2011年湖北高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2011 年湖北高考理科数学真题及答案试卷类型：A 注意事项： 1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑。 2 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。 3 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共 l0 小题．每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的. 1.i 为虚数单位，则 2011     1 1   i i    A. i B. 1 C.i D.1 【答案】A 解答：因为 1 1   i i  2  1 1    2 i i  i ，所以 2011    1 1   i i    2011  i  i 4  502  3  3 i  i ，故选 A. 2.已知 U   yy  log 2 , xx  1 ， P  yy     ,1 x x  2    ，则 PCU A. 1  ,  2    B.    1,0 2    C. ,0 D.    0,  1    2 ,    【答案】A 解答：由已知 U   ,0  . P    1,0 2    ，所以 PCU    1 2 ,     ,故选 A.

3.已知函数   xf  sin3 x  cos x ， Rx  ，若   1xf ，则 x 的取值范围为 A. C.    kx    3  x , k   k  Z    B. x    2 k    3  x 2 , k   k  Z       kx    6  x k   5  6 , k  Z    D.    2 kx    6  x 2 k   5  6 , k  Z    【答案】B 解答：由条件 sin3 x  cos x  1 得 sin   x   2 k    6  x  6  2 k   4.将两个顶点在抛物线 2 y 记为 n ，则 5  6 2  1 2 ，则    6   3 ，解得 2 k    x 2 k   ， Z k  ，所以选 B.  ppx  0 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数 A. 0n B. 1n C. 2n D. 3n 【答案】C 解答：根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于 x 轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为 030 和 0 150 ，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 y O C D F B A x 的个数记为 n ， 2n 5.已知随机变量服从正态分布  ，所以选 C. 2 ,2 N ，且  P  4  8.0 ，则  0 P    2 A. 6.0 B. 4.0 C. 3.0 D. 2.0 【答案】C 解答： y 如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线 2x 对称，所以  P  2  5.0 ，并且 O 2 4 x

则  0 P    2    P   4    P  2 所以选 C. 6.已知定义在 R 上的奇函数  xf 和偶函数  xg 满足   xf    xg  x a  a  x 2  a 且 ,0  a  1 ，若   2 g 15 4 ，则   2f a C. 17 4 D. 2a A. 2 B. 【答案】B 解答：由条件   2 f    2 g  2 a  2 a  2 ，  f   2    g  2  2  a  2 a  2 ，即    2    2 g f  2  a  2 a  2 ，由此解得   2  g ，   2 f 2  2 a 2  a ，所以 2a ，   2 f  2 2  2  2  15 4 ，所以选 B. 7.如图，用 1 AAK 、、 2 三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且 1 AA 、至少有一个 2 正常工作时，系统正常工作.已知 1 AAK 、、 2 正常工作的概率依次为 9.0 、 8.0 、 8.0 ，则系统正常工作的概率为 A. 960.0 B. 864.0 C. K 720.0 【答案】B 解答： 1 AA 、至少有一个正常工作的概率为 2 1 A1 D. 576.0 A2 2   APAP  1   8.01 1   8.01   系统正常工作概率为  KP 8.已知向量 a   x  3,z 值范围为， 04.01 94.0          1 APAP 2 ，b  z  ,2 y   1  96.09.0   .0 864 ，所以选 B. ，且 a⊥b.若 yx, 满足不等式 x  y 1 ，则 z 的取 A.  2,2 B.  3,2 C.  2,3 D.  3,3 【答案】D 解答：因为 a⊥b，  2 x   z   3 y   0  z ， y A(0,1 ) l1 D(-1,0) O C(0,-1) x B(1,0 ) l2

则 z  2  x 3 y ， yx, 满足不等式 x  y 1 ，则点 yx, 的可行域如图所示, 当 z  2  x 3 y 经过点  1,0A 时， z  2  x 3 y 取得最大值 3 当 z  2  x 3 y 经过点  1,0 C 时， z  2  x 3 y 取得最小值-3 所以选 D. 9. 若实数 ba, 满足 a  b ,0  0 ，且 0ab ，则称 a 与 b 互补，记  , ba   2 a  2 b  ba ，那么   0 ba , 是 a 与b 互补 A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件【答案】C 解答：若实数 ba, 满足 a  b ,0  0 ，且 0ab ，则 a 与b 至少有一个为 0，不妨设 0b ，则  , ba   2 a  aa a 0 ；反之，若  , ba   2 a  2 b  ba 0 ， 2 a  2 b  ba 0 两边平方得 2 a  2 b  2 a  2 b  2 ab 0 ab ，则 a 与b 互补，故选 C. 10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：   MtM  t 30 时，铯 137 的含量的变化率．．．是  0 2 ，其中 0M 为 0t （太贝克/年），则  2ln10  60M 时铯 137 的含量，已知 30t A. 5 太贝克 B. 2ln75 太贝克 C. 150 太贝克 D. 150 太贝克 2ln 【答案】D 解答：因为   tM /  2ln  M 2 0  t 30 1 30 ，则  M / 30   1 30 2ln  M 2 0  30 30  2ln10 ，

解得 0 M 600 ，所以   tM  600  t  302 ，那么  M 60   600  2  60 30  600  1 4  150 （太贝克），所以选 D. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 11.在 x     1 3 x 18    【答案】17 展开式中含 15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【解答】二项式展开式的通项公式为 T r 1   r xC 18 18  r     1 3 x r    18 r   r xC 18 1 2 r r    1 3    ，令 18  r 1 2 r  15 r 2 ，含 15x 的项的系数为 C   2 18 1 2   3  17 ，故填 17. 12.在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期.从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到 1 瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示）【答案】 28 145 解答：从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，设至少取到 1 瓶已过了保质期饮料为事件 A，从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，没有取到 1 瓶已过了保质期饮料为事件 B，则 A 与 B 是对立事件，因为  BP   C C 25 27 2 30  27 15   13 29 ，所以  AP  1   BP  1  27 15   13 29  28 145 ，所以填 28 145 . 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为升. 【答案】 67 66 解答：设该数列 na 的首项为 1a ，公差为 d ，依题意

   a 1 a 7   a 2 a 8   a 3 a 9   a 4 4  3 ，即 4 a  1  3 a  1   6 3 d  21 4 d  ，解得 4 3 ，       a 1  7 d  d  7 66 则 a 5  a 1  4 d  a 1  7 d  3 d  4 3  21 66  67 66 ，所以应该填 . 67 66 /Oy / 14.如图，直角坐标系 xOy 所在的平面为，直角坐标系 x （其中 /y 轴与 y 轴重合） / xOx 45 所在的平面为， 2,22/P （Ⅰ）已知平面内有一点  . 0 ， •P/ x/ (y/) C/ y 则点 /P 在平面内的射影 P 的坐标为；（Ⅱ）已知平面内的曲线 /C 的方程是  x 射影C 的方程是   0 2 2 2   y 2/ . 2 / ，则曲线 /C 在平面内的 O x 【答案】 2,2 , x 2  1   2 y  1 解答：（Ⅰ）设点 /P 在平面内的射影 P 的坐标为 则点 P 的纵坐标和  2,22/P 纵坐标相同，所以 2y ，过点 /P 作 HP / Oy ，垂足为 H ，连结 PH ，则 /  HPP 45 0 ， P 横坐标 yx, ， (y/) C/ y H O •P/ x/ P x x  PH  / cosHP 45 0 /  x cos 45 0  22  2 ，所以点 /P 在平面内的射影 P 的坐标为  2 2 2,2 ；（Ⅱ）由（Ⅰ）得 x  / x cos 45 0  / x  2 2 ， y / y ，所以 2 x / /     x y   y 代入曲线 /C 的方程 / 2   2   x C 的方程填 2/ 2 y  2 0 x  2  1  2 y  ，得 1 . 2 x  2  2  2 2 y  0 2  x 2  1   2 y  1 ，所以射影

15.给 n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当 4n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当 6n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有种.（结果用数值表示）【答案】 43,21 解答：设 n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为 na ，由图可知， 1 a 2 ， 2 a 3 ， a 3 a 4  32 5  53 8 a 1  a 2 ， a 2  a 3 ，由此推断 a 5  a 3  a 4  65 13 ， a 6  a 4  a 5  8 13  21 ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 21 种；由于给 6 个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有 2 种方法，所以一共有 222222  2 6  64 种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 21 种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 64  21  43 种着色方案，故分别填 43,21 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 10 分）设 ABC 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c，已知 a  1. b  2.cos C  1 4 . （Ⅰ）求 ABC 的周长（Ⅱ）求  cos A C 的值  本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分 10 分）解：（Ⅰ） 2 c   2 a  2 b  2 ab cos C      1 4 4 1 4 4

  ABC 的周长为 a b c       1 2 2 5. （Ⅱ）  cos C   , 1 4 sin C  1 cos  2 C  1 (  1 4 2 )  15 4 .  a    A C c , ，故 A 为锐角， 17．（本小题满分 12 分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度 v（单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时，研究表明；当 20 x  200 时，车流速度 v 是车流密度 x的一次函数．（Ⅰ）当 0 x  200 时，求函数  v x 的表达式;  （Ⅱ）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）  f x    . x v x  可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆/小时）本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分 12 分）解：（Ⅰ）由题意：当 0   x 20 , ( ) v x 时  60 ；当 20   x 再由已知得    200 20 a b   a b   0, 60, 解得    a      b  1 , 3 200 . 3 200 , 时设 ( ) v x  ax b  故函数 ( ) v x 的表达式为 ( ) v x     60, 1 (200 3 0   x 20,  x ),20   x 200 （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 ( ) f x     60 , x 1 (200 x 3 0   x 20,  x ),20   x 200

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