矩阵论课后习题答案.pdf-资料库

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1.判断下列集合对指定的运算是否构成 R 上的线性空间习题一（1）（2）（3）（4），对矩阵加法和数乘运算；，对矩阵加法和数乘运算；；对中向量加法和如下定义的数乘向量：；，通常的函数加法与数乘运算。解：（1）、（2）为 R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对有 1 = ，而题（3）中（4）不是，若 k<0，则，数乘不满足封闭性。的维数和一组基。 2.求线性空间解：一组基 dimW=n(n+1)/2 3.如果 U1 和 U2 都是线性空间 V 的子空间，若 dimU1=dimU2，而且，证明：U1=U2。证明：因为 dimU1=dimU2，故设为空间 U1 的一组基，为空间 U2 的一组基，有而于是由此，得，C 为过渡矩阵，且可逆 11{()|0}nijnniiiVAaa====2{|,}nnTVAARAA==−33VR=3R3,,0RkRk=4{()|()0}Vfxfx=010=()0kfx{|}nnTVARAA==10001010101010000000100..................001001012UU12,,,r12,,,r2U()12rX=()()1212rrC=()()()11212121rrrXCXYU−===

又由题设，证得 U1=U2。 4.设，讨论向量是否在 R(A)中。解：构造增广矩阵矩阵 A 与其增广矩阵秩相同，向量可由矩阵 A 的 3 个列向量线性表示，在列空间 R(A) 中。 5. 讨论线性空间 P4[x] 中向量，，解：而的线性相关性。，该矩阵秩为 2 所以向量组 P1,P2,P3 线性相关。 6.设，证明 dimR(A)+dimN(A)=n。证明：，假定 dimR(A)=r，且设为 R(A)的一组基则存在使显然，其中不全为零 21UU12UU111213315A=(2,3,4)T=()111|2111|2|213|3011|1315|4000|0A=→−−3211Pxxx=+++32223Pxxx=−+323452Pxxx=+++()23123102135(1)111124PPPxxx=−102102135011111000124000→−mnAR12(){,,,}nRALAAA=(){|0,}nNAXAXXR==12,,,rAAA12,,,(1,,)iirikkkirn=+12,,,iirikkk11220(1,,)iiririkAkAkAAirn++++==+

上述 n-r 个向量线性无关，而，s

8.在中，已知两组基，，，，，，求基{Ei}到基{Gi}的过渡矩阵，并求矩阵在基{Gi}下的坐标 X。解：由此，得过渡矩阵再由解得 9.判别下列集合是否构成子空间。（1）（2）（3）中，；；（4）。；解：（1）不是子空间，对加法及数乘运算不封闭。如取 k=2，，，而，。（2）不是子空间，因为 W2 中没有零元。（3）、（4）为子空间。 22R11000E=20100E=30010E=40001E=10111G=21011G=31101G=41110G=0123−()()()4123412341234,iGGGGEEEECCCCCR=0111101111011110C=123401011011112311110110xxxx=+++−()0123TX=−−2221{(,,)|1,,,}WxyzxyzxyzR==++22{|,}nnWAAIAR==3R231231230{(,,)|(}0}tWxxxxxxd==++=411{()|0}mnijmnijijWAaa=====3R(100)T=(200)Tk=22241xyz++=1kW

，。， 10. 设，，，，则且解：设于是，有即而取所以，得由于 rank(A)=3 则 11.在矩阵空间中，子空间，求和，，其中，，求（1）V1 的基和维数；（2）和的维数。 1(1,2,1,0)T=2(1,1,1,1)T=−1(2,1,0,1)T=−2(1,1,3,7)T=−112{,}Wspan=212{,}Wspan=12WW12WW+12WW1122xx=+3142xx=+112231420xxxx+−−=123411210211101103001170xxxx−−−=−−−11211121211101171103001301170000A−−−−−−−−=→−−−41x=12341,4,3,1xxxx=−==−=121212143WWLL=−+=−+12121,,WWL+=22R121123434{|0}xxVAxxxxxx==−+−=212{,}VLBB=11023B=20201B−=12VV+12VV

解：（1）中，令，可验证 A1，A2，A3 线性无关，它们构成空间 V1 的一组基，空间 V1 的维数 dimV1=3。（2）中，B1 与 B2 线性无关，它们是 V2 的一组基，故 dimV2=2，而 V1+V2 = L{A1,A2,A3} + L{B1,B2} = L{ A1,A2,A3,B1,B2} 在的标准基 E11，E12，E21，E22 下，A1,A2,A3,B1,B2 对应的坐标 X1,X2,X3,X4,X5 排成矩阵于是 dim(V1+V2)=4，由维数定理 12.设和为的子空间，，证明证明：对 W1，由，解得显然 W1 的维数 dimW1=n-1，而向量组为 W1 的一组基。对 W2，由，解得，dimW2=1 W2 的基为于是这里，。 1V1223422343434111010001001xxxxxxAxxxxxxx−+−===++123111010,,001001AAA−===212{,}VLBB=22R()123451111011110100020111201020001320013100001XXXXX−−−−−−=→−121212dim()dimdimdim()3241VVVVVV=+−+=+−=1W2WnV1121{(,,,)|0}nTniiWxxxx====21212{(,,,)|}TnnWxxxxxx=====12nVWW=120nxxx+++=()()()1121110001010010001TTTnXkkk−=−+−++−()()()12111000,10100,10001TTTn−=−=−=−12nxxx===()211111TXk=()11111T=12121121,,,,,,,nnWWLLL−−+=+=

所以为 W1+W2 的基，则 dim (W1+W2)=n ，由维数定理可知，，判别下面定义的实数是否，故有 13. 中，为内积。（1）（2）（3）；；，其中 A 为正定矩阵。解：（1）不是上的内积。设于是内积的线性性不满足。，（2）与（3）是上的内积。可验证对称性、线性性及正定性都满足。 13. 设是 V5 的标准正交基，又，，，求的标准正交基。解：W 的标准正交基 12111111001det(,,,,)001010011n−−−−=121,,,,n−12dim()0WW=12nVWW=nR12(,,,)Tn=12(,,,)Tn=(,)1(,)niii==1(,)niiii==(,)TA=nR()112Tnaaa=()212Tnaaa=()12Tnbbb=()12121111,()(,,)nnnniiiiiiiiiiiiiiiaababababab====+=+=++=)+(nR125{,,,}115=+2134=−+31232=++123{,,}WL=()()()11110001,10221,111012210TTT−−−

14.在欧氏空间 R4 中，求子空间的正交补子空间 W⊥。解：设令由得解得所以 15.判断下列变换哪些是线性变换（1）R2 中，（2）R3 中，；；（3）中，A 为给定 n 阶方阵，，；（4）中，，为 A 的伴随矩阵。解：（1）不是，该变换为非线性变换设，则（2）是线性变换（3）不是，因有（4）是线性变换 {(1,1,1,1),(1,1,1,1)}TTWL=−−−()1234TXxxxxW⊥=12(1111),(1111)TT=−=−−12,XX⊥⊥1234123400xxxxxxxx+−+=−−+=1100,1001X−=()()1010,1001TTWL⊥=−21212(,)(1,)TTTxxxx=+12312123(,,)(,,2)TTTxxxxxxxx=+−nnRnnXR()TXAXA=+22R()TAA=A()112Txx=()212Tyy=()()()2221211221122121212()()1()11()()TTTTTTxyxyxyxyxxyyTT+=++=++++++=+()00T

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