x＞0), （i）当 a>0 时，令 ( ) 0, h x  解得 x a ， 24

∴ 当 0 < x < 24a 时， ( ) 0, h x  ， ( )h x 在（0， 24a ）上递减；当 x> 24a 时， ( ) 0, h x  ， ( )h x 在 2 (4 , a  上递增. ) ∴ 点. ∴ x a 是 ( )h x 在 (0, 24 ) 上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是 ( )h x 的最小值最小值   ( ) a 2 (4 ) h a  2 a a  ln 4 a 2  2 (1 ln 2 ). a a  （ii）当 0 a  时，  ( ) h x  2 a x  2 x  0, ( )h x 在（0，+∞）上递增，无最小值。故 ( )h x 的最小值 ( )a 的解析式为 ( ) a   2 (1 ln 2 )( a a a   0). （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ( ) a   2 (1 ln 2 ln ). a a   则 ( ) a    2ln 2 a ，令 ( ) 0 a  解得当 0 a  时， ( ) 0 a 上递增；当 a  时， ( ) 0 a  上递减. 1 a  . 2 1(0, 2 ) ) 1 2 1 2  ，∴ ( )a 在 1(  ，∴ ( )a 在 2 1 ( ) 1,   2 , a  处取得最大值 1 2 ) 上有且只有一个极值点，所以 ∴ ( )a 在 ∵ ( )a 在 (0, ∴当 (0, a   时，总有 ( ) 1. a  ) 1 (   也是 ( )a 的最大值. 2 ) 1

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