1991年江苏高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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1991 年江苏高考文科数学真题及答案考生注意：这份试卷共三道大题(26 个小题)．满分 120 分．一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内新疆王新敞奎屯 4 5 (1) 已知sinα= (A) 4 3 ，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于 ( ) (B) 3 4 (C) 3 4 (D) 4 3 (2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( ) (A) y2=8(x＋1) (C) y2=8(x－1) (B) y2=－8(x＋1) (D) y2=－8(x－1) (3) 函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是 ( ) (A)  2 (B) π (C) 2π (D) 4π (4) P(2，5)关于直线x＋y=0的对称点的坐标是 ( ) (A) (5，2) (B) (2，－5) (C) (－5，－ (D) (－2，－ 2) 5) (5) 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 ( (A) 12 对 (B) 24 对 (C) 36 对 (D) 48 对 (6) 函数y=sin(2x＋ )的图像的一条对称轴的方程是 ( ) ) 5 2 (A) x=－ (C) x=  2  8 (B) x=－ (D) x=  4 5 4 (7) 如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的 ( (A) 垂心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 内心 (8) 已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6=25，那么a3＋a5的值等于 ( ) )

(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 5  1  (x∈R，且x≠1)，那么它的反函数为 ( ) (x∈R，且 x≠1) (9) 已知函数y= 6 x x 6 5 x  1 x  5 x  6 x  1 x  6 5 x  6 x  5 x  (A) y= (B) y= (C) y= (D) y= (x∈R，且 x≠6) (x∈R，且 x≠－ 5 6 ) (x∈R，且 x≠－5) (10) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1 台，则不同的取法共有 ( ) (A) 140 种 (B) 84 种 (C) 70 种（D）35 种 (11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ( ) (A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 (B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 (C) 丙是甲的充要条件 (D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 (12) lim n  11([ n  3 11)(  4 (A) 0 …(1－ 1 n 2 )] 11)(  5 (B) 1 )]的值等于 ( ) (C) 2 (D) 3 (13) 如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C=0不通过．．． ( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (14) 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是 ( ) (A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5 (C) 减函数且最小值为－5 (D) 减函数且最大值为－5 (15) 圆x2＋2x＋y2＋4y－3=0上到直线x＋y＋1=0的距离为 2 的点共有 ( ) (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个

二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上． (16) 双曲线以直线x=－1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一焦点的坐标是__________________． (17) 已知sinx= 15  2 ，则sin2(x－  4 )=____________ 新疆王新敞奎屯 (18) 不等式lg(x2＋2x＋2)<1的解集是_____________ 新疆王新敞奎屯 (19) 在(ax＋1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数a>1，那么a=_____________ 新疆王新敞奎屯 (20) 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知顶点A上三条棱长分别是 32、、2．如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么cos2α＋cos2β＋cos2γ =_________ 新疆王新敞奎屯三、解答题：本大题共6小题；共60分． (21) (本小题满分8分) 求函数y=sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值． (22) (本小题满分8分) 已知复数z=1＋i, 求复数 2 z 6  z 3 z  1  的模和辐角的主值． (23) (本小题满分10分) 如图，在三棱台A1B1C1－ABC中，已知A1A⊥底面ABC， A1A= A1B1= B1C1=a，B1B⊥BC，且B1B和底面ABC所成的角 45º，求这个棱台的体积． (24) (本小题满分10分) 设{an}是等差数列，bn=( (25) (本小题满分12分) 1 2 )a n．已知b1＋b2＋b3= 21 8 1 , b1b2b3= 8 ．求等差数列的通项an．设a>0，a≠1，解关于x的不等式 (26) (本小题满分12分) x 4 2  x 2 a  )1( a 2 a .

已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线 y=x＋1 与该椭圆相交于 P和 Q，且 OP⊥OQ，|PQ|= 10 2 ．求椭圆的方程．参考答案及评分标准说明：一．本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三．为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五．只给整数分数．一．选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分． (1)A (13)C (2)D (14)B (3)B (15)C (4)C (5)B (6)A (7)D (8)A (9)B (10)C (11)A (12)C 二．填空题．本题考查基本知识基本运算．每小题3分，满分15分． (16) (－2，2) (17) 2－ 5 (18) {x|－4

分分分分解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x＋cos2x)+2sinxcosx+2cos2x =1+sin2x+(1＋cos2x) =2+sin2x+cos2x =2+ 2 sin(2x+  4 )． ——2 ——4 ——6 当sin(2x+  4 )=1时，函数y有最大值，这时y的最大值等于2+ 2 ． ——8 注：没有说明“当sin(2x+  4 )=1时，函数y有最大值”而得出正确答案，不扣分． (22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分． i 6)  1 解： 2 z  z 3 z  1  6 = 1(  i ) 2 1 1(3  i  = 3 2   i i =1－i． ——2分 ——4分 1－i的模r= 2 1  )1( 2 = 2 ．因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切 tgθ=－1，所以辐角的主值θ= 7 4 π． ——8分 (23)本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．解：因为A1A⊥底面ABC，所以根据平面的垂线的定义有A1A⊥BC．又BC⊥BB1，且棱AA1 和BB1的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A1ABB1，从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB． ∴ △ABC是直角三角形，∠ABC=90º．并且∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角， ∠ABB1=45º． ——3分作B1D⊥AB交AB于D，则B1D∥A1A，故B1D⊥底面ABC． ∵ Rt△B1DB中∠DBB1=45º，

∴ DB=DB1=AA1=a， ∴AB=2a． ——6分由于棱台的两个底面相似，故 Rt△ABC∽Rt△A1B1C1． ∵ B1C1=A1B1=a，AB=2a， ∴ BC=2a． ∴ S上= 1 2 A1B1×B1C1= 2a 2 ． 1 2 S下= AB×BC=2a2． V棱台= ·A1A· 1 S 3   ·a·   2 a 2  2 a 2 = 1 3 分  上 S 上  S 下  S 下  2 a 2  2 2 a     7 6 a 3 . ——8分 ——10 (24)本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程(组)解决问题的能力．满分 10分．解设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+(n－1)d．  1 n  d a 1 ∴ nb    1 2    b1b3= 21 a  d 1 1 a   2     ·    1 2    =    1 2     12 a  d = 2 2b ．由 b1b2b3= ，得 3 2b = 1 8 ，解得 b2= ． 1 8 1 2 代入已知条件， 1 8 b 3  21 8 .  bbb  321   b  1   b 2   整理得 ——3分

 bb  31   b  1    b 3 1 4  ， 17 8 . 解这个方程组得b1=2，b3= 1 8 或b1= 1 8 ，b3=2 ∴ a1=－1，d=2或a1=3，d=－2．所以，当a1=－1，d=2时 an=a1+(n－1)d=2n－3．当a1=3，d=－2时 an=a1+(n－1)d=5－2n． ——6分 ——8分 ——10分 (25)本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分．解法一原不等式可写成 x 4 2  x 2 a 2  a  a ． ① ——1分根据指数函数性质，分为两种情形讨论： (Ⅰ)当00, 所以②式等价于 2 2     x x 1  1  1 1   2 2 a a ， . ② ——3分 ③ ④ ——5 分解③式得 x<－ 1  1 a 2 或 x> 1  1 a 2 ，解④式得－ 1  1 a 2 1 时，由①式得 x4－2x2＋a2>0， ⑤ ——9 分由于 a>1，判别式△<0，故⑤式对任意实数 x成立，即得原不等式的解集为

{x|－∞1 时，原不等式的解集为 {x|－∞1 时，由①式得 x4－2x2＋a2>0，配方得 (x2－1)2＋a2－1>0， ⑧ ⑨ 对任意实数 x，不等式⑨都成立，即 a>1 时，原不等式的解集为 {x|－∞

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