1991年江苏高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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1991年江苏高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内． 4 5 (1) 已知sinα= (A) 4 3 ，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于 ( ) (B) 3 4 (C) 3 4 (D) 4 3 (2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( ) (A) y2=8(x+1) (C) y2=8(x－1) (B) y2=－8(x+1) (D) y2=－8(x－1) (3)函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是 ( ) (A)  2 (B) π (C) 2π (D) 4π (4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 (A) 12 对 (B) 24 对 (C) 36 对 (D) 48 对 (5) 函数y=sin(2x+ 5 2 (A) x=－ (C) x  2  8 )的图像的一条对称轴的方程是 (B) x=－ (D) x  4 5 4 ( ( ) ) (6) 如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的 (A) 垂心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 内心 (7) 已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于 ( ( (A) 5 (B) 10 (8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ= (A) （0，0），（6，π） (C) 15 16 cos 35 (B) (－3，0)，(3，0)  (D) 20 ，那么它的焦点的极坐标为 ( ) ) ) (C) （0，0），（3，0） (D) (0，0)，(6，0) (9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1 台，则不同的取法共有 ( )

(A) 140 种 (B) 84 种 (C) 70 种 (D) 35 种 (10) 如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不通过．．． ( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ( ) (A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 (B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 (C) 丙是甲的充要条件 (D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 (12) lim n  11([ n  3 (A) 0 11)(  5 11)(  4 (B) 1 )] …(1－ 1 n 2 (C) 2 )]的值等于 ( ) (D) 3 (13) 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x)在区间[－7，－3]上是 ( ) (A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5 (C) 减函数且最小值为－5 (D) 减函数且最大值为－5 (14) 圆x2+2x+y2+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离为 2 的点共有 ( ) (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 (15) 设全集为R，f (x)=sinx，g (x)=cosx，M={x|f (x)≠0}，N={x|g (x)≠0}，那么集合 {x|f (x)g (x)=0}等于 ( ) (A) NM  (B) NM  (C) NM  (D) NM  二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上． (16) arctg +arctg 1 2 的值是____________ 新疆王新敞奎屯 1 3 26 x (17) 不等式 x 2 <1的解集是___________ 新疆王新敞奎屯 (18) 已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于新疆王新敞奎屯

(19) (ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a>1，那么a= 新疆王新敞奎屯 (20) 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC ＝a．那么这个球面的面积是新疆王新敞奎屯三、解答题：本大题共6小题；共60分． (21) (本小题满分8分) 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合． (22) (本小题满分8分) 已知复数z=1＋i, 求复数 2 z 6  z 3 z  1  的模和辐角的主值． (23) (本小题满分10分) 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于 ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离． (24) (本小题满分10分) 根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． (25) (本小题满分12分) 已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式 logax－log 2a x＋12log 3a x＋…＋n (n－2) 1n log na x> n )2(1 3 log a (x2－a) (26) (本小题满分12分) 双曲线的中心在坐标原点 O，焦点在 x轴上，过双曲线右焦点且斜率为 3 5 的直线交双曲线于 P、Q两点．若 OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．参考答案

说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五、只给整数分数．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题 3 分，满分 45 分． (1)A (9)C (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D 二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题 3 分，满分 15 分． (17) {x|－2

=2＋sin2x+cos2x  4 =2+ 2 sin(2x+ )．当sin(2x+  4 )=－1时y取得最小值2－ 2 ．使y取最小值的x的集合为{x|x=kπ－ 3 8 π，k∈Z}． (22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分． i 6)  1 解： 2 z  z 3 z  1  6 = 1(  i ) 2 1 1(3  i  = 3 2   i i =1－i． ——5 ——6 ——8 ——2分 ——4分 1－i的模r= 2 1  )1( 2 = 2 ．因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切tgθ=－1，所以辐角的主值 7 4 (23) 本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理 ——8分 π．分分分 θ= 和空间想象能力．满分10分．解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形， E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点． BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离． ∵ BD⊥AC， ∴ EF⊥HC． ∵ GC⊥平面ABCD， ∴ EF⊥GC， ——4分

∴ EF⊥平面HCG． ∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线． ——6分作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离． ——8分 ∵ 正方形ABCD的边长为4，GC=2， ∴ AC=4 2 ，HO= 2 ，HC=3 2 ． ∴ 在Rt△HCG中，HG=  23  2  2 2  22 ．由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG． ∴ OK= HO GC  HG  22  22  2 11 11 ．即点B到平面EFG的距离为 2 11 11 ．注：未证明“BD不在平面EFG上”不扣分． ——10分 (24) 本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．证法一：在(－∞，+∞)上任取x1，x2且x10；分当x1x2≥0时，有 2 x 1  xx 21  x 2 2 >0； ——1分 — ——4分 ——6 ∴ f (x2)－f (x1)= (x1－x2)( 2 x 1  xx 21  x 2 2 )<0． — —8分即 f (x2) < f (x1) 所以，函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10 分

证法二：在(－∞，+∞)上任取x1，x2，且x10．又 ∵ x2 1 ＋x2 2 > ∴ 2 x 1  xx 21 1 2  (x2 1 ＋x2 2 )≥|x1x2|≥－x1x2 x 2 2 >0， ∴ f (x2)－f (x1) = (x1－x2) ( 2 x 1  xx 21  x 2 2 )<0． — —8分即 f (x2) < f (x1)．所以，函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10 (25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12 分分．解：利用对数换底公式，原不等式左端化为 logax－4· log log x a ＋12· 2 a a log log x a ＋…＋n(－2)n－1 · 3 a a =[1－2＋4＋…＋(－2)n－1] logax n )2(1 = 3 logax a log log a x n a 故原不等式可化为 n )2(1 3 logax> n )2(1 3 loga(x2－a)． ① 当n为奇数时， n )2(1 3 >0，不等式①等价于 logax>loga(x2－a)． ② 因为a>1，②式等价于

x x x        0 a 0  2 a  2 x   0 x  x  2 x  a ax       x   1     a 41  2 a 41 a 2 0 1   x a 41  2 1  因为 1  <0， 41 a 2 > 4a 2 = a ，所以，不等式②的解集为{x| a loga(x2－a)． ③ 因为a>1，③式等价于 0 a 0  2 a  2 x   0 x  x  2 x  a ax 0 x x x                  a  1 x  x  或 a 41  2 a  1 x  x       a 41  2 1  因为 a 41  2  10 ，  a 41  2  a 4 2  a ，所以，不等式③的解集为{x|x> 1  41 a 2 }． ——6分 ——8分 ——10分 ——12分

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