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2014年四川高考理科数学真题及答案.doc
2014 年四川高考理科数学真题及答案
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是
符合题目要求的。
1．已知集合
A
{ |
x x
2
，集合 B 为整数集，则 A B
2 0}
x
A．{ 1,0,1,2}
B．{ 2, 1,0,1}
C．{0,1}
D．{ 1,0}
2．在
x
(1
6
x 的展开式中，含 3x 项的系数为
)
A．30 B． 20
C．15
D．10
3．为了得到函数 sin(2
y
x
1)
的图象，只需把函数 sin 2
y
x
的图象上所有的点
A．向左平行移动
1
2
个单位长度 B．向右平行移动
1
2
个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
a b ，
c d ，则一定有
4．若
0
b
d
0
b
d
A．
a
c
b
c
5．执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 ,x y R ，
a
d
a
d
a
c
b
c
B．
C．
D．
则输出的 S 的最大值为
A．0
C． 2
B．1
D．3
6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最
右端不能拍甲，则不同的排法共有
A．192 种 B． 216 种 C． 240 种 D． 288 种
7．平面向量 (1,2)
， (4,2)
（ m R ），
，c ma b
a
b
的夹角等于 c
与b
且 c
与 a
的夹角，则 m
A． 2
B． 1
C．1
D． 2
8．如图，在正方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
中，点O 为线段 BD 的中点。设点 P 在线段 1CC 上，直线OP
与平面 1A BD 所成的角为，则sin的取值范围是
1
A．
3[
3
,1]
B．
6[
3
,1]
C．
[
6 2 2
3
3
,
]
D．
[
2 2
3
,1]
9．已知 ( )
f x
ln(1
x
)
ln(1
题：
， ( 1,1)
x 。现有下列命
x
)
① (
f
( )
f x
；
2 ( )
f x
；
)
x
2(
x
( ) | 2 |
f x
x
1
)
2
②
f
③|
x
|
。其中的所有正确命题的序号是
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
10．已知 F 是抛物线 2y
x 的焦点，点 A ，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，
OA OB
2
（其
中O 为坐标原点），则 ABO
与 AFO
面积之和的最小值是
A． 2
B．3
C．
17 2
8
D． 10
二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11．复数
2 2
i
1
i
。
12．设 ( )
f x 是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 [ 1,1)
x 时，
( )
f x
2,
24
x
,
x
1
0,
x
1,
0
x
，
则
f
3(
2
)
。
13．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C
的俯角分别为 67 ，30 ，此时气球的高是 46m ，则
河流的宽度 BC 约等于
m 。（用四舍五入法将
结 果 精 确 到 个 位 。 参 考 数 据 ： sin 67
0.92
，
cos67
0.39
，sin 37
0.60
， cos37
0.80
，
2
3 1.73
）
14． 设 m R ， 过 定 点 A 的 动 直 线
x my
和 过 定 点 B 的 动 直 线
0
mx
( ,
P x y ，则|
)
PA
|
|
PB
|
的最大值是
。
交 于 点
y m
3 0
15．以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合， B 表示具有如下性质的函数 ( )x 组成的集合：对于函
数 ( )x ，存在一个正数 M ，使得函数 ( )x 的值域包含于区间[
]M M
,
。例如，当
1( )x
，
x
3
2( )
x
sin
x
时， 1( )x
， 2( )x
A
。现有如下命题：
B
①设函数 ( )
f x 的定义域为 D ，则“ ( )
f x
A ”的充要条件是“ b R ， a D
， ( )
f a
b ”；
②函数 ( )
f x
B 的充要条件是 ( )
f x 有最大值和最小值；
③若函数 ( )
f x ， ( )g x 的定义域相同，且 ( )
f x
A ， ( )g x
B ，则 ( )
f x
( )
g x
；
B
④若函数
( )
f x
a
ln(
x
2)
x
1
2
x
（
x ， a R ）有最大值，则 ( )
f x
2
B 。其中的真
命题有
。（写出所有真命题的序号）
三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知函数 ( )
f x
sin(3
x
)
。
4
（1）求 ( )
f x 的单调递增区间；
f
)
(
3
（2）若是第二象限角，
4
5
cos(
4
)cos 2
，求 cos
sin
的值。
17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不
出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三
次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得 200 分）。设每次击鼓出现音乐的概
率为
1
2
，且各次击鼓出现音乐相互独立。
（1）设每盘游戏获得的分数为 X ，求 X 的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减
少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。
3
18．三棱锥 A BCD
及其侧视图、俯视图如图所示。设 M ， N 分别为线段 AD ， AB 的中点，P
为线段 BC 上的点，且 MN NP
（1）证明： P 为线段 BC 的中点；
（2）求二面角 A NP M
的余弦值。
。
19．设等差数列{ }na 的公差为 d ，点 (
a b 在函数 ( )
n
f x 的图象上（
2x
)
,
n
n N ）。
*
（1）若 1
a ，点 8
a
2
(
b 在函数 ( )
,4 )
7
f x 的图象上，求数列{ }na 的前 n 项和 nS ；
（2）若 1 1
a ，函数 ( )
f x 的图象在点 2
(
a b 处的切线在 x 轴上的截距为
)
,
2
2
1
ln 2
，求数列{
a
}n
b
n
的前 n 项和 nT 。
20．已知椭圆 C：
2
2
x
a
2
2
y
b
正三角形。
（
1
a b ）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成
0
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线
x 上任意一点，过 F 作TF 的垂线交椭圆C 于点
3
,P Q 。
（ⅰ）证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）；
（ⅱ）当
|
|
TF
PQ
|
|
最小时，求点 T 的坐标。
21．已知函数
( )
f x
x
e
2
ax
bx
，其中 ,a b R ， 2.71828
1
e
为自然对数的底数。
4
（1）设 ( )g x 是函数 ( )
f x 的导函数，求函数 ( )g x 在区间[0,1] 上的最小值；
（2）若 (1)
f
，函数 ( )
f x 在区间 (0,1) 内有零点，求 a 的取值范围
0
5
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。
参考答案
1．A
2．C
3．A
4．D
5．C
6．B
7．D
8．B
9．C
10．B
二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11． 2i
12．1
13． 60
14．5
15．①③④
三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知函数 ( )
f x
sin(3
x
)
。
4
（2）若是第二象限角，
)cos 2
，求 cos
sin
的值。
（1）求 ( )
解：（1）由 2
（2）由
k
f x 的单调递增区间；
f
(
)
3
2
4
2
所以 ( )
f x 的单调递增区间为
f
(
)
3
cos(
3
x
)cos 2
4
5
4
)
2
2
cos (
sin(2
8
5
)
4
因为 cos 2
又是第二象限角，所以sin(
① 由
sin(
)
4
0
所以
cos
sin
cos
4
4
3
4
所以
sin(
)sin(
4
cos(
5
2
k
2
2
4
k
3
4
[
,
2
x
2
k
3
12
（ k Z ）
)
4
4
)cos(
k
]
3
12
4
5
)] 2sin(
k
3
4
sin(
sin[2(
cos(
4
)cos 2
)
4
4
)
4
0
或 2
cos (
)
)
4
4
（ k Z ）
2
k
2
k
5
8
3
4
sin
3
4
2
② 由 2
cos (
)
4
5
8
cos(
)
4
5
2 2
1
2
(cos
sin )
5
2 2
6
所以
cos
sin
5
2
综上，cos
sin
或
2
cos
sin
5
2
17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不
出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次
音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得 200 分）。设每次击鼓出现音乐的概率为
1
2
（1）设每盘游戏获得的分数为 X ，求 X 的分布列；
，且各次击鼓出现音乐相互独立。
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减
少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。
解：（1） X 可能取值有 200 ，10，20，100
1
1
8
2
1
)
，
1
2
2
) (1
200)
(
P X
(
P X
20)
(
)
3
2
C
3
0
) (1
1
2
0
C
3
1
2
(
3
8
，
(
P X
10)
1
C
3
2
)
，
1
) (1
1
2
3
) (1
1
2
1
0
)
2
(
1
2
3
8
1
8
(
P X
100)
3
C
3
(
故分布列为
X
P
200
1
8
10
3
8
（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是
则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是
20
3
8
7
8
0
(
C
3
7
8
100
1
8
0
) (1
7
8
3
)
511
512
p
3 3 1
8 8 8
1
p
1
（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为 X 的数学期望是
10
8
E X
( 200)
100
3
8
3
8
1
8
1
8
10
20
分
(
)
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游
戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。
18．三棱锥 A BCD
及其侧视图、俯视图如图所示。设 M ， N 分别为线段 AD ， AB 的中点，P
7
为线段 BC 上的点，且 MN NP
（1）证明： P 为线段 BC 的中点；
（2）求二面角 A NP M
的余弦值。
。
解：（1）由三棱锥 A BCD
及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥 A BCD
中：
2
AB AD BD CD CB
平面 ABD 平面CBD ，
设O 为 BD 的中点，连接OA ，OC
于是OA BD
因为 M ，N 分别为线段 AD ，AB 的中点，所以
假设 P 不是线段 BC 的中点，则直线 NP 与直线 AC 是平面 ABC 内相交直线
所以 BD 平面OAC BD AC
//MN BD ，又 MN NP
，OC BD
，故 BD NP
从而 BD 平面 ABC ，这与
DBC
60
矛盾
所以 P 为线段 BC 的中点
（2）以O 为坐标原点，OB 、OC 、OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0, 3)
A
，
(
M
1
2
,0,
3
2
)
，
N
(
1
2
,0,
3
2
)
，
P
(
1
3
,
2 2
,0)
于是
AN
(
1
2
,0,
3
2
PN
)
，
(0,
3
2
,
设平面 ANP 和平面 NPM 的法向量分别为
)
，
MN
3
2
,
m x y z
1
(
,
1
1
(1,0,0)
n
(
)
和
,
x y z
2
,
2
)
2
AN m
PN m
0
0
由
1
2
x
1
3
2
z
1
0
3
2
y
1
3
2
z
1
0
，设 1 1
z ，则
m
( 3,1,1)
8
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