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SVAR及其在宏观经济政策中的一些应用.doc
暑 期 实 习 读 书 报 告
SVAR 及其在宏观经济政策中的一些应用
谢泽林（清华大学数学科学系 2002 级）
指导老师： 杨晓光 研究员
（中国科学院管理、决策与信息系统重点实验室）
SVAR 及其在宏观经济政策中的一些应用
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谢泽林（清华大学数学科学系 2002 级学生）
指导老师： 杨晓光 研究员
（中国科学院管理、决策与信息系统重点实验室）
[摘要]：本文介绍 VAR 和 SVAR 的基本模型、脉冲响应分析和估计方法，并介绍了其在宏观
经济政策中的一些应用，以及软件实现。
[关键词]：VAR
SVAR 脉冲响应分析 估计
一、 VAR 与 SVAR
时间序列分析是现代计量经济学的重要组成部分，而向量自回归（VAR）和结构式向量
自回归（Structural VAR）是时间序列分析的重要内容。时间序列分析是近二三十年发展起
来的经济计量技术。过去人们热衷于运用大规模的结构联立方程组进行经济分析，后来计量
经济学家渐渐发现这样的分析一方面往往忽视解释变量可能存在的内生性，另一方面也不能
把握应变量和解释变量之间的互相动态影响。而向量自回归模型在这方面提供了一个很好的
分析工具，很适合于研究各种变量之间的关系，尤其是动态关系。
向量自回归在分析经济系统的动态性方面的广泛应用应归因于 Sims 的有影响的工作。
（一）．VAR
1．VAR 的基本模型
一般的 p 阶向量自回归模型（VAR（p））的数学表达式是
y
t
c
y
t
1
1
y
t
2
2
y
t p
p
t
（1）
这里 c 表示（ 1n ）的常向量， j 是自回归系数的一个（ n n ）矩阵，j=1，2，…，p。
在上述模型中的下面假设：
（1） 向量过程 ty 是平稳（协方差平稳）的；
（2） 随机残差向量 t 是白噪声的（见下）；
ty 的各分量均满足平稳性条件（详见下述）， 1n 的向量 t 是白噪声的一个向量推广：
(
tE ，
) 0
(
tE
)
,
0,
t
t
其中 是一个 n n 的对称正定矩阵。
一个向量自回归就是这样一个系统：系统中每一个变量对常数项和它自身的 p 阶滞后
值，同时也对其他变量的 p 阶滞后值进行回归。注意每一个回归，其解释变量都一样。
运用滞后算子，（1）式可以写成
[
I
2
L
1
L
1
2
]p
L y
t
p
c
t
， 即 ( ) t
L y
c
t
这里 ( )L 表示滞后算子 L 的一个（ n n ）矩阵多项式。
第 2 页 共 18 页
一个向量过程 ty 被称为协方差平稳，如果其一阶矩 (
)tE y 和二阶矩 (
E y y 与 t 是无
)
t
t
j
关的。如果过程是协方差平稳的，则我们可以对（1）式取期望得
c
1
2
p
1
2
)p
1
c
，（1）式就可以写成矩均值的离差的形式：
y
t
(
y
t
1
1
)
(
y
t
2
2
)
(
y
t p
p
t
)
于是
(
I
定义，
t
1
y
t
y
t
y
1
t p
，
F
1
I
n
0
0
p
1
2
0
0
I
n
0
0
I
n
p
0
0
0
，
tV
t
0
0
这样可以把 VAR（p）写成 VAR（1）的形式：
1
t
t
F
V
t
（2）
其中，
'
(
E VV
t
)
,
Q
0,
t
t
，且
Q
由（2）式有，
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0 0
t s
V
t s
FV
t s
1
2
F V
t s
s
1
F V
t
1
F
s
t
2
于是，上述向量系统的前 n 列有，
Y
t s
t s
2
t s
1
t s
1
1
t
1
s
2
(
F
s
) (
Y
11
t
)
(
F
s
)
1
p
(
Y
t p
1
)
这里
j
(
F
)j
11
，
(
)jF 表示 jF （矩阵 F 的 j 次方）的左上 n n 矩阵，即 jF 的第 1 到
11
n 行和第 1 到 n 列的公共部分。类似的，
(
)jF 表示 jF 的第 1 到 n 行和第 n+1 到 2n 列的
12
公共部分，
(
pF 表示 jF 的第 1 到 n 行和第 n（p--1）+1 到 np 列的公共部分。
)j
1
如果 F 的特征值都落在单位圆之内，则此 VAR 为协方差平稳，新息 t 将最终消失。当
s 时，
sF ，则 ty 可以表示成的历史值的收敛之和
0
y
t
t
1
1
t
2
t
2
第 3 页 共 18 页
( )
L
t
上式是向量
MA 表示。
显然，由上式对任意的 0
j ， 1t 与 t
jy 不相关。应此基于
y y 的 1ty 预测由下
t
1
,
,
t
式给出：
1ˆ
ty
t
(
y
t
1
)
(
y
t
2
1
)
(
y
1
t p
p
)
2．VAR 模型的估计
（1）、非限制性向量自回归的最大似然估计
假 定
t
. .
i i d N
.
(0,
)
， 最 简 单 的 方 法 是 以 前 p 个 观 察 值 为 条 件 ， 记 作
，然后根据后 T 个观察值形成估计 1
p
2
0
(
,
y y
y
)
,
,
,
2
y ，目标是形成条件似
)T
,
(
y
1
p
,
y
然
f
,
Y Y
t
t
1
,
,
Y Y
1 0
,
,
Y
1
p
(
y
T
,
y
T
,
,
y y
1
0
,
,
y
1
2
p
,
)
y
1
p
;
并对求最大值，这里是包含 1
,
c
,
,
2
和 中元素的向量。
,
p
以直到 1t 期的 y 值为条件的 t 期 y 值等于一个常数加一个 (0,
N ，因此
)
y y
t
t
,
y
t
1
2
,
,
y
1
p
(
N c
1
y
t
1
2
y
t
2
y
t p
,
)
p
设
x
t
1
1
y
t
y
t
y
t p
1
，
c
,
,
1
,
2
,p
,
，则上式可紧凑地写成
y y
t
t
,
y
t
1
2
,
,
y
1
p
N
(
因此，第 t 个观察值的条件密度为
)
x
t
,
f
|
Y Y
t
t
1
,
,
Y
1
p
(
y
t
|
y
t
,
y
t
1
2
,
,
y
1
p
;
(2 )
)
n
2
1
2
1
exp[(
1
)(
2
y
t
x
t
)
1
(
y
t
x
t
)]
而
f
,
Y Y
t
t
1
,
,
Y Y
1 0
,
,
Y
1
p
(
,
y y
t
t
,
,
y y
1
0
,
,
y
1
2
p
,
)
y
1
p
;
=
f
Y
t
1
,
,
Y Y
1 0
,
,
Y
1
p
(
y
t
,
,
y y
1
0
,
,
y
1
2
p
,
y
1
p
;
)
f
|
Y Y
t
t
1
,
,
Y
1
p
(
y
t
|
y
t
,
y
t
1
2
,
,
y
1
p
;
)
递归运用此公式，最后可得样本对数似然值
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L
( )
nT
2
T
t
1
log
f
|
Y Y
t
t
1
,
,
Y
1
p
(
y
t
|
y
t
1
,
y
t
2
,
,
y
;
)
1
p
log(2 )
T
2
log
1
1
2
T
t
1
(
y
t
x
t
)
1
(
y
t
x
t
)
考察 的 MLE，结果为
T
ˆ
[
t
1
y x
t
t
][
T
t
1
]
x x
t
t
1
。
类似的，可以得到 的似然估计值：
ˆt ，这里
ˆ
t
T
1
tT
1
ˆt
y
t
为样本残差。
ˆ
x
t
（2）、似然比检验
运用似然比检验可以对模型中滞后阶数的进行更好的选择。
零假设：一组变量是由 0p 阶而不是 1
p
(
阶滞后的高斯向量自回归生成。
由
L
(
)
,
log(2 )
log
1ˆ
L
计算相应的似然值 0
L和 ，然后利用在
1
L
零假设下统计量 1
2(
L
0
)
T
ˆ
0
log
近似服从自由度为 2
(
n p
1
p 的 2 分
)
0
nT
2
T
2
(log
)
p
0
nT
2
)
1
布进行检验。当统计量值大于 2
(
2
(
n p
1
p
0
))
的 5% 的置信值时则拒绝零假设。
Sims（1980）提出修正：由统计量
(
T k
)(log
ˆ
0
log
（这里
)
1
1k
）代替
np
1
T
(log
ˆ
0
log
，以适应小样本偏倚的情形。
)
1
（3）、Granger 因果关系检验
Granger 因果关系检验是检验一个变量的滞后变量是否可以引入其他变量方程中。由于
VAR 模型中需要估计的系数较多，通过 Granger 因果关系检验一方面可以使模型更符合经济
学规律，另一方面可以减少估计的难度。
正式的定义是：如果关于所有的 0
s ，基于
(
,
x x 的预测 t sx 的均方误差与用
t
)
,
1
t
(
x x 和
t
)
,
,
1
t
(
,
y y 二者得到的预测 t sx 的 MSE 相同，则称 y 不能 Granger 引起 x。
t
)
,
1
t
[
(
MSE E x
对线性函数，如果
，则称
y 不能 Granger 引起 x，或者 x 在时间序列意义上关于 y 是外生的。Granger 因果关系的另
一个含义由 Sims 给出。
(
MSE E x
,
y y
t
,
x x
t
,
x x
t
,
)]
)]
t s
t s
1
1
1
[
,
,
,
|
|
t
t
t
ˆ
一个 y 不能 Granger 引起 x 的简单例子是（系数矩阵均为下三角的）：
(
0
11
)
(
)
(
p
p
21
22
(2)
0
11
(2)
(2)
21
22
(1)
0
11
(1)
(1)
21
22
c
1
c
2
x
t
y
t
x
t
y
t
1
1
)
p
2
2
x
t
y
t
x
t p
y
t p
1
t
2
t
第 5 页 共 18 页
可以写成
MA 的形式：
x
t
y
t
1
11
21
2
( )
L
( )
L
0
( )
L
22
1
t
2
t
其中
ij
( )
L
(2) 2
L
ij
(0)
ij
(1)
ij
L
Granger 因果关系的一种检验方法：运用 F 检验
x
t
c
1
(
2
x
t
1
1
x
t
2
x
p t p
)
(
1
y
t
1
2
y
t
2
p
y
t p
)
u
t
计算
RSS
1
，对
ˆ
2
u
t
T
t
1
H
2
:
0
1
p
0
x
t
c
0
1
x
t
1
2
x
t
2
x
p t p
e
t
计算
RSS
0
。如果
ˆ
2
e
t
T
t
1
S
1
(
RSS
0
/(
RSS T
1
) /
RSS
1
2
p
p
1)
y 能 Granger 引起 x。
大于 (
,
F p T
2
p
分布的5% 临界值，则我们拒绝上述假设，即
1)
此外还有其他改进的检验方法，如基于 Sims 形式的 F 检验、Geweke-Meese-Dent（1983）
提出的方法和蒙特卡罗模拟等。Granger 因果关系的检验结果对滞后长度 p 的选择和处理序
列非平稳方法的选择都很敏感。
（4）、限制性向量自回归的最大似然估计
简化式模型
c
y
t
2
2
y
t
1
1
y
t
y
t p
p
t
中将有
2
n n p
个系数需要估
计，如果不对 VAR 模型中某些系数加以限制，会给估计带来困难。
考虑下面的向量自回归：
y
1
t
y
2
t
c
1
c
2
A x
1 1
t
B x
1 1
t
t
A x
2 2
B x
2 2
t
1
t
2
t
其中，
x
1
t
2
t
t
y
1, 1
y
1,
y
1,
t p
，
x
2
t
y
y
y
2, 1
t
2,
t
2
2,
t p
，分别为包含 1ty 的滞后的 1
n p 向量和 2ty 的滞后的
1
n p 的向量。向量 1
2
2,c c 包含向量自回归的常数项，矩阵 1
1
A A B B 包含自回归系数。
,
,
,
2
1
2
如果 2y 的元素无助于改进 1y 的基于其自身滞后的预测，则称 1y 表示的变量组关于 2y
的变量在时间序列意义上是块外生的。在上面的系统中当 2
A 时， 1y 是块外生的。据此
0
我们可以讨论 2
A 条件下系统的最大似然估计。
0
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3．脉冲—响应分析
由前面所述，一个向量自回归可以写成向量
MA 的形式
y
t
t
1
1
t
2
t
2
( )
L
t
y
由此， t s
t
s
y
，即 s 的第 i 行、第 j 列元素 ,,i
t s
jt
等于时期 t 第 j 个变量的新息 jt 在
增加一个单位而其它时期其他新息不变的情况下对时期 t+s 的第 i 个变量的值 ,i t s
y 的影响。
y
,,i
t s
jt
作为 s 的一个函数，称为脉冲—响应函数。它描述了 ,i t s
y 在时期 t 的其它变量和早
期不变的情况下对 jty 的一个暂时变化的反应。
（1）方法一
对于 t 的方差协方差矩阵 ， 是实对称正定矩阵，由高等代数的相关结论，存在唯
一一个主对角线元素为 1 的下三角矩阵 A 和一个主对角线元素为正的全对角矩阵 D 使得
利用 A 构造向量 tu ：
u
t
1
A
t
E u u
t
t
，故
ADA
1
A
1
(
)
A
1
)
A ADA A
(
1
，由于 D
D
是一个主对角矩阵，可得 tu 的元素互不相关。另一方面， tu 与自身的滞后值及 y 的滞后值
不相关。由 t
Au 有：
t
1
a
21
a
31
a
a u
2 2
j
1
n
t
0
1
a
32
a
n
2
0
0
1
a
3
n
t
u
1
t
u
2
u
3
u
nt
t
0
0
0
1
u
u
1
t
1
t
2
3
nt
t
u
2
t
u
j
于是
u
jt
jt
a u
1 1
j
t
a
j
,
j
1
，因
j
1,
t
与 ， ， ， 不相关，故
jt
t
1,
t
ˆ
E
jt
|
,
u u
1
2
t
t
,
,
u
j
1,
t
a u
1 1
j
t
a u
2 2
j
t
a
u
j
,
j
1
j
1,
t
u
由
ˆ(
|
y
E
1
t
jt
y
1
t
,
x
t
)
1
a
j
1
，得
ˆ(
E
t
,
x
t
)
1
|
y
1
t
y
1
t
a
1
，其中 1a 是 A 的第一列。于是，得到除
包含 1tx 之外的关于 1ty 的新信息对 t sy 的影响为：
第 7 页 共 18 页
ˆ(
E y
|
y
,
jt
t s
更一般的，
ˆ(
E y
,
x
t
1
)
y
1
t
|
t s
y
1
t
a
1
s
,
,
y
1
t
,
x
t
)
1
1,
t
a
j
s
。
—————————— （3）
y
j
y
jt
对于给定一个观察到的容量为 T 的样本，我们可以由 OLS 估计自回归系数 1ˆ , …， ˆ p ，
模拟估计出的系统可构造出 s 。OLS 还可以得到估计 ˆ ，由此构造出满足
阵 ˆA 和 ˆD 。于是样本估计（3）式为 ˆs
ja ，其中 ˆ ja 表示 ˆA 的第 j 列。这称为正交化脉冲响
ADA
的矩
应函数。这些橙子描述了关于 jty 的新信息如何改变我们对 t sy 的预测。
（2）方法二
上面是递归正交化，还有另一种方法，它基于实对称正定矩阵 的 Cholesky 分解
1/ 2
AD D A
1/ 2
（其实本质上是一样的）。这里
PP
P AD
1/ 2
，P 是下三角矩阵，其对
角线元素为 tu 的标准差。另
v
t
P
1
t
1/ 2
1
D A
t
1/ 2
D u
t
，故
y
t s
v
jt
y
t s
u
jt
d
jj
a
s
j
d
jj
P
j
s
————————— （4）
（4）式是（3）式乘以 var(
)jtu ，（3）给出 jty 增加一单位后的影响，（4）式给出了 var(
)jtu
单位的影响。
4．方差分解
考察 VAR 模型时可以采用方差分解方法研究模型的动态特征，其主要思想是：把系统
的每个内生变量（共 n 个）的波动（s 期预测均方误差）按期成因分解为与各方程新息相关
联的 n 个组成部分，从而了解各新息对模型内生变量的相对重要性。
前 s 期预测的均方误差为
ˆ(
ˆ
MSE y
y
|
|
t s t
t s t
[(
E y
t s
=
)
)
(
y
t s
ˆ
y
|
t s t
) ]
s
1
1
1
s
1
其中，
E
)
(
t
t
， t
tAu
，再由 jtu 的互不相关得到：
E
(
)
t
t
(
a a Var u
1 1
1
t
)
(
a a Var u
2 2
2
t
)
(
a a Var u
n n
nt
)
于是将
MSE y 分解，第 j 个正交化新息对前 s 期的 MSE 的贡献：
)
ˆ(
|
t s t
(
Var u
)
[
a a
j
j
jt
a a
1
j
j
1
a a
1
j
j
s
s
]
1
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